高考数学二级结论快速解题：专题11 与等比数列相关的结论(解析版)

专题11与等比数列相关的结论
一、结论
已知等比数列{}n a ,公比为q ,前n 项和为n S .(1)n m
n m a a q
(,m n N ).
(2)若m n p q ,则m n p q a a a a (,,,m n p q N );反之,不一定成立.(3)123m a a a a ,122m m m a a a ,21223m m m a a a , 成等比数列(m N ).(4)公比1q 时,n S ,2n n S S ,32n n S S ,43n n S S 成等比数列(n N ).
(5)若等比数列的项数为2n (n N ),公比为q ,奇数项之和为S 奇,偶数项之和为S 偶,则
S q S 偶
奇
.
(6){}n a ,{}n b 是等比数列,则{}n a ,1
{}n a ,{}n n a b ,{}n n
a b 也是等比数列(0 ,n N ).(7)通项公式1
11n n
n a a a q
q q
.从函数的角度来看,它可以看作是一个常数与一个关于n 的指数函数的积,其图象是指数函数图象上一群孤立的点.
(8)只有同号的两个数才能有等比中项;两个同号的数的等比中项有两个,它们互为相反数.(9)三个数成等比数列,通常设为
x q ,x ,xq ;四个数成等比数列,通常设为3x q ,x
q
,xq ,3xq .二、典型例题
1．（2022·安徽·合肥市第十一中学高二期末）设等比数列 n a 的前n 项和为n S ，若63:1:2S S ，则93:S S （）A ．1:2B ．2:3
C ．3:4
D ．1:3
【答案】C 【解析】
解：因为数列 n a 为等比数列，则3S ，63S S ，96S S 成等比数列，设3S m ，则62m S ，则632
m
S S ，故
633S S S 966312S S S S ，所以964m S S ，得到93
4
S m ，所以9334S S .故选：C.
【反思】公比1q 时,n S ,2n n S S ,32n n S S ,43n n S S 成等比数列(n N )，此结论可快速解题，解题时注意等比数列的正负性问题.
2．（2022·全国·高三专题练习）已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为
85，偶数项之和为170，则这个数列的项数为（
）
A ．2
B ．4
C ．8
D ．16
【答案】C 【解析】
设这个等比数列 n a 共有 2k k N
项，公比为q ，
则奇数项之和为132185k S a a a 奇，
偶数项之和为 2421321170n n S a a a q a a a qS 奇偶，170
285
S q S
偶奇
，等比数列 n a 的所有项之和为
2122122
11708525512
k
k
k a S
，则22256k
，
解得4k ，因此，这个等比数列的项数为8.故选：C.
【反思】利用结论若等比数列的项数为2n (n N ),公比为q ,奇数项之和为S 奇,偶数项之和为S 偶,则
S q S 偶
奇
，可直接根据结论求出q ，进而求出其它量.
三、针对训练举一反三
一、单选题
1．（2022·广东潮阳·高二期末）等比数列 n a 的各项均为正数，且383 a a ，则3132310log log log a a a （
）
A ．5
B ．10
C ．4
D ．32log 5
【答案】A 【解析】【详解】
由题有293847561103a a a a a a a a a a ，则
531323103293847561103log log log log ()lo 3g a a a a a a a a a a a a a =5.
故选：A
2．（2021·江苏·高二专题练习）在等差数列 n a 中，若100a ，则有等式
121219n n a a a a a a (19n 且N n )成立，类比上述性质，在等比数列 n b 中，
若111b ，则有（
）
A ．121219n n b b b b b b L L (19n 且N n )
B ．121221n n b b b b b b L L (21n <且N n
)
C ．121921n n b b b b b b (19n 且N n )
D ．121122n n b b b b b b (21n <且N n )【答案】B 【详解】
在等差数列 n a 中，若 ,,,N s t p q s t p q
则s t p q a a a a ，
若0m a ，则1222210n n m n m n a a a a ，所以121221n m n a a a a a a 成立，
当10m 时，121219n n a a a a a a (19n 且N n )成立，
在等比数列 n b 中，若 ,,,N s t p q s t p q
则s t p q b b b b ，
若1m b ，则1222211n n m n m n b b b b ，所以121221n m n b b b b b b 成立，
当11m 时，12n b b b L ＝1221n b b b L (21n <且N n )成立，故选：B.
3．（2022·全国·高三专题练习）已知等比数列 n a 的前n 项和为n S ，若43S ，89S ，则16S 的值为（
）
A ．12
B ．30
C ．45
D ．81
【答案】C 【详解】
显然公比不为-1，∵ n a 是等比数列，则4841281612,,,S S S S S S S 也成等比数列，
483,9S S ∵，846S S ，
12812S S ，则1221S ，
161224S S ，则1645S .
故选：C.
