五同 第2讲 等差数列

第二讲 等差数列
教学课题：等差数列
教学课时：两课时
教学目标：
1、掌握等差数列的前n项和公式，以及求项数和求末项的公式
2、进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式。

3、了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关的问题
教学重点：熟练掌握等差数列的求和公式。

教学难点：引导学生推导等差数列的三个公式
教学过程：
1、 故事导入
高斯是德国著名的大科学家，他最出名的故事就是在他10岁时，小学老师出了一道算术难题：计算1＋2＋3＋……＋100＝？这下可难倒了刚学数学的小朋友们，他们按照题目的要求，正把数字一个一个地相加．可这时，却传来了高斯的声音：“老师，我已经算好了！”
老师很吃惊，高斯解释道：因为1＋100＝101，2＋99＝101，3＋98＝101，……，49＋52＝101，50＋51＝101，而像这样的等于101的组合一共有50组，所以答案很快就可以求出：101×50＝5050
今天我们也要学习关于等差数列的知识。

2、 新课
例1、找规律填空。

1）2，9，16，23，_30_ ,__37__；
2）4，9，14，19，24，__29__ ,__34_；
3）1,2,4,7,11,__16__ ,__22__；
4) 32,16,8,4,__2__ ,___1_；
分析：填完了以后说一说这几组等差数列各部分的名称
（1）首项：2 末项：37 公差：7 项数：6
（2）首项：4 末项：34 公差：5 项数：7
（5）首项：3 末项：15 公差：2 项数：7
例4、等差数列2，7，12，17,22……的第150项是多少？
分析：首项是2，公差是5，项数是150，求第150项
首项2加上1个公差
从2开始加上1个公差就得到第二个数，加上2个公差就得到第三个数，加上3个公差就得到第四个数……那加上多少个公差就等于第150个项？
2＋5×（150－1）＝747
公式：首项＋公差×（项数－1）＝第几项
例2、在等差数列：3、7、11、15……中，399是其中的第几项？
分析：首项是2，末项是399，公差是4，求399是其中的第几项就是求这一数列一共游多少个，也就是求项数。

从3开始加上1个公差就得到第二个数，加上2个公差就得到第三个数，加上3个公差就得到第四个数……那加上多少个公差就等于399呢？
（399－3）÷4＋1＝100
公式：（末项－首项）÷公差＋1＝项数
课堂练习：例5 （302-8）÷（14-8）+1=50
例3、已知等差数列的第一项是4，第9项是52，求这个数列的公差。

分析：首项是4，第2项是4加1个公差，第3项是4加2个公差，第4项是4加3个公差……第9项是4加8个公差。

所以得到：4＋8×公差＝52
因此要求出公差我们列式：（52-4）÷（9-1）=6
公式：（末项－首项）÷（项数－1）＝公差
课堂练习：巩固练习4
例6、（1）有这样一列数，1、2、3、4……99、100。

请你求出这列数各项相加的和。

分析：这是一组等差数列，首项是1，末项是100，公差是1，项数是100
求这100个数的和，我们可以把1和100、2和99、3和98、4和97……这样分成两个一组，每一组的和都是101，因此100个数两个一组就有50组，那么就有50个101，所以他们的和等于101×50＝5050
原式＝（1＋100）×100÷2＝5050
总结：由此我们得到等差数列求和的公式
和＝（首项+末项）×项数÷2
课堂练习：巩固练习5（1）
补充：巩固练习5（3）3+5+7+9+……+93
分析：这个等差数列的首项是3，末项是93，公差是2，项数不知道，因此我们要在求和之前先求出项数，那就用我们之前学习的求项数的方法。

项数：（93－3）÷2＋1＝46（项）
求和：（3＋93）×46÷2＝2208
（2）计算（2+4+6+......+100）-（1+3+5+ (99)
分析：通过观察我们可以看出，这是求两个等差数列的和相减的得数，那我们分别求出这两个等差数列的和，再相减。

2+4+6+……+100
＝（2＋100）×50÷2
＝2550
1+3+5+……+99
＝（1＋99）×50÷2
＝2500
2550－2500＝50
还有没有更简单的方法呢？我们可以看出第一组等差数列的和要减去第二组等差数列的和，实际上就是第一组里的数减去第二组里的数。

