八年级数学上册 5.2 二次根式的除法(第2课时)课件 (新版)湘教版
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湘教版-数学-八年级上册-5.2二次根式的乘法和除法 精品课件
302 30
练习 • （1）2 3 24 3 （2） 2 2 10 5
原式= 233 22 2 原式=
32 2255
232 625
12
60
巩固
1.计算：
解 1 3 15
315 32 5
3 5 2.设a≥0，b≥0，计算：
解 1 3a3b 15b2
32 5 a3b3 3ab 5ab
4
2
4a 原式= 2• a • 2• 22 • a
讨论
• 有根系数的二次根式的乘法怎么计算？
• 如：2 3 5 21
分析
二次根式的乘法：根式和根式按公 式相乘。
m a n b mn ab（a≥0，b≥0 ）
根号外的系数与系数相乘，积 为结果的系数。
5 例：计算：
解：
12 4
27
(5 4) 12 27
术平方根
注意:
a、b必须都是非负数！
计算：
1 2 6
1 72 3 （2）
解
1 2 6 26 12 22 3 2 3
（2） 1 3
72 =
1 72 3
24
22 6 2 6
二次根式的运算结果，一定要进行化简，在化简二次根式时，通常是 先把根号下的每个数分解因数，然后把每一个平方因子去掉平方号后 移到根号外（同一个因数出现两次，就可以把这一个因数移到根号外， 例如 3 3 7 3 7 ）
16 3
方法2： 24 32
2 64 2 8 232 16 3
结果必须化为最简二次根式.一想：. a b •••• k ?
它与 ab • • • k 是否相等？如果相等那么 a. b. k有限制吗？ (a 0,b 0....k 0)
练习 • （1）2 3 24 3 （2） 2 2 10 5
原式= 233 22 2 原式=
32 2255
232 625
12
60
巩固
1.计算：
解 1 3 15
315 32 5
3 5 2.设a≥0，b≥0，计算：
解 1 3a3b 15b2
32 5 a3b3 3ab 5ab
4
2
4a 原式= 2• a • 2• 22 • a
讨论
• 有根系数的二次根式的乘法怎么计算？
• 如：2 3 5 21
分析
二次根式的乘法：根式和根式按公 式相乘。
m a n b mn ab（a≥0，b≥0 ）
根号外的系数与系数相乘，积 为结果的系数。
5 例：计算：
解：
12 4
27
(5 4) 12 27
术平方根
注意:
a、b必须都是非负数！
计算：
1 2 6
1 72 3 （2）
解
1 2 6 26 12 22 3 2 3
（2） 1 3
72 =
1 72 3
24
22 6 2 6
二次根式的运算结果，一定要进行化简，在化简二次根式时，通常是 先把根号下的每个数分解因数，然后把每一个平方因子去掉平方号后 移到根号外（同一个因数出现两次，就可以把这一个因数移到根号外， 例如 3 3 7 3 7 ）
16 3
方法2： 24 32
2 64 2 8 232 16 3
结果必须化为最简二次根式.一想：. a b •••• k ?
它与 ab • • • k 是否相等？如果相等那么 a. b. k有限制吗？ (a 0,b 0....k 0)
湘教版5.二次根式的除法课件
课堂小测
3.若使等式 2k 4 2k 4 成立，则实数k取值范
围是
k 1 k 1
（ B）
A.k≥1
B.k≥2
C. 1＜k≤2
D. 1≤k≤2
4.下列各式的计算中，结果为 2 5 的是（ C ）
A. 10 2 C. 1 1
2 40
B. 2 5 D. 8 5
课堂小测
5. 化简：
(1) 72 ; 6
二次根式的商的算术平方根性质
文字叙述:
a a (a 0,b 0). bb
被开方数商的算术平方根等于算术平方根的商.
