江西师大附中高二上学期期末数学试题与答案

江西师大附中高二上学期期末数学试题
一、选择题本大题共12小题，每小题5分，共60分•在每个小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.
1. 已知函数/(%) = +, f(x)是/(x)的导函数，若广(勺)=12,则旺=(
) A. 2 B. -2
C ・ ±2
D ・ 土迈 2. 命题“对任意xe/?,都有xO 201站的否定是( )
A.对任意xwR,都有X 2<2019
B.不存在使得X 2<2019
C.存在“wR,使得对》2019
D.存在使得尤v 2019
3. 复数z = (l +，)(2 + i),则
其对应复平而上的点位于(
) 4. 由直线x = -— , x = —, y = 0与曲线y = cosx 所I 询成的封闭图形的而积为(
6 6
5. 已知函数fM = e-x +x, "[1,3],
A ・函数/(x)的最大值为3 + 1 e
C ・函数/(x)的最大值为3 6.
用反证法证明某命题时，对结论：“自然数g 4 c 中恰有一个偶数"正确的反设为( )
A. a, b, c 中至少有两个偶数
B. “，b, c 中至少有两个偶数或都是奇数 c. G b,。

都是奇数 D.⑴b, €都是偶数 A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四彖限 A.
则下列说法正确的是() B.函数于(x)的最小值为3+丄 e
D ・函数/(x)的最小值为
3
8.设函数/(x) = x 2
+/nln(l + x)有两个极值点，则实数加的取值范用是()
A.(—1,”
B.(0,g) D. (7勻
9.已知函数f(x) = e x +x2 +x+l与g(x) = 2 兀_3, P、Q分别是函数/（x）、g（x）图象上
的动点，则PQ的最小值为（）
A. —
B. >/5
C.空
D. 2亦
5 5
10.下列命题中，真命题是（）
A.设z p z2eC,则z,+z2为实数的充要条件是石,乙2为共辅复数;
B.“直线/与曲线C相切"是“直线/与曲线C只有一个公共点“的充分不必要条件;
C.“若两宜线厶丄厶，则它们的斜率之积等于-1“的逆命题：
D./•（“）是R上的可导函数,“若勿是/（X）的极值点，则广（心）=0“的否命题.
11.已知斤，耳分别是双曲线务-右=1@>0上>0）的左、右焦点,两条渐近线分别为人,心，
经过右焦点竹垂直于厶的直线分别交人仏于人3两点，^\OA\ + \OB\=2\AB\,且竹在线段AB ±,则该双曲线的离心率为（）
A. ■
B. >/2
C. 2
D. y/^
2
12.已知函数/（欠）=匚［（尸一2/）占甘，则/（x）在（0,乜）的单调递增区间是（）
A. (0,2)
B. (0,71)
C. (>/2,+oo)
D. (2,+oo)
二、填空题(本题共4道小题，每小题5分，共20分)
Y Y X 13.设函数/(x) = —观察：/1(x) = /(x) = —/2« = /(/iU)) = -—
x + \ x + \ lx + 1
x x
/3« = /(/2«)= —= ，……，根据以上事实，由归纳
3x +1 4x +1
推理可得：厶她(切= ________________ ・
14. j*： J16_F(/x +J J x^dx =
15・已知直线/「4x — 3y + ll = 0和直线/2:x = -l,抛物线y2=4x± 一动点P到直线厶和
直线人的距离之和的最小值是_______________ ・
16.已知X/ami,?), 3x o e(O,l],使得lnx0+^>^ + - + /n ,则实数加的取值范围
2 2
为____________ •
三、解答题:本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分10分)
已知命题卩：函数f (x) = x3 - /nr2 +1在xe[l,2] ±单调递减；命题q:曲线
2 2
亠一一丄一=1为双曲线.
m-2 6 —〃？
(I)若“〃且G”为真命题，求实数加的取值范围；
(II)若S或広'为真命题，5且为假命题，求实数川的取值范風
18・(本小题满分12分)
已知函数f(x) = x3 + x-2.
(I )求曲线y = fM在点(2,8)处的切线方程;
