第五讲 多属性决策方法(高级运筹学课件)

z2 1.0000 0.8333 0.3333 0.6666 0.0000
4、向量规范化 无论成本型属性还是效益型属性，向量规范化 均用下式进行变换：
zij yij /
y
i 1
m
2 ij
(9.6)
这种变换也是线性的，但是它与前面介绍的几种变 换不同，从变换后属性值的大小上无法分辨属性值 的优劣。它的最大特点是，规范化后，各方案的同 一属性值的平方和为1，因此常用于计算各方案与某 种虚拟方案(如理想点或负理想点)的欧式距离的场 合。
0.7250 0.6875 1.0000
６、专家打分数据的预处理 有时某些性能指标很难或根本不能用适当的统计数 据来衡量其优劣。通常要请若干个同行专家对被评价对 象按指标打分。再用各专家打分的平均值作为相应指标 的属性并据此确定被评价对象的优劣。 为了改变无形中造成的各专家意见重要性不同的状 况，使各位专家的意见在评价中起同样的重要作用，应 该把所有专家的打分值规范到相同的分值区间[M0,M*]。 M0 和M* 的选值不同对评价结果并无影响，只要所有专 家的打分值都规范到该区间就行。具体算法为 yij y min j 0 * 0 zij M ( M M ) max y j y min j 若选M0=0,M*=1，上式就与效益型属性的标准0-1变换式 (9.3)相同。
(a w w )a (a w
i 1 il l i il j 1 lj n i 1
n
n
j
wl ) 0, l 1,2, , n (9.13)
由式(9.13)及 wi 1共n 1个方程， 其中有w1 , w2 , , wn 及共n 1 个变量， 因此可以求得w [ w1 , w2 , , wn ]T .
w
i 1
n
i
1
wi 0 (i 1,2 , ,n )
用拉格朗日乘子法解这一有约束纯量优化问题， 则拉格朗日函数为 L (aij w j wi ) 2 2 ( wi 1)
i 1 j 1 i n n
L对wi (l 1,2, , n)求偏导数， 并令其为0, 得n个代数方程 :
３、逻辑和法 意为“或门”，这种方法与满意值法的 思想正好相反，它为每个属性规定一个阀值yj*(j=1,…,n), 方案xi 只要有一个属性的值yij 优于阀值yj* ，即yij≥yj*,j=1 或2或…n时，方案xi就被保留。
§ 9.2 确定权的常用方法
权包含并反映下列几重因素(1)决策人对目标的重视 程度；(2)各目标属性值的差异程度；(3)各目标属性值的 可靠程度。
若决策人能够准确估计aij (i, j J ), 则有 : aij 1 / a ji aij a1k a kj (i, j , k J ) a ii 1 且 当 wi 1时
i 1 n
aij
i 1
n
w
i 1
n
i
wj 1
wj
a
i 1
n
ij
若决策人对aij的估计不准确， 则上列各式中的等号应为近似号。 n n 2 这时可用最小二乘法求w。 即解 : min (aij w j wi ) i 1 j 1 受约束于 :
3、最优值为给定区间时的变换 设给定的最优属性区间为[yj0ห้องสมุดไป่ตู้yj*],yj’ 为无法容忍 下限，yj’’为无法容忍上限，则
1 ( y 0 yij ) /( y 0 y 'j ) j j 1 zij 1 ( yij y * ) /( y 'j' y * ) j j 0
§ 9.1.3方案的筛选
１、选优法 又称优势法，是利用非劣解的概念(即优 势原则)去淘汰一批劣解:若方案Ｘ中方案xi与方案xk相比 时，方案xi 至少有一个属性值严格优于方案xk ，而且方 案xi 的其余所有属性值均不劣于方案xk,则称方案xi 比方 案xk占优势，或称方案xk与方案xi相比处于劣势；处于劣 势的方案xk可以从方案集X中删除。 ２、满意值法 又称逻辑乘法(即与门)。不失一般性， 设各属性均为效益型。这种方法对每个属性都提供一个 能够被接受的最低值，称为切除值，记作yj0(j=1,…,n),只 有当方案xi 的各属性值yij 均不低于相应的切除值时，即 yij≥yj0,j=1,2,…，n均满足时，方案xi才被保留；只要有一 个属性值yij<yj0,方案xi就被删除。
9.2.1 最小二乘法
首先由决策人把目标的重要性作成对比较， 设有n个 1 2 目标， 则需要比较C n n(n 1)次， 把第i个目标对第j个 2 目标的相对重要性记为aij , 并认为， 这就是属性i的权wi 和 属性j的权w j 之比的近似值，a ij wi / w j , n个目标成对比较 的结果为矩阵A。 a11 a12 a1n w1 / w1 w1 / w2 w1 / wn a a 22 a 2 n w2 / w1 w2 / w2 w2 / wn (9.8) A 21 a n1 a n 2 a nn wn / w1 wn / w2 wn / wn
2、标准0-1变换 从表9.4可知，属性值进行线性变换后，若属性j 的最优值为1，则最差值一般不为0;若最差值为0,最 优值就往往不为1。为了使每个属性变换后的最优值 为1且最差值为0,可以进行标准0-1变换。对效益型属 性j,令
zij
yij y min j y
max j
y
min j
(9.3)
若y 'j yij y 0 j 若y yij y
0 j * j
若y 'j' yij y * j 其他
变换后的属性值zij与原属性值yij之间的函数图形为一 般梯形。
1
y j
yj
0
yj *
y j
表9.6 表9.3之属性2的数据处理
i 1 2 3 4 5
j
生师比y2 5 7 10 4 2