4．（2020·四川·双流中学高二期中（理））设n S 是等比数列 n a 的前n 项和，若
4
2
3S S ，则6
4
S S （）
A ．2
B ．
73
C ．
310
D ．12
或
【答案】B 【详解】
设24,3S k S k ，由数列 n a 为等比数列(易知数列 n a 的公比1q )，得
24264,,S S S S S 为等比数列
又242,2S k S S k
644S S k
67,
S k 647733
S k S k
故选：B ．
5．（2021·全国·高二课时练习）已知等比数列 n a 中，11a ，132185k a a a ，24242k a a a ，则k （
）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
【答案】B 【详解】
设等比数列 n a 的公比为q ，
则132112285k k a a a a a a q q ，即 2285184k q a a ，因为24242k a a a ，所以2q =，则 21123221112854212712
k k k a a a a a ，
即211282k ，解得3k ，故选：B.
6．（2021·江西·奉新县第一中学高一阶段练习）等比数列的首项为1，项数是偶数，所有得奇数项之和为85，所有的偶数项之和为170，则这个等比数列的项数为（）
A ．4
B ．6
C ．8
D ．10
【答案】C
设等比数列项数为2n 项,所有奇数项之和为S 奇,所有偶数项之和为S 偶，则85,170S S 奇偶,所以=2S q S
偶
奇
，结合等比数列求和公式有：
2212
2
112
==185112
n
n a q S q
奇，解得n =4，
即这个等比数列的项数为8.
本题选择C 选项.
7．（2022·上海·高考真题）已知{}n a 为等比数列，{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，则下列选项中正确的是（
）
A ．若20222021S S ，则数列{}n a 单调递增
B ．若20222021T T ，则数列{}n a 单调递增
C ．若数列{}n S 单调递增，则20222021a a
D ．若数列{}n T 单调递增，则20222021a a 【答案】D 【详解】
A ：由20222021S S ，得20220a ，即2021
10a q
，则1a 、q 取值同号，若100a q ，，则{}n a 不是递增数列，故A 错误；
B ：由20222021T T ，得20221a ，即2021
11a q
，则1a 、q 取值同号，若100a q ，，则数列{}n a 不是递增数列，故B 错误；C ：若等比数列11a ，公比12q ，则11(122(1)1212
n
n n
S ，
所以数列{}n S 为递增数列，但20222021a a ，故C 错误；D ：由数列{}n T 为递增数列，得1n n T T ，所以1n a ，即1q ，所以20222021a a ，故D 正确.故选：D
8．（2021·全国·高二课时练习）已知n S 是等比数列 n a 的前n 项和，若存在*m N ，满足
2251
9,1
m m m m S a m S a m ，则数列 n a 的公比为（）
A ．2
B ．2
C ．3
D ．3
【答案】B 【详解】
设数列 n a 的公比为q ，若1q ，则
22m
m
S S ，与题中条件矛盾，故
212122111
1151
11.19,8.8,
111m
m m
m
m m m m m
m m a q S a a q m q
q q q q S a a q m a q q
∵∵
33,8,2m q q .
故选：B 二、填空题
9．（2021·全国·高三专题练习）设正项等比数列 n a 的前n 项和为n S ，132,14a S ，若n n
n
b a
，则数列 n b 中最大的项为_____.【答案】12
【详解】
根据题意，设正项等比数列 n a 的公比为q ，其中0q ，
因为132,14a S ，可得2322214S q q ，解得2q =或3q ，因为0q ，所以2q =，所以112n n n a a q ，则2n n n n n b a
，故122121,222
b b ，当2n 时，则由
11
112(1)112(1)21
2n n n n n
b n n b n n ，则有1234b b b b ，所以数列 n b 中最大的项为12
.
故答案为：
12
.
10．（2020·江西省都昌县第二中学高二阶段练习）已知等比数列 n a 的首项为1a ，公比为
q ，其前n 项和为n S ，下列命题中正确的是______．（写出全部正确命题的序号）
（1）若等比数列 n a 单调递增，则10a ，且1q ；
（2）数列：23243,,n n n n n n S S S S S S ，……，也是等比数列；
（3） *
11,2n n S qS a n N n ；
【答案】（3）【详解】
解：对于（1），若等比数列 n a 单调递增，
则 1
1110n n n a a a q q ，
所以101a q 或1001a q
，故（1）错误；
对于（2），若1q ，n 为偶数，则20,0n n S S ，
即20n n S S ，
因为等比数列中的项不可能为0，故此时23243,,n n n n n n S S S S S S ，……，不是等比数列，故（2）错误；
对于（3），当*,2n N n 时，
123n n
S a a a a
1111n a q a a a 11n qS a ，
故（3）正确.故答案为：（3）.三、解答题
11．（2020·上海·高三专题练习）解答下列各题：（S 奇表示奇数项和，S 偶表示偶数项和）（1） n a 是等比数列，11a ，项数n 为偶数．S 奇＝85，S 偶＝170，求n ；
（2） n a 是等差数列，共n 项，n 为奇数，77n S ，S 偶33 ，118 n a a ，求通项公式．【答案】（1）8；（2）323 n a n .【详解】（1） 2S q S
偶奇
，所以128517012
n
n S ，解得8n ；
（2）S 奇＝n S S 偶＝44，12
n a ＝S 奇－S 偶＝44－33＝11，即122 n a a ，由118 n a a ，可得120,2,7 n a a n ，∴220
371
d
．所以通项公式为203(1)323n a n n ．.。