(II)直线/为曲线y = /(x)的切线，且经过原点，求直线/的方程及切点坐标.
19.(本小题满分12分)
已知直线/过点P(O,l),圆C:F+),2_6X +8=0,直线/与圆C交于A,B不同两点.
(I >求直线/的斜率&的取值范用；
(II)是否存在过点0(6,4)且垂宜平分弦A3的直线人？若存在，求直线人斜率«的值, 若不存在，请说明理由.
20・(本小题满分12分)
己知函数/(x) = ln(av + l) + -―- ( x>0 ),其中«>0.
1 + x
(I)若/(X)在JV = 1处取得极值，求实数“的值；
(II)若f(x)的最小值为1,求实数d的取值范困.
21・(本小题满分12分)
2 2
已知椭圆C：4 + 4 = l (a>b>0)的左右焦点分别为件(一1,0八F.(LO),经过代的
cr Zr
直线/与椭圆C交于B两点,且厶F、AB的周长为&
(I )求椭圆C的方程：
(II)记AAg与呵笃的面积分别为S］和$2,求\S.-S2\的最大值.
22.(本小题满分12分)
已知函数/(x) = (^v-2)(ln6/-lnx)(其中兀>0, «>0),记函数/(x)的导函数为g(x) = /'(x) •
(I)求函数g(x)的单调区间；
(II)是否存在实数"，使得fix) < 0对任意正实数x恒成立？若存在，求出满足条件的实数〃；若不存在，请说明理由.
江西师大附中高二上学期期末数学试题答案
一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共6()分.
CDABD BABBC AD
二、填空题(本题共4道小题，每小题5分，共20分)
X
13・——-- 14. & 15. 3 16. (Y,e-1)
2019X + 1
三、解答题：本大题共6小题，共70分.
3
17.【解析】(【)若0为真命题，f,(x) = 3x2-2mx<0在xe[l,2]恒成立，即m>-x在
2 3
"[1,2]恒成立,V-x在"[1,2]的最大值是3, --m>3①
2
若g为真命题，贝|](〃?一2)(6 —加)>0,解得2<加<6,②
in > 3
若“〃且tT为真命题，即卩，q均为真命题，所以｛" ,解得3S〃2V6,
2 < in <6
综上所述，若''"且q”为真命题，则实数加的取值范围为[3,6)；........... 5分
(II)若“卩或7’为真命题，“p且⑴'为假命题，即p, q—真一假，
in > 3
当“真Q假时，：,解得77?>6,
m < 2或加> 6
当“假g真时，W< >解得2v〃?v3,
又因为/(一1) = 7,切点为(-1,-4) ...... 12分19.【解析】(I)法1：直线1的方程为y =
d + l,则
2 < in < 6
综上所述，实数加的取值范围为(2,3)U[6,P).................................. 10分18.【解析】(I)广(x) = 3P + l,所以广⑵=13 .................................. 3分
所以所求的切线方程为y-8 = 13(x-2),即13—y —18 = 0 ....................... 6分(II)设切点为(X0,X03+ X0-2),则/Vo)=3V+1................................... 7分
所以切线方程为y—(如彳+勺一2)=(3x02 +l)(x-x0) ........................ 9分
因为切线过原点，所以—2)=-兀(3血+ 1),
所以2xJ=—2,解得x0=-l, .............................................. 11 分
所以/'(—1) = 4,故所求切线方程为y = 4x,
I y=kx+\
由 \ X 2+J 2-6X +8=0 得(Zc + l)x 2 +(2x-6)x+9 = 0
由厶=(2&-6)2-36(疋+1)>0得-24«-36疋>0,故-二<« <0
法2：直线1的方程为y = kx + \,即Ax-y + l=O,
圆心为C (3, 0),圆的半径为1则圆心到直线的距离d=严 T 因为直线与有交于A.B 两点，哙吕<「心<5 (II)假设存在直线厶垂直平分于弦AB,此时直线人过Q(6,4),C(3,0),
4-0 4 3
则X 百3故初的斜率—7由⑴可知，不满足条件.
2。