当二次根式根号外的因数(式)不为1时，可类 比单项式除以单项式法则，易得
m a m a (a 0,b 0, n 0). n b nb
新知探究
例1：化简下列二次根式．
(1)
r2 2Rh2 h2 0.45 45 3 5 3
课堂小结
商的算术平方根 → b b (a 0,b 0)
↓（逆用）
aa
↓
b b (a 0,b 0) → 计算与化简 → 最简二次根式
aa
课堂小测
1.化简 18 2 的结果是（ B ）
A．9
B．3
C．3 2 D．2 3
2.下列根式中，最简二次根式是（ C ） A. 18 B. 24 C. 30 D. 36
解: (1) 72
6
(2) 2 27 ; 38
72 12 2 3. 6
(3) 118 19 . 27 27
(2) 2 27 2 27 23 3 3 3 2 6 . 3 8 3 8 32 2 2 2 2 2
(3) 118 19 64 64 8 8 3 = 8 3 . 27 27 27 27 3 3 3 3 3 9
5.2.2二次根式的除法课件湘教版八年级数学上册
在这醉人芬芳的季节，愿你生活像春天一样阳光，心情 76、决生人不命生能太贵放过相弃短知，暂世，何界今用上天金没放与有 弃 钱失 了 。败 明20， 天.7.只 不14有 一20放 定.7弃 能.1。 得42到200.。7.7.1.814时4。23023.0分72.1804时年23073.月7分.1144日。-J星2u0l期-2200二年7二.71月4〇.21二042日〇0星年期七二月二十〇四二日〇年七月十四日 像桃花像一桃样花美一丽样，美感丽谢，你感的谢阅你读的。阅读。 87、人放勇生眼气就前通像方往卫，天生只堂纸要，，我怯没们懦事继通的 续 往时 ， 地候 收 狱尽 获 。量 的20少 季:33扯 节2。 就0:3在230前:2353方72.。01:432.302:.02724.1074T.12u40e..s27d0.1a24y02,T0Ju.ue7lsy.1d14a4。y,,2J0u2ly0年147,月201240日星期二二〇二〇年七月十
5
问题1 某一登山者爬到海拔100米处，即 h 20 时，
5
他看到的水平线的距离d1是多少？
解：d1 8 20 16 5.
新知探究
问题2 该登山者接着爬到海拔200米的山顶，即 h 40
5
时，此时他看到的水平线的距离d2是多少？
解： d2 8 40 16 10.
问题3 他从海拔100米处登上海拔200米高的山顶， 那么他看到的水平线的距离是原来的多少倍？
解：d2 16 10 .
d1 16 5
二次根式的除法 该怎样算呢？
思考 乘法法则是如何得出的？除法有没有类似的
法则？
新知探究
一 二次根式的除法 计算下列各式:
(1)
4
2
_2__÷__3_=__3__;
5
问题1 某一登山者爬到海拔100米处，即 h 20 时，
5
他看到的水平线的距离d1是多少？
解：d1 8 20 16 5.
新知探究
问题2 该登山者接着爬到海拔200米的山顶，即 h 40
5
时，此时他看到的水平线的距离d2是多少？
解： d2 8 40 16 10.
问题3 他从海拔100米处登上海拔200米高的山顶， 那么他看到的水平线的距离是原来的多少倍？
解：d2 16 10 .
d1 16 5
二次根式的除法 该怎样算呢？
思考 乘法法则是如何得出的？除法有没有类似的
法则？
新知探究
一 二次根式的除法 计算下列各式:
(1)
4
2
_2__÷__3_=__3__;
湘教版2020-2021学年八年级数学上册5.2.2二次根式的除法课件
(4)
81 25x2
x
0;
(5) 0.09 169 . 0.64 196
解：(3) 2 7＝ 25＝ 25 ＝5 .
9 9 93
(4)
81 25x2
92
5x2
=
9 5x
.
先应用商的算术平 方根的性质，再运 用积的平方根性质
(5) 0.09169 0.32 132 0.313 39 . 0.64196 0.82 142 0.814 112
花一样美丽，感谢你的阅读。 二日 8、拥有梦想只是一种智力，实现梦想才是一种能力。09:0509:05:037.12.2020Sunday, July 12, 2020
新知探究
例3 计算：
(1) 15 ； 3
( 2 ) 3 42； 56
( 3 ) 14. 6
解： (1) 15 3
15 3
5；
( 2 ) 3 42 56
3 5
42 6
3 5
7；
(3)
14 6
14 6
7 3
73 3 3
321.
新知探究
例4 计算：
(1) 24 ; 3
(2) 3 1; 28
解: (1) 24 24 8 2 2.
42 2 4 2 .
25
5
新知探究
我们知道，把积的算术平方根的性质反过来就 得到二次根式的乘法法则.
类似的，把二次根式的商的算术平方根的性质反过 来，就得到二次根式的除法法则:
a a (a 0,b 0). bb
语言表述：积中各因式的算术平方根的商，等 于商的算术平方根. 我们可以运用它来进行二次根式的解题和化简.