原式＝（100-99）+（98-97）+……（2-1）=50
课堂练习：巩固练习6（2）
例7、求100以内所有的3的倍数的和。

分析：100以内3的倍数的数是3、6、9、12、15…… 99，首项是3，末项是99，项数是多少呢？因此我们首项要算出3的倍数的数一共有多少个？
项数：99÷3＝33（项）
和：（3+99）×33÷2=1683
例8、在8到1000之间插入247个数，使每相邻两个数的差相同（后面的数大于前面的数），这个差是多少？
分析：“使每相邻两个数的差相同”说明这些数要组成的是一组等差数列。

首项是8，末项是1000，项数是247＋2＝249，求公差因为8＋公差×（249－1）＝1000
所以，公差＝（1000－8）÷（249－1）＝4
课堂练习：巩固练习9
3、 课堂小结
那我们今天的课即将进入尾声，我们现在一起来回顾一下，我们今天学习的几种巧算方法
1、凑整法；
2、找基准数；
3、乘法分配律的变形；
4、数列求和。

5、比较乘积
四、课后作业
练习1、2、3、4、5、6、7、8
五、板书设计
等差数列的定义
首项，末项，项数，公差
末项=首项+（项数-1）×公差
项数-1=公差的个数
项数=（末项-首项）÷公差+1
.和=（首项+末项）×项数÷2
参考答案：
练习巩固
1、 在等差数列：1、6、11、16……中，402是这列数中的第几个数？
题目中数据有误，将402改为401
（401-1）÷（6-1）+1=81
2、 已知等差数列的第一项是12，第8项是40，求公差。

（40-12）÷（8-1）=4
3、等差数列3,7,11,15,19……的第50个数是多少？
3+（50-1）×（7-3）=199
4、有一个等差数列：9、12、1
5、18……2004，这个数列共有多少项？
（2004-9）÷（12-9）+1=666
5、计算：
（1）4+5+6+7+8……+80 （2）11+12+13+……+200 =（4+80）×（80-4+1）÷2 =（11+200）×（200-11+1）÷2
=84×77÷2 =211×190÷2
=3234 =20045
（3）3+5+7+9+……+93
=（3+93）×〔（93-3）÷（5-3）+1〕÷2
=96×46÷2
=2208
（4）100+110+120+……+350
=（100+350）×〔（350-100）÷（110-100）+1〕÷2 =450×26÷2
=5850
6、用简便方法计算：
（1） （100+102+104+......+200）-（1+5+9+13+ (97)
=（100+200）×〔（200-100）÷（102-100）+1〕÷2-（97+1）×〔（97-1）÷（5-1）+1〕÷2
=300×51÷2-98×25÷2
=7650-1225
=6425
（2） 2+3-4+5+6-7+8+9-10+11+12-13+……+101+102-103 =（2+3-4）+（5+6-7）+（8+9-10）+……+（101+102-103） =1+4+7+……+100
=（1+100）×〔（100-1）÷（4-1）+1〕÷2
=101×34÷2
=1717
7、用简便方法计算：
2005+2004-2003+2002+2001-2000+1999+1998-1997+……
+1006+1005-1004
=（2005+2004-2003）+（2002+2001-2000）+……+（1006+1005-1004）
=2006+2003+……+1007
=（2006+1007）×〔（2006-1007）÷（2006-2003）+1〕÷2
=3013×334÷2
=503171
8、（1）500以内所有11的倍数的自然数和是多少？
这列数为：11、22、33、……、495
和为：(11+495) ×〔（495-11）÷11+1〕÷2=11385
（2）500以内所有不是11的倍数的自然数和是多少？
(1+500) ×500÷2=125250
125250-11385=113865
9、阳光电影院有30排座位，后面一排总比它前面一排多2个座位，最后一排有132个座位，阳光电影院共有多少个座位？
第一排有座位：132-（30-1）×2=74（个）
共有：（74+132）×30÷2=3090（个）
10、玲玲家住在一条小胡同里，一天她算了算这条胡同的门牌号码。

她发现，除掉她自己家的不算，其余门牌号码之和正好是100。

这条胡同一共有多少户？（即多少个门牌号码）玲玲家的门牌号是多少？
先估算一下范围：1+2+3+4+……+13=91
1+2+3+4+……+14=105
100刚好位于这两数的中间，所以这条胡同一共有14户。

玲玲家的门牌号是：105-100=5（号）。