.【解析】(I)求导函数可得广心冲+声一亦
•m, a>0，/. ax+\>0 > x+l>0・
当a>2时，在区间［0严)上f(x)>09 /(x)递增，/(x)的最小值为/(0) = 1・・・
于是，/(力在尤二 处取得最小值/( </(0) = 1,不合.
k 2 + i
所以，不存在直线A 垂直于弦
12分
V f(x)在 x = l 处取得极值，•••/'(1) = 0, 2a-2
••吋r°错误味找到引用源。

解得
经检验，时/⑴在兀=1处取得极小值,
符合题意，所以G = 1
.8分
当0 VGV 2时，由广(x)>0,解得x> .・./(x)的单调减区间为［0, 序 ,单调增区间为(
10分
:由rw<o,解得osv ,+s)
综上可知，若f (x)的最小值为1,则实数"的取值范用是[2.+S) .............. 12分 21.【解析】
(I)因为片(一1,0)为椭圆C 的焦点，所以c = \ ,由椭圆的泄义知，AfJAB 的周长为 (1人斤1 + 1人鬥1) + (13 斤 I + IB 的 l) = 2a + 2“ = 4d = 8,解得 a = 2,所以 b 2=a 2-c 2=3,
所以椭圆C 的方程为扌+专" .................... 4分
(II)设直线/的方程为x = my +11 A(x p Jj), B(x 2,y 2),
|S 厂S2| = ]F 迟1(|1川—1儿1|)=往+儿卜磐士，当加=0时，百7|=0,
(当且仅当m = 土半时等号成立)综上所述，|S 厂S?|的最大值为f ................ 12分 22.【解析】(I ) = f\x) = a(\n «-Inx) + (ar-2)(-—) = «ln a-a\nx-a + — 9
x x
a 2 2
g'(x) = ------ 7， •/ A' > 0 t (1 > 0 9 :. g'(x) = T V 0恒成立，
..J .. .. (II)解法一：由(I)知g(x)在(0,+8)上单调递减，所以g(x) = 0在(0,+s)上必存在实 2 ? 数根，不妨记gCq)) = 0,即aln"-"ln%-d + —= 0 ,可得lnx () =\na-\ + —— 旺 ax 0
当 xe(O,x o )时,g(x) > 0,即 f\x) > 0,当 xe(x 0,-Ho)时，g(x)v0,即 f(x) < 0, 所以/(x)在(0,兀)上单调递增，在(无,+8)上单调递减，
所以/Wmax =/(Xo) = (aXo-2)(lna-lnXo), .............. .8 分
=1 整理得(3//?2 + 4)y 2 + 6/nj —9 = 0,则)\ + y 2 = 6m
3nr +4
....... 7分 6
31/7/1+^- \m\
2>/12 2
X X X"
•••gd)的单调减区间为(0,+oo),无递增区间： .......... 4分
2 4
把（#）式代入可得/Gv）max=G/x0-2）（l——）= % + ——4,
% %
4 4
依题意/（x）叭=/（x0）=砂）+——4S0恒成立，又由基本不等式有（佻+——4>0,
% %
4 ?
当且仅当⑴。

=——=2时等号成立，解得俶。

=2,所以无=—.
ax Q a
2 2
代入"）式得,\n- = \na,所以二=—又V«>0.所以解得（1 =迈・
a a
综上所述，存在实数« = >/2,使得/U）< 0对任意正实数x恒成立................ 12分解法二：要使（Q-2）（ln a-Inx）<0对Vxe（0,乜）恒成立，
2 ?
①《x-2n0即xh —时，\na<\nx解得x>a^所以x> max（6/,—） >
a a
2 2
②d—250 即xS —时，In a > In x,解得x<a .所以x< ,
a a
2
依题意可知，①、②应同时成立，则« = ->又•••“>0,所以解得a = y[l・。