1、线性变换 原始的决策矩阵为Y={yij} ,变换后的决策矩阵记为 Z={zij},i=1,…,m,j=1,…,n。设yjmax 是决策矩阵第j列中的 最小值。若j为效益型属性，则 zij=yij/yjmax (9.1) 采用上式进行数据预处理时，经过变换的最差属性值不 一定为0，最佳属性值为1。 若j为成本型属性，可以令 zij=1-yij/yjmax (9.2) 经过(9.2)变换后的最佳属性值不一定为1，最差为0。成 本型属性也可以用下式进行变换： zij’=yjmin/yij (9.2’) 用式(9.2’)变换后的属性最差不一定为0,最佳为1,且是非 线性变换。
5、原始数据的统计处理 有些时候某个目标的各方案属性值往往相差极大， 或者由于某种特殊原因只有某个方案特别突出。如 果按一般方法对这些数据进行预处理，该属性在评 价中的作用将被不适当地夸大。为此可以采用类似 于评分法的统计平均方法。方法之一是设定一个百 分制平均值M，将方案集X中各方案该属性的均值定 位于M，再用下式进行变换： yij y j zij max (1.00 M ) M (9.7) yj y j
表9.4 表9.3经线性变换后的属性值表
i 1 2 3 4 5 j z1(y1) 0.0357 0.0714 0.2143 0.1071 1.0000 z3(y3) 1.0000 0.8000 0.2520 0.6000 0.0568 z4(y4) 0.0000 0.5319 0.3617 0.1702 0.7447 z4’(y4) 0.2553 0.5455 0.4000 0.3077 1.0000
例9.2 研究生院评估。为了客观地评价我国研究生教育的 实际状况和各研究生院的教学质量，国务院学位委员会 办公室组织过一次研究生院的评估。为了取得经验，先 选5所研究生院，收集有关数据资料进行了试评估。表9.3 中所给出的是为了介绍各种数据预处理方法的需要而选 的几种典型属性和经过调整了的数据。
j
i
1 2 3 4 5
人均专著 生师比y2 科研经费 逾期毕业 y1/(本/人) y3/(万元/年) 率y4/(%) 0.1 0.2 0.6 0.3 2.8 5 7 10 4 2 5000 4000 1260 3000 284 4.7 2.2 3.0 3.9 1.2
9.1.2 数据预处理
数据预处理又称属性值的规范化，主要有三个 作用： (1)属性值有多种类型。有的属性值越大越好。有的 属性值越小越好，有的属性值越接近于某个值越好。 因此，需要对决策矩阵中的数据进行预处理，使表 中任一属性下性能越优的方案变换后的属性值越大。 (2)无量纲化。多目标间的不可公度性，要求仅用数 值的大小来反映属性值的优劣。 (3)归一化。即把表中数均变换到[0,1]区间上。 数据处理的本质是要给出某个指标的属性值在 决策人评价方案优劣时的实际价值。
第五章 多属性决策(Multi-attribute Decisionmaking)
§5.1 求解多属性决策问题的准备工作 5.1.1 决策矩阵
设可供选择的方案集为: X {x1 , x2 ,..., xm } 方案的属性集为: Y { y1 , y 2 ,..., y n } 决策矩阵为:
x1 … xi … xm y1 y11 … yi1 … ym1 … … … … … … yj y1j … yij … ymj … … … … … … yn y1n … yin … ymn
其中， 是各方案属性j的均值，m为 方案个数，M的取值可在0.5-0.75之间。
1 m y j yij m i 1
式(9.7)可以有多种变形，例如： ' zij 0.1( yij y j ) / j 0.75 (9.7' ) 其中，σj方案集X中各方案关于指标j的属性值的均方差， 当高端均方差大于2.5σj时变换的值均为1.00。这种变换的 结果与专家打分的结果比较吻合。 表9.8 表9.3之属性1用不同方法处理结果比较
j为成本型属性时， 令 zij y max yij j y
max j
y
min j
(9.4)
表9.5 表9.3经标准0-1变换后的属性值
i 1 2 3 4 5 j z1(y1) 0.0000 0.0370 0.1852 0.0741 1.0000 z3(y3) 1.0000 0.7880 0.2070 0.5759 0.0000 z4(y4) 0.0000 0.7142 0.4857 0.2286 1.0000
i 1 2 j 人均专著 y1(本/人) 0.1 0.2 线性变换 0.0357 0.0714 用式 (9.7)(M=0.7) 0.5950 0.6100 用式 (9.7’) 0.6625 0.6750
3 4 5
0.6 0.3 2.8
0.2143 0.1071 1.0000
0.6700 0.6250 1.0000
例9.1学校扩建问题。设某地区现有6所学校，由于无法完 全容纳该地区适龄儿童，需要扩建其中的一所。在扩建时 既要满足学生就近入学的要求，又要使扩建的费用尽可能 小。(至于所扩建学校的教学质量我们稍后再考虑。)经过 调研，获得如表9.2所示的决策矩阵。
学校序号 1 2 3 4 5 6 费用/(万元) 60 50 44 36 44 30 平均就读距离/(km) 1.0 0.8 1.2 2.0 1.5 2.4
表9.7 表9.3经向量规范化后的属性值 表中最右一列是属性2经式(9.5)变换后的值再进行向量规 范化的结果。 i 1 2 3 4 5 j z1(y1) 0.0346 0.0693 0.2078 0.1039 0.9695 z3(y3) 0.6956 0.5565 0.1753 0.4174 0.0398 z4(y4) 0.6482 0.3034 0.4137 0.5378 0.1655 z2’(z2) 0.6666 0.5555 0.2222 0.4444 0.0000