5
时，此时他看到的水平线的距离d2是多少？
5.2二次根式的乘、除法 课件湘教版八年级数学上册
76、决生人不命生能太贵放过相弃短知，暂世，何界今用上天金没放与有弃钱失了。败明20，天.7.只不14有一20放定.7弃能.1。得42到200.。7.7.1.814时4。23023.0分72.1804时年23073.月7分.1144日。-J星2u0l期-220二0年7二.71月4〇.21二042〇日0年星七期月二十二四〇日二〇年七月十四日
例3 计算：
( 1 ) 15 ； 3
( 2 ) 3 42； 56
( 3 ) 14. 6
解 ( 1 ) 15 3
=
15 3
=
5.
( 2 ) 3 42 56
=
3 5
42 6
=
3 5
7.
(3)
14 = 6
14 6
=
7 3
=
73 3 3
=
231 .
例6
电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波传播得越远， 从而能接收到电视节目信号的区域就越广. 已知 电视塔高h（km）与电视节目信号的传播半径r（km） 之间满足 r 2Rh（其中R是地球半径）.现有两座高 分别为h1=400m， h2=450m的电视塔，问它们的传播 半径之比等于多少？
这醉人这芬春醉芳去人的春芬季又芳节回的，，季愿新节你桃，生换愿活旧你像符生春。活天在像一那春样桃天阳花一光盛样，开阳心的光情地，像方心桃，情在像桃 54、努不海力要内不为存不它知一的已定结，成束天功而涯，哭若不，比努应邻力当。一为Tu定它es不的da成开y,功始Ju。而ly笑T1u。4e,s72d.0a12y40,.2J0u2ly021704.1T,42u.02e20sd02aJ0uy2,l0yJ:32u30ly2T10u4:e3,s32d20a02y:03, 73Ju/:12ly4/212040:,232030:22407/14/2020 花一这样醉花美人一丽芬样，芳美感的丽谢季，你节感的，谢阅愿你读你的。生阅活读像。春天一样阳光，心情像桃 65、莫你生愁必命前须的路非成无常长知努，已力需，，要天才吃下能饭谁看，人起还不来需识毫要君不吃。费苦8时力，3。吃3分亏8时8。时3T33u分3e分8sd时1a43y-3J, u分Jlu-1l2y401-7J4.u1,l42-2.02020702.J10u4l.y202200Tuesday, July 14, 20207/14/2020
例3 计算：
( 1 ) 15 ； 3
( 2 ) 3 42； 56
( 3 ) 14. 6
解 ( 1 ) 15 3
=
15 3
=
5.
( 2 ) 3 42 56
=
3 5
42 6
=
3 5
7.
(3)
14 = 6
14 6
=
7 3
=
73 3 3
=
231 .
例6
电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波传播得越远， 从而能接收到电视节目信号的区域就越广. 已知 电视塔高h（km）与电视节目信号的传播半径r（km） 之间满足 r 2Rh（其中R是地球半径）.现有两座高 分别为h1=400m， h2=450m的电视塔，问它们的传播 半径之比等于多少？
这醉人这芬春醉芳去人的春芬季又芳节回的，，季愿新节你桃，生换愿活旧你像符生春。活天在像一那春样桃天阳花一光盛样，开阳心的光情地，像方心桃，情在像桃 54、努不海力要内不为存不它知一的已定结，成束天功而涯，哭若不，比努应邻力当。一为Tu定它es不的da成开y,功始Ju。而ly笑T1u。4e,s72d.0a12y40,.2J0u2ly021704.1T,42u.02e20sd02aJ0uy2,l0yJ:32u30ly2T10u4:e3,s32d20a02y:03, 73Ju/:12ly4/212040:,232030:22407/14/2020 花一这样醉花美人一丽芬样，芳美感的丽谢季，你节感的，谢阅愿你读你的。生阅活读像。春天一样阳光，心情像桃 65、莫你生愁必命前须的路非成无常长知努，已力需，，要天才吃下能饭谁看，人起还不来需识毫要君不吃。费苦8时力，3。吃3分亏8时8。时3T33u分3e分8sd时1a43y-3J, u分Jlu-1l2y401-7J4.u1,l42-2.02020702.J10u4l.y202200Tuesday, July 14, 20207/14/2020
湘教版八年级数学上册《5.2 二次根式乘法和除法》课件
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You made my day!
