贵州省贵阳市第一中学2019届高三第三次模拟考试数学(文)试题

贵州省贵阳市第一中学2019届高三第三次模拟考试
数学（文）试题
本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★
注意事项：
1、考试范围：高考范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合{
}
2
230A x x x =--+≥，B=N ，则A ∩B=
A. {}
31x x x ≥-≥或 B. {}
31x x -≤≤ C. {0，1}
D. {-3，-2，-1，0，1} 2. (4-i)(1-i)= A. 3-5i
B. 5-5i
C. 3+5i
D. 5+5i
3. 已知向量,a b 满足1,2a a b =⋅=-，则(2)a a b ⋅-= A. 4
B. -4
C. 0
D. 2
4. 若1
tan 4
α=，则cos 2α= A. 1517
-
B. 1517
C. 1617
-
D.
1617
5. 下列判断错误的是
A. “22xm ym <”是x<y ”的充分不必要条件
B. 命题“32,230x R x x ∀∈--≤”的否定是“32000,230x R x x ∃∈-->”
C. 若p q ∨为假命题，则p ，q 均为假命题
D. 命题“若∠C=90°，则△ABC 是直角三角形”的逆命题、否命题、逆否命题这三个命题中，真命题的个数是2个
6. 《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今共织九十尺，问织几日？，其中“日减功迟”的具体含义是每天比前一天少织同样多的布，则每天比前一天少织（ ）尺. A ．
4
29
B ．
215
C ．429
-
D ．215
-
7. 如果执行如图1所示的程序框图，输入n=5，m=3，那么输出的p 等于
图1
A. 60
B. 360
C. 240
D. 120
8. 某几何体的三视图如图2所示，若该几何体的体积是
3
2
π，则它的表面积是
图2
A. 942
π+
B. 4π+4
C. 5π+4
D. 5π+2
9. 已知矩形ABCD 的顶点都在球心为O ，半径为R 的球面上，AB BC ==1
四棱锥O-ABCD 的体积为，则R 等于
A. 10
C. 9
10. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos 5
A =，cos cos 2b C c
B +=， 则△AB
C 的外接圆的面积为 A. 10π
B. 15π
C. 20π
D. 25π
11. 已知双曲线C ：22
221x y a b
-=(0,0)a b >>的右焦点为F ，右顶点为A ，虚轴的上端点为B ，
若双曲线C 中心到直线FB ||OA ，则双曲线的离心率e 等于
D. 2
12. 定义在(
,)2
π
π上的函数()f x ，已知'()f x 是它的导函数，且恒有
cos '()sin ()0x f x x f x ⋅-⋅>成立，则有
23(
)()34f ππ
> 23(
)()34f ππ
<
C. 23()()34
f ππ
>
D. 23()()34
f ππ< 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知角,αβ满足2
2
π
π
αβ-<-<
，302
π
αβ<+≤
，则4αβ-的取值范围是 ____________.
14. 若函数()cos(3)(||)2
f x x π
ϕϕ=+<的图象向右平移
4
π
个单位后得到的图像对应的函数是一个奇函数，则ϕ=__________.
15. 已知平面区域()
,11y x D x y x y y ⎧⎫
≤⎧⎪
⎪⎪
=+≤⎨⎨⎬⎪⎪⎪≥-⎩⎩⎭
，z=2x-y ，若命题“00(,),x y D z m ∀∈≤”为真命题，则实数m 的最小小值为__________.
16. 已知点F 是抛物线C:216y x =的焦点，点M 为抛物线C 上任意一点，过点M 向圆
22(4)1x y -+=作切线，切点分别为A ，B ，则四边形AFBM 的面积的最小值为__________.
三、解答题（共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. （本小题满分12分）
设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且221n n n S =-+，正项等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，且
2336,b a b a ==.
(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； (2)在数列{}n c 中，11c a =，且11
2
n n n c c T +=--，求{}n c 的通项公式.
18. （本小题满分12分）
贵阳一中社团为调查学生学习桥牌的情况，随机抽取了100名学生进行调查，根据调查结果绘制了学生日均学习桥牌时间的频率分布直方图（如图3). 将日均学习桥牌时间不低于40分钟的学生称为“桥牌达人”
.
图3
(1) 根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否有95%的把握认为“桥牌达人”与性别有关？
(2) 现在从桥牌达人中，采用分层抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中抽取3人参加桥牌比赛，求选出的三人恰有一名女生的概率.
