第51题+新信息背景下的数列问题-2018精品之高中数学(理)黄金100题系列+Word版含解析

第51题 新信息背景下的数列问题

I ．题源探究·黄金母题

【例1】习总书记在十九大报告中指出：坚定文化自信，推动社会主义文

化繁荣兴盛．如图，“大衍数列”：0，2，4，8，12…来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和．下图是求大衍数列前n 项和的程序框图．执行该程序框图，输入10m =，则输出的S =（ ）

A ．100

B ．140

C ．190

D ．250 【答案】C

【解析】由题意得，当输入10m =时，程序的功能是计算并输出

222222

1123149110222222

S ---=++++

++，计算可得

()()11

8244880416366410019022

S =

++++++++=，故选C ． 精彩解读

【试题来源】2018福建厦门高

三上学期期末质检． 【母题评析】本题考查数学文化、线性规划，考查考生的阅读理解能力、识别框图以及基本计算能力．

【思路方法】读懂题意、识别框图即为计算数列的前十项和，根据和式的结构特征，用分组求和法得结果．

II ．考场精彩·真题回放

【例2】【2017高考新课标2理3】我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ） A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏 D ．9盏 【答案】B

【命题意图】这类试题在新的

背景（情境）下考查数量的基本问题、如通项、前项和、与数列有关最值以及恒成立问题、与数列有关的不等式等．这类试题能较好的考查考生分析

【解析】设塔的顶层共有灯x 盏，则各层的灯数构成一个首项为x ，公比

为2的等比数列，结合等比数列的求和公式有：

()7

1238112

x ⨯-=-，解得

3x =，即塔的顶层共有灯3盏，故选B ．

【例3】【2017高考新课标1理12】几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20

，接下来的两项是20

，21

，再接下来的三项是20

，21

，22

，依此类推．求满足如下条件的最小整数N ：N>100且该数列的前N 项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（ ） A ．440 B ．330

C ．220

D ．110

【答案】A

【解析】试题分析：由题意得，数列如下：

1

1,1,2,1,2,4,1,2,4,

,2

k

-

则该数列的前(1)

122

k k k +++

+=

项和为 1(1)1(12)(122)222k k k k S k ++⎛⎫=++++++

+=-- ⎪⎝⎭

要使

(1)

1002

k k +>，有14k ≥，此时122k k ++<，所以2k +是之后的等比数列11,2,

,2k +的部分和，即1212221t t k -+=++

+=-，

所以2314t k =-≥，则5t ≥，此时5

2329k =-=，

对应满足的最小条件为2930

54402

N ⨯=+=，故选A ．

【例4】【2017高考北京理20】设{}n a 和{}n b 是两个等差数列，记

1122max{,,,}n n n c b a n b a n b a n =--⋅⋅⋅-(1,2,3,)n =⋅⋅⋅，其中

问题解决问题的能力、基本计算能力等．

【考试方向】这类试题在考查题型上，既可以是选择题、填空题，也可是解答题，由于背景新颖，因此难度都较大． 【难点中心】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于

对新定义的透彻理解．对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求．但是，透过现象看本质，它们考查的还是

基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法

宝．

对于这类问题，关键是根据相关信息，合理建立数列模型，判断是等差数列还是等比数列

模型；求解时，要明确目标，即搞清是求和、求通项、还是解递推关系问题，所求结论对应的是解方程问题、解不等式问题、还是最值问题，然后经过数学推理与计算得出的结果，回到实际问题中进行检验，

12max{,,,}s x x x ⋅⋅⋅表示12,,,s x x x ⋅⋅⋅这s 个数中最大的数．

（Ⅰ）若n a n =，21n b n =-，求123,,c c c 的值，并证明{}n c 是等差数列； （Ⅱ）证明：或者对任意正数M ，存在正整数m ，当n m ≥时，n

c M n

>；或者存在正整数m ，使得12,,,m m m c c c ++⋅⋅⋅是等差数列． 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析．

【解析】试题分析：（Ⅰ）分别代入求123,,c c c ，观察规律，再证明当3n ≥时，11()()20k k k k b na b na n ++---=-<，所以k k

b na -关于*

k ∈N 单调

递减．所以

112211max{,,,}1n n n c b a n b a n b a n b a n n

=---=-=-，即

证明；（Ⅱ）首先求{}n c 的通项公式，分1110,0,0d d d >=<三种情况讨

论证明．

试题解析：解：（Ⅰ）111110,c b a =-=-=

21122max{2,2}max{121,322}1c b a b a =--=-⨯-⨯=-，

3112233max{3,3,3}max{131,332,533}2c b a b a b a =---=-⨯-⨯-⨯=-．

当

3

n ≥时，

1111()()()()20k k k k k k k k b na b na b b n a a n ++++---=---=-<，

所以k k b na -关于*k ∈N 单调递减． 所以112211max{,,

,}1n n n c b a n b a n b a n b a n n =---=-=-．

所以对任意1,1n n c n ≥=-，于是11n n c c +-=-， 所以{}n c 是等差数列．

（Ⅱ）设数列{}n a 和{}n b 的公差分别为12,d d ，则

12111121(1)[(1)]()(1)k k b na b k d a k d n b a n d nd k -=+--+-=-+--． 所以1121211121(1)(),,n b a n n d nd d nd c b a n d nd -+-->⎧=⎨-≤⎩当时，

当时，

最终得出结论．