我们，还在路上……
二次根式的除法
复习提问
3.二次根式的乘法：
a • b ab (a≥0,b≥0)
算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根
ab a• b (a0,b0)
积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根.
思考：二次根式的除法有没有类似的法则呢？
两个二次根式相除，怎样进行呢？商的算术平方根 又等于什么？
计算下列各式,观察计算结果,你发现什么规律?
=2
1 4
1
4
1 2
12 1
4
1
1 2
1 2
1 4 8
48
1 1 2
1 1
48 12
2 48
1 12 1 2 3 3
2
2
课堂小结：
1. 二次根式的除法有两种常用方法：
（1）利用公式：
a =
a (a
≥0，b>0)
bb
（2）把除法先写成分式的形式，再进行分母有理
化运算。
2. 在进行分母有理化之前，可以先观察把能化简的
二
次根式先化简，再考虑如何化去分母中的根号。
3. 利用商的算术平方根的性质化简二次根式。
二次根式的化简要求满足以下两条: (1)被开方数的因数是整数,因式是整式,也就是说“被开方 数不含分母”. (2)被开方数中不含能开得尽的因数或因式,也就是说“被 开方数的每一个因数或因式的指数都小于2”.
•不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另 一眼睛看到纸的背面。2022年4月13日星期三2022/4/132022/4/132022/4/13 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月2022/4/132022/4/132022/4/134/13/2022 •正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/4/132022/4/13April 13, 2022 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
You made my day!
我们，还在路上……
二次根式的除法
复习提问
3.二次根式的乘法：
a • b ab (a≥0,b≥0)
算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根
ab a• b (a0,b0)
积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根.
思考：二次根式的除法有没有类似的法则呢？
两个二次根式相除，怎样进行呢？商的算术平方根 又等于什么？
计算下列各式,观察计算结果,你发现什么规律?
=2
1 4
1
4
1 2
12 1
4
1
1 2
1 2
1 4 8
48
1 1 2
1 1
48 12
2 48
1 12 1 2 3 3
2
2
课堂小结：
1. 二次根式的除法有两种常用方法：
（1）利用公式：
a =
a (a
≥0，b>0)
bb
（2）把除法先写成分式的形式，再进行分母有理
化运算。
2. 在进行分母有理化之前，可以先观察把能化简的
二
次根式先化简，再考虑如何化去分母中的根号。
3. 利用商的算术平方根的性质化简二次根式。
二次根式的化简要求满足以下两条: (1)被开方数的因数是整数,因式是整式,也就是说“被开方 数不含分母”. (2)被开方数中不含能开得尽的因数或因式,也就是说“被 开方数的每一个因数或因式的指数都小于2”.
•不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另 一眼睛看到纸的背面。2022年4月13日星期三2022/4/132022/4/132022/4/13 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月2022/4/132022/4/132022/4/134/13/2022 •正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/4/132022/4/13April 13, 2022 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
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aa
上述公式从左至右看，是商 的算术平方根性质.利用这一性质， 可以化简二次根式.
典例 精例析1 化简下列二次根式．
(1)
7； 16
(2) 9 5.
解： (1) 176 17647；
(2) 9595353555355.
3
从5 到
3 5Байду номын сангаас
变5 形5
是为了去掉分母
中的根号.
化简二次根
式时，最后结果
一般要求分母中
aa
↓ → 计算与
aa
化简
→ 最简二 次根式
见《学练优》本课时练 习
解 设两座电视塔的传播半r径1 , r2 . 分别为
因为r 2 R h ,4 0 0 m 0 .4 k m ,4 5 0 m 0 .4 5 k m ,
所以r12R h 1h 10.44021022.
r2 2R h 2 h 2 0.45 45 35 3
当堂练习
1. 化简下列二次根式：
(1)
25 ； 16
b ba＞0，b0.
aa
把前面学到的公式从右至左看就 可得：
b ba＞0，b0.
aa
利用上述公式，可以进行二次根式 的除法运算.
思考：运用二次根式的除法公 式要注意什么？
例2 计算：
(1 )1 5；(2)34 2 ；(3 )1 4 .