2
2()
()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=
++++
19. （本小题满分12分）
如图4，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD=DC=CB=1，23
BCD π
∠=，四边形BFED 为矩形，平面BFED ⊥平面ABCD ，BF=1.
图4
(1) 求证：AD ⊥平面BFED ；
(2) 点P 在线段EF
上运动，求四棱锥P-ABCD 的体积.
20. （本小题满分12分）
已知椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的右焦点为F(c ，0)（b>c ），点B 是椭圆C 的短轴的一
个端点，△OFB
的面积为2
，椭圆C 上的两点H 、G 关于原点O 对称，且||,||FG FH 的等差中项为2.
(1) 求椭圆C 的方程；
(2) 是否存在国点M(2，1)的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点P ，Q ，且使得21
4
OM MP MQ =⋅成立？若存在，试求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.
21. （本小题满分12分）
已知函数2()()ln f x x ax x x =-+，1x =是()f x 的一个极值点. (1) 求实数a 的值；
(2) 证明：当x ＞0时，()0f x >恒成立.
请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题. 如果多做，则按所做的第一题计分.
22. （本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
在直角坐标系xOy 中，曲线C
的参数方程为cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩
（α为参数），直线l 的斜率为1，
在y 轴上的截距为2.
(1) 在直角坐标系xOy 中以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点M 的极坐标为
(2,
)2
π
，判断点M 与直线l 的位置关系；
(2) 设点A 是曲线C 上的任意点，求它到直线l 的距离的最大值.
23. （本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知函数()|2|f x x =+，()3||g x x a =+. (1) 当a=1时，解不等式()()f x g x ≤； (2) 若存在0x R ∈，使得001
()()3
f x
g x ≥成立，求实数a 的取值范围.
文科数学参考答案
一、选择题（本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分）
【解析】
1．由{
}{
}
2
23031A x x x x x =--+≥=-≤≤，B=N ，故A ∩B={0，1}，故选 C ． 2．(4-i)(1-i)=4-5i+i 2
=3-5i ，故选 A ．
3．2(2)2||224a a b a a b ⋅-=-⋅=+=，故选A ．
4．2
2
2
2221
1cos sin 1tan 1516cos 21cos sin 1tan 17
116
ααααααα-
--===
=+++，故选B ．
5．∵xm 2<ym 2成立，说明m 2>0，∴x<y 充分性成立， 但x<y 成立不一定有xm 2<ym 2
（当m=0时，xm 2
=ym 2
），故 A 正确；因为全称命题的否定是特称，故B 正确；“p 或q”命题是“一真即真”，故C 正确；因为原命题为真，所以其逆否命题也为真，但逆命题“若△ABC 是直角三角形，则∠C=90°”不一定为真，所以其否命题不一定为真，故逆命题、否命题、逆否命题这三个命题中，真命题的个数是1 个，故选D ．
6．由题意知，每天织布的数量组成等差数列，15,1,90n n a a S ===，设其公差为d ，则
1((5190902)32)0n n a a n n ++=⇒=⇒=，∴1302930902a d ⨯+⨯=，∴4
29
d =-，故选C ．
7．第一步：k=1，p=1×(5-3+1)=3；第二步：k=2，p=3×(5-3+2)=12；第三步：k=3，p=12×(5-3+3)=60，故选A ．
8．该几何体是一个圆柱被切去了四分之一，∴23
2
324V r r ππ=⨯=，∴r=1， ∴33
221244
S S S +⨯+⨯⨯=
表面积圆柱侧面积底面积 233212214449
42
πππ=⨯⨯⨯+⨯⨯+=+⨯，故选A ．
9．设矩形ABCD 的中心为E ，连接OE ，EC ，∵V =|OE|=8，在矩形ABCD 中，可
得|EC|=3，则R ==B ．
10．已知cos cos 2b C c B +=，由正弦定理可知1
sin A R
=
(R 为△ABC 外接圆的半径)，
∵cos A =
，∴1sin 5A =，R=5，S=25π，故选 D ．
11．由双曲线的几何性质可得12Rt OBF S bc ∆=
=，∴bc =
3bc =，2222296()b c a b c =+，又∵双曲线满足222b c a =-，
∴422492160c c a a -+=，∴42243720c c a a -+=，42
3720e e -+=，
22(3)()012e e --=，∴21
13
e =
<（舍去），22,e e ==B ． 12．∵cos '()sin ()0x f x x f x ⋅-⋅>，∴[()cos ]'0f x x >，故函数()()cos g x f x x =在
(
,)2
π
π上为增函数，23(
