分析基本图形 解决几何问题

分析基本图形解决几何问题

赵静

【摘要】基本图形分析法是几何教学中常用的基本方法,是几何教学的着手点.以理论型基本图形为基础,建立与几何知识的双向关联;以经验型基本图形为阶梯,在方法渗透中提高分析能力.利用基本图形分析法解决复杂问题,可以发展学生解决几何问题的能力.

【期刊名称】《上海中学数学》

【年(卷),期】2018(000)001

【总页数】3页(P86-88)

【关键词】基本图形分析法;初中几何问题

【作者】赵静

【作者单位】201250 上海市东门中学

【正文语种】中文

在初中几何教学中，根据问题的条件和结论，分析并找出组成这个几何问题的一个或若干个基本图形，再利用它们的性质，得到解决问题的几何分析方法，就是基本图形分析法.几何题目千变万化，但是，从中都能找到一些基本图形，因此，在几何教学中，教师应培养学生寻找基本图形的意识，引导学生从中提炼基本图形、剖析基本图形、构造基本图形，纵横联想，训练学生应用基本图形的能力，以基本图形为载体，培养学生的逻辑推理能力和问题探究能力.

一、以理论型基本图形为基础，建立与几何知识的双向关联

课本中的概念、公式和定理对应的图形叫做理论型基本图形.在教学过程中要把基本的定义定理以基本图形的形式反映出来，引导学生用几何语言表述相关的定义定理.想到几何知识便联想与之相关的几何图形，看到几何图形即想到相应的几何知识，改变把性质定理的文字表述与图形割裂的学习方法.教师在课堂教学中，要渗透这种理解、记忆几何知识的方法.

图1

如学习“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和”时，联想三角形外角的相关性质，可想到三角形外角基本图，如图1所示.看到图1的形状即想到

∠1=∠A+∠B，今后看到这种图形也就能联想到与之相关的知识.

案例1：等腰三角形性质的教学

图2

等腰三角形是初中几何的重要基本图形之一，本节课主要内容是学习等腰三角形的两条性质“等边对等角”和“等腰三角形三线合一”，等腰三角形的性质也是今后证明角相等、线段相等和直线垂直的重要工具.但学生往往喜欢用三角形全等的方法去解题，而对于“等腰三角形三线合一”的运用比较陌生.为了加深学生对这一基本图形的认识和理解，本节课将从三个环节步步深入.

环节一：考虑到学生学过轴对称图形，并且知道等腰三角形是轴对称图形，所以从图形的对称性入手，让学生猜测它的对称轴，使其对图形产生直观认识，并为后面的教学做铺垫.

环节二：在论证“等边对等角”的过程中，很多学生缺乏思路，教师需引导学生添加辅助线解决问题，让学生初步感受图2中的线段AD在解决问题时的优越性. 图3

环节三：在巩固应用时，设置一道开放性的题目.如图3，在△ABC中，AB=AC，

D、E在BC上，AD=AE，你还能找到哪些等量关系？学生讨论，寻找等量关系，随后对其中一个等量(BD=CE)进行严密证明.不出所料，很多学生还是习惯用全等

三角形的判定和性质解题，针对这种情况，请一位用“三线合一”思路解题的学生展示解法，其他学生眼前一亮，原来还有这么简单的方法！如此一来，“等腰三角形三线合一”这一基本图形在解决问题中的优越性，便在学生的脑海中留下了深刻的印象.

二、以经验型基本图形为阶梯，在方法渗透中提高分析能力

重要的例题和习题所对应的图形叫做经验型基本图形，经验型基本图形都是由两个或两个以上的简单的理论型基本图形组合而成的.

(一)利用课本例题与习题渗透基本图形分析法

课本是教学之本，课本中的例题、习题都是经过专家精心挑选，认真思考、改编的经典题目.从各地的中考试卷中不难发现，很多试题都能在课本例题、习题中发现

它们的痕迹.所以教师要重视对课本例题、习题中基本图形的挖掘，并进行深入思考，给学生根深蒂固的印象.

案例2：例题与习题中的基本图形分析

图4

例1 如图4，在△ABC中，已知∠BAC=90°，AB=AC，点A在DE上，∠D=90°，∠E=90°.(1)说明∠BAD与∠ACE相等的理由.(2)说明△BDA与△ACE全等的理由.

这是课本中一道典型的基础几何题，绝大多数的学生通过同角的余角相等或外角性质都能解决.但本题如果就此结束未免太浪费资源，教师可以通过变式训练加深学

生对这一基本图形的理解与认识.实践表明，学生的思维被激发，思维空间将迅速

扩展.

变式如图5，在△ABC中∠ACB=90°，AC=BC,直线l经过点C，AD⊥l于点

D,BE⊥l于点E.(1)找出图中的全等三角形，并说明理由；线段AD、BE、DE之间

有怎样的数量关系？(2)当直线l绕点C旋转到如图6的位置，AD⊥l于D,BE⊥l

于E,线段AD、BE、DE有怎样的数量关系？并说明理由.

图5图6

图7

趁热打铁，结合课后练习：如图7，在△ABC中,已知点D、E、F分别在边BC、AC、AB上，且FD=DE，BF=CD，∠FDE=∠B，那么∠B与∠C的大小关系如何？为什么？

在解决这个问题后，请学生观察本题与课本例题有何共性.学生惊奇地发现：一方面，这两幅图都是一条线上有三个相等的角，即“一线三等角”；另一方面，这两道问题都可以利用外角性质找到相等的角.因此，今后遇见“一线三等角”的基本

图形，便可以首先想到用外角性质解决问题，如果三个角都是直角，那么利用同角的余角相等这一性质也可.

(二)发现重要数学规律时，渗透基本图形分析法

尽管几何部分有很多知识点，但是每块内容的相关练习都有许多共性，可以把其中最有共性、最本质的基本元素提炼出来作为基本图形，方便解决问题.

案例3：平行线、角平分线、等腰三角形为基本图形的分析

图8

例2 如图8，在△ABC中，BD平分∠ABC，过点D作BC的平行线DE,交AB于E，试说明DE=BE的理由.

这是一道很常见的几何证明题，证明完成后，教师可以变换条件和结论.例如:已知

在△ABC中，BD平分∠ABC，DE=BE，试说明DE与BC平行的理由；或者已知DE=BE，DE与BC平行，试说明BD平分∠ABC的理由.学生会发现平行线、角平分线、等腰三角形作为基本图形所反映的规律：任意两个元素作条件，第三个元素即可作为结论被推出.解题时如遇到三个元素中的两个，即可自然联想第三个元素，