北师大版九年级数学下册《二次函数的应用》教案及教学反思

北师大版九年级数学下册《二次函数的应用》
教案及教学反思
教学目标
1.理解二次函数的概念及特性
2.掌握二次函数应用实例
3.培养学生分析问题、解决问题的能力
教学内容
1. 二次函数的概念与特性
（1）定义
二次函数是指自变量的二次方作为函数的函数，它的一般
形式为：
f(x) = ax^2 + bx + c
其中 a、b、c 是常数，且 a ≠ 0。

（2）基本特征
•定义域：实数集
•值域：当 a > 0 时，二次函数的最小值为 c - (b^2) / (4a) ；当 a < 0 时，二次函数的最大值为 c - (b^2) / (4a)。

•对称轴：x = -b / (2a)
•开口方向：当 a > 0 时，二次函数开口向上，当 a < 0 时，二次函数开口向下。

•零点：f(x) = 0 时的 x 值即为二次函数的零点。

2. 二次函数的应用实例
（1）求最大值或最小值
当一个物理问题能够用二次函数来表达时，可以利用二次函数的特性，求出物理量的最大值或最小值。

（2）求交点
二次函数和直线之间的交点可以用来解决几何问题，如交点为两柱面相切的圆的半径等。

教学方法
•解释法：通过示例或铺垫讲解二次函数的定义及特性。

•运用法：通过做一些典型题目，让学生理解二次函数的不同特性。

•发散法：通过一些拓展题目，让学生探究二次函数的应用及实际问题的解决。

教学过程
1. 拓展题目（10分钟）
请学生观察以下二次函数图像，思考不同函数的特点。

当学生了解了不同二次函数的特性并掌握了如何求解二次
函数的基本问题后，开始进入二次函数应用问题实战。

2. 例题练习（30分钟）
请学生在教师指导下，完成以下例题练习： 1. 某工程公
司定价方案为：一个工程的成本为 10000 元，每增加 1 万的工程量，成本额外增加 2400 元。

如果公司想最多减少亏损，最多赚多少？ 2. 在 xy 平面内，一个圆心坐标为 (2, 3)，
一点坐标为 (0, 1)。

当圆与直线 y=2 x-1 相切时，圆的半径为多少？ 3. 有一个与 x 轴成 45 度角的光线通过点 P(6, 2) 射向 y 轴的一面镜子，反射之后定位在 Q(0, y) 处，求 y
的值。

3. 讲解及梳理（15分钟）
在学生完成练习之后，教师进行讲解并引导学生进行总结。

教师可以通过以下互动来引导学生思考： 1. 如何将工程量与成本建立联系，如何求出成本的表达式？ 2. 如何利用圆的特性解决问题，需要注意哪些点？ 3. 反射定理是怎么样的，怎么运用它解决问题？
4. 总结（5分钟）
教师对学生的答案进行点评，并带领学生对本节课所学知
识进行总结。

教学反思
通过本堂课的教学，学生掌握了二次函数的基本概念及特性，并学会了如何应用二次函数解决实际问题。

同时，教师在教学过程中引导学生运用启发式的学习方式，让学生在思考问题中积极解决问题。

在教学过程中，教师更注重与学生的互动与交流，让学生更多地参与到课程中，使学生的学习更加主动。