)()34g g ππ<，即有23()()34
f ππ
>，故选C ．
二、填空题（本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分）
【解析】
13．设4()()()()m n m n n m αβαβαβαβ-=-++=++-，则4
1
m n n m +=⎧⎨-=-⎩，
故53,22m n =
=
，故574(,)42
ππαβ-∈-. 14．函数cos(3)y x ϕ=+向右平移
4
π
个单位后得到的图象对应的函数为 3cos(3)4y x πϕ=-+，故34πϕ-为2
π
的奇数倍．
15．由约束条件11y x x y y ≤⎧⎪
+≤⎨⎪≥-⎩
作出可行域如图1，
图1
联立1(2
,1)1y A
x y =-⎧⇒-⎨+=⎩
，化目标函数z=2x-y 为y=2x-z ，由图可知，当直线y=2x-z 过A
点时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最大值为5，∵z ≤
m 要恒成立，∴max z m ≤，∴m ≥5，m 的最小值为5．
16．设M(x ，y)，连接MF ，则|MF|=x+4，易知抛物线C 的焦点F(4，0)为圆的圆心，圆的半径
r=1，因为MA 为切线，所以MA ⊥AF ，在Rt △MAF 中，||MA =
所以四边形AFBM 的面积||1S MA r ==，又x ≥0，所以x=0时，面积取得最小
值，s =三、解答题（共70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分12 分）
解：（1）∵221n n n S =-+，∴10a =.………………………………………………（1分） 当n ≥2时，123n n n a S S n -=--=，……………………………………………………（2分）
∴0,123,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩
…………………………………………………………………（3分）
又{}n b 为正项等比数列，233,9b b ==，q=3， ………………………………………（4分） ∴11b =，13n n b -=……………………………………………………………………（6分）
（2）由（1）知，312n n T -=，∵11
2n n n c c T +=--，
∴1123113222n n
n n n c c T +-=+=
-+=， 2132
c c -=
， 2
3232
c c -=，
…
11
3(2)2n n n c c n --=≥-，……………………………………………………………（8分）
以上各式相加得33
(2)4n n c n =-≥，………………………………………………（10分） 又110c a ==，满足上式，故33
4
n n c =-.………………………………………（12分）
18．（本小题满分12 分）
解：（1）由频率分布直方图可知，在100 人中，“桥牌达人”有25 人， 从而2×2列联表如下：
……………………………………………………………………………………（3 分）
将2×2列联表中的数据代入公式计算，得22
100(45153010)1000.0302575455533K ⨯⨯-⨯==≈⨯⨯⨯， ……………………………………………………………………………………（5分）
因为3.030＜3. 841，所以没有95%的把握认为“桥牌达人”与性别有关．…………（6分）
（2）从桥牌达人的25人中按分层抽样方法抽取5人， 则男生515325⨯=（人），设为A ，B ，C ，女生510225
⨯=（人），设为a ，b ，……（8分） 再从这5人中选出3人去参加桥牌比赛，则共有10种不同的结果：(A ，B ，C)，(A ，B ，a)， (A ，B ，b)，(A ，C ，a)，(A ，C ，b )，(A ，a ，b )，(B ，C ，a )，(B ，C ，b)，(B ，a ，b)，(C ，a ，b)，其中恰有一名女生共有(A ，B ，a)，(A ，B ，b)，(A ，C ，a)，(A ，C ，b)，(B ，C ，a)，(B ，C ，b)6种不同的结果，所以“选出的三人恰有一名女生的概率”63105P ==. ………………………………………………………………………………………（12分）
19．（本小题满分12 分）
（1）证明：如图2，
图2
在梯形ABCD 中，
∵ AB ∥CD ，AD=DC=CB=1，23
BCD π∠=， ∴AB=2， ……………………………………………（1分） 在△BCD 中，22222cos
33BD CD CB CD CB π=+-⋅⋅=， ∴222
AB AD BD =+，∴AD ⊥BD. …………………（3分）
∵平面BFED ⊥平面ABCD ，平面BFED ∩平面ABCD=BD ，………………………（4分） AD ⊂平面ABCD ，∴AD ⊥平面BFED ．………………………………………………（6分）
（2）解：因为四边形BFED 是矩形，所以EF ∥BD ，
因为EF ⊄平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴EF ∥平面ABCD ，
点P 在EF 上，∴点P 到平面ABCD 的距离h ，即是点F 到平面ABCD 的距离，………（7分） ∵平面BFED ⊥平面ABCD ，交线是BD ，
FB ⊥BD ，∴FB ⊥平面ABCD ，h=FB=1，…………………………………………（9分）
121
11sin 1232BCD ADB ABCD S S S π∆∆=+=⨯⨯⨯+⨯=四边形，
∴113P ABCD V -==12分） 20．（本小题满分12 分）
解：（1）由等差中项的性质和椭圆的对称性知，||||42FG FH a +==，∴a=2.