3
56
6
解： (1) 15 3
15 3
5；
( 2 ) 3 42 56
答 案 ：5 4
(2)
9； 2
答案：3 2 2
( 3 ) 162 . 169
答案：9 2 13
2. 计算：
(1)855211； 答案：45
(2) 3 2 ； 3
( 3 ) 2 12 . 5
答案：6 答案：4 15
5
课堂小结
商的算术 → b b(a0,b0)
平方↓（逆根
用） b b(a0,b0)
4 9
, 4 9
；
(2)
16 49
，16 49
.
4 9
=
4 ... 9
讲授
新一课商的算术平方根的性质
一般地，如果 a＞0，则 a 1 a1 11
，
aa
因此，1 1 a＞0.
aa
a与1
a
如果设 a＞0，b，≥则0
互为 倒数.
bb1b 1b 1b. a a a aa
总结 归纳 因此得到，
b ba＞0，b0.
第5章 二次根式
5.2 二次根式的乘法和除法
第2课时 二次根式的除法
导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结
学习目 标
1.会利用二次根式的除法法则进行化简与求值运算; （重点）
2.能熟练地进行二次根式的乘除混合运算．（重点、 难点）
导入
新课
观察与
思考 计算下列各式，观察计算结果，你发现了什么？
(1)
3 5
42 6
3 5
7；
(3) 1641647373 33321.
例3 电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波传播得
越远，从而能接收到电视节目信号的区域就越
广. 已知
电视塔高h（km）与电视节目信号的传播半径r
（km）之r 间满2R足h
（其中R是地球半
径）.现有两座高分别为h1=400m， h2=450m的电 视塔，问它们的传播半径之比等于多少？
上述公式从左至右看，是商 的算术平方根性质.利用这一性质， 可以化简二次根式.
典例 精例析1 化简下列二次根式．
(1)
7； 16
(2) 9 5.
解： (1) 176 17647；
(2) 9595353555355.
3
从5 到
3 5Байду номын сангаас
变5 形5
是为了去掉分母
中的根号.
化简二次根
式时，最后结果
一般要求分母中
aa
↓ → 计算与
aa
化简
→ 最简二 次根式
见《学练优》本课时练 习
解 设两座电视塔的传播半r径1 , r2 . 分别为
因为r 2 R h ,4 0 0 m 0 .4 k m ,4 5 0 m 0 .4 5 k m ,
所以r12R h 1h 10.44021022.
r2 2R h 2 h 2 0.45 45 35 3
当堂练习
1. 化简下列二次根式：
(1)
25 ； 16
b ba＞0，b0.
aa
把前面学到的公式从右至左看就 可得：
b ba＞0，b0.
aa
利用上述公式，可以进行二次根式 的除法运算.
思考：运用二次根式的除法公 式要注意什么？
例2 计算：
(1 )1 5；(2)34 2 ；(3 )1 4 .
3
56
6
解： (1) 15 3
15 3
5；
( 2 ) 3 42 56
答 案 ：5 4
(2)
9； 2
答案：3 2 2
( 3 ) 162 . 169
答案：9 2 13
2. 计算：
(1)855211； 答案：45
(2) 3 2 ； 3
( 3 ) 2 12 . 5
答案：6 答案：4 15
5
课堂小结
商的算术 → b b(a0,b0)
平方↓（逆根
用） b b(a0,b0)
4 9
, 4 9
；
(2)
16 49
，16 49
.
4 9
=
4 ... 9
讲授
新一课商的算术平方根的性质
一般地，如果 a＞0，则 a 1 a1 11
，
aa
因此，1 1 a＞0.
aa
a与1
a
如果设 a＞0，b，≥则0
互为 倒数.
bb1b 1b 1b. a a a aa
总结 归纳 因此得到，
b ba＞0，b0.
第5章 二次根式
5.2 二次根式的乘法和除法
第2课时 二次根式的除法
导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结
学习目 标
1.会利用二次根式的除法法则进行化简与求值运算; （重点）
2.能熟练地进行二次根式的乘除混合运算．（重点、 难点）
导入
新课
观察与
思考 计算下列各式，观察计算结果，你发现了什么？
(1)
3 5
42 6
3 5
7；
(3) 1641647373 33321.
例3 电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波传播得
越远，从而能接收到电视节目信号的区域就越
广. 已知
电视塔高h（km）与电视节目信号的传播半径r
（km）之r 间满2R足h
（其中R是地球半
径）.现有两座高分别为h1=400m， h2=450m的电 视塔，问它们的传播半径之比等于多少？