又12OBF S bc ∆==，∴bc =3分）
又2224a b c =+=，a ＞b ＞c ＞0，∴b =c=1，
故椭圆C 的方程为22
143
x y +=.……………………………………………………（6分） （2）当直线l 与x 轴垂直时，直线l 与椭圆相切，不满足条件，
故可设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，直线l 的方程为y=k(x-2)+1，
代入椭圆方程得()
()22234821161680k x k k x k k +--+--=，………………（8分） 则()12282134k k x x k -+=+，2122
1616834k k x x k --+=⋅， △=32(6k+3)＞0，∴12k >-
. ………………………………………………………（9分） ∵214
OM MP MQ =⋅，即()()()()1212422115x x y y --+--=⎡⎤⎣⎦， ∴()()()12242215x k x --=+，即()()
1122224154x x k x x -++⎦+⎤⎣=⎡， ∴()()2222
222418211616844544343434k k k k k k k k k -⎡⎤--+-⨯++==⎢⎥+++⨯⎣⎦
， 解得12
k =±
，不符合题意，舍去．……………………………………………（11分） ∴存在满足条件的直线l ，其方程为12y x =. ………………………………………（12分）
21．（本小题满分12 分）
（1）解：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
()()()()21'()2ln 12ln 1f x x ax x a x x x a x a x
=-⨯+-+=+--- 因为x=1是f(x)的一个极值点，所以()()'(1)12ln1120f a a a =+---=-=， 解得a=2. ……………………………………………………………………………（4分）
（2）证明：2()()ln f x x ax x x =-+，()()()'()22ln 1112ln f x x x x x x =+--=-+， ………………………………………………………………………………………（6分） 令'()0f x =
，解得1
2121,x x e -===7分）
当(0,x e
∈时，'()0f x >，函数f(x)单调递增；
当x ∈时，'()0f x <，函数f(x)单调递减；…………………………………（8分） 当(1,)x ∈+∞时，'()0f x >，函数f(x)单调递增．…………………………………（9分） 又当0x +→时，()0f x +→；当x →+∞时，()f x →+∞，………………………（10分） 所以当x=1时，f(x)取得极小值，
因为f(1)=1，所以当x ＞0时，f(x)＞0恒成立． …………………………………（12分）
22．（本小题满分10 分）【选修4−4：坐标系与参数方程】
解：（1）直线l 的方程为x-y+2=0，…………………………………………………（1分） 把极坐标系下的点(2,)2M π
化为直角坐标，得M(0，2)，……………………………（3分）
因为M 的直角坐标(0，2)满足直线l 的方程x-y+2=0，
所以点M 在直线l 上．…………………………………………………………………（5分）
（2）因为点A 在曲线C 上，故可设点A
的坐标为(cos )αα，
从而点A 到直线l 的距离为
2cos()2)3d π
απα++===++ ………………………………………………………………………………………（8分）
由此得，当cos()13π
α+=时，d 取得最大值为10分）
23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】
解：（1）当a=1时，不等式f(x)≤g(x)，即|x+2|≤3|x|+1，
从而2,231,x x x ≤-⎧⎨--≤-+⎩
即x ≤-2； 或20,231,
x x x -<≤⎧⎨+≤-+⎩ 即124x -<≤-； 或0,231,
x x x >⎧⎨+≤+⎩即12x ≥，…………………………………………………………（3分） 从而不等式f(x)≤g(x)的解集为1142x x x ⎧
⎫≤-≥
⎨⎬⎩⎭或．……………………………（5分） （2）存在0x R ∈，使得001()()3f x g x ≥
，即存在0x R ∈，使得00|2|||3a x x +≥+， 即存在0x R ∈，使得00|2|||3
a x x ≤+-. 设2,2|2|||22,20,0)2(x x x x x h x x -≤-⎧⎪+-=+->=<≤⎨⎪⎩
…………………………………………（7分）
则h(x)的最大值为2，…………………………………………………………………（8分） 所以23
a ≤，即a ≤6， 所以实数a 的取值范围为(],6-∞. …………………………………………………（10分）。