福建省福州十九中2020年中考数学模拟试卷(7月份) 解析版

2020年福建省福州十九中中考数学模拟试卷（7月份）一．选择题（共10小题）
1．甲骨文是我国古代的一种文字，是汉字的早期形式．“北，从，比，众”这四个甲骨文字如下，其中大致成轴对称图形的是（）
A．B．
C．D．
2．若3＜x＜4，则无理数x可以是（）
A．3.1B．C．D．
3．2019年，全国实行地区生产总值统计核算改革，某城区GDP约为1004.2亿元，第一次进入千亿元城区，将数据1004.2亿用科学记数法表示为（）
A．1.0042×1011B．1.0042×1012
C．1.0042×107D．10.042×1011
4．下列运算正确的是（）
A．2m3+m3＝3m6B．（mn2）2＝mn4C．2m•4m2＝8m2D．m5÷m3＝m2 5．若n边形的内角和等于外角和的3倍，则边数n为（）
A．6B．7C．8D．9
6．如图是由6个大小相同的小正方体拼成的几何体，当去掉最上面的小正方体时，则不变的是（）
A．主视图B．左视图C．俯视图D．三种视图
7．一组数据3，5，5，7，若添加一个数据5，则发生变化的统计量是（）A．平均数B．中位数C．方差D．众数
8．某厂准备生产8000个口罩，在生产了1000个口罩后，引进了新机器，使每天的工作效率是原来的2倍，结果共用10天完成了任务，设该厂原来每天生产x个口罩，则由题意可列出方程（）
A．＝10B．＝10
C．＝10D．＝10
9．如图，AB是半圆O的弦，DE是直径，过点B的切线BC与⊙O相切于点B，与DE的延长线交于点C，连接BD，若四边形OABC为平行四边形，则∠BDC的度数为（）
A．20.5°B．22.5°C．24°D．30°
10．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列命题中：①b＝﹣2a；②此抛物线向下移动c个单位后过点（2，0）；③﹣1＜a＜﹣；④方程x2﹣2x+＝0有实数根，结论正确的个数（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二．填空题（共6小题）
11．（）﹣1﹣cos45°＝．
12．如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，BD，AE交于点O，若随机向平行四边形ABCD内投针，则针尖落在图中阴影部分的概率为．
13．分解因式：m3n﹣4m2n+4mn＝．
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，AB＝8，D是AB的中点，以点C 为圆心，CD长为半径画弧，交BC于点E，则图中阴影部分的面积是．（结果保留π）
15．已知关于x的方程a（x+c）2+b＝0（a，b，c为常数，a≠0）的两根分别为﹣2，1，那么关于x的方程a（x+c﹣2）2+b＝0的两根分别为．
16．如图，矩形ABCD的顶点A，B，D分别落在双曲线y═（k＞0）的两个分支上，AB 边经过原点O，CB边与x轴交于点E．且EC＝EB．若点A的横坐标为1，则k＝．
三．解答题
17．解不等式x﹣3＜+1；并把解集在数轴上表示出来．
18.如图，∠CAE＝∠BAD，∠B＝∠D，AC＝AE．求证：BC＝DE．
19.先化简，再求值：1﹣+，其中a＝+2．
20.如图，矩形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上．
（1）将△OAB沿直线OB向上翻折，用尺规作圈的方法确定点A的对应点D．连接OD，BD（不写作法，保留作图痕边）；
（2）若点B坐标为（2.2），求出点D的坐标．
21.疫情期间，停课不停学，“格教通学习网”为学生在家上网学习提供了A、B两种付费方
式．学习费用y（元）与上网学习时间x（小时）之间的函数关系如图．
（1）分别求出A、B两种付费方式中y与x的函数表达式．
（2）结合图象，直接写出：
①在什么时间段，选择B方式更省钱？
②当A方式比B方式省钱时，学习时间为多少时最省钱？最多省多少元？
22.（1）将Rt△AOB和Rt△COD按如图①所示放置，其中∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB
＝∠OCD＝30°，求证：BD⊥AC．
（2）如图②所示，将图①中的△OCD绕点O旋转到点C，D，B三点一线时，若AB＝7，CD＝3，求线段BD的长．
23.某生活超市有一专柜预代理销售甲乙两家公司的一种可相互替代的日常生活用品．经过
一段时间分别单独试销甲乙两家公司的商品，从销售数据中随机各抽取50天，统计每日的销售数量，得到如下的频数分布条形图．甲乙两家公司给该超市的日利润方案为：甲公司给超市每天基本费用为90元，另外每销售一件提成1元；乙公司给超市每天的基本费用为130元，每日销售数量不超过83件没有提成，超过83件的部分每件提成10元．（1）求乙公司给超市的日利润y（单位：元）与日销售数量n的函数关系；
（2）若将频率视为概率，回答下列问题：
①求甲公司产品销售数量不超过87件的概率；
②如果仅从日均利润的角度考虑，请你利用所学过的统计学知识为超市作出抉择，选择
哪家公司的产品进行销售？并说明理由．
24.如图①，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD平分∠CAB，AD与BC交于点F，过点
D作DE⊥AB于点E．
（1）求证：BC＝2DE；
（2）如图②，连接OF，若∠AFO＝45°，半径为2时，求AC的长．
25.已知抛物线y＝﹣x2+4ax﹣4a2+3a（a＞），顶点为点D，抛物线与x轴交于A、B两点
（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）若a＝3时，求此时抛物线的最大值；
（2）若当0≤x≤2时，抛物线函数有最大值3，求此时a的值；
（3）若直线CD交x轴于点G，求的值．
2020年福建省福州十九中中考数学模拟试卷（7月份）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．甲骨文是我国古代的一种文字，是汉字的早期形式．“北，从，比，众”这四个甲骨文字如下，其中大致成轴对称图形的是（）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形的概念判断即可．
【解答】解：A、是轴对称图形；
B、不是轴对称图形；
C、不是轴对称图形；
D、不是轴对称图形．
故选：A．
2．若3＜x＜4，则无理数x可以是（）
A．3.1B．C．D．
【分析】直接利用无理数的定义以及估算无理数的大小的方法分析得出答案．
【解答】解：A、3.1是有理数，故此选项不合题意；
B、4＜＜5，故此选项不合题意；
C、3＜＜4，此选项符合题意；
D、是有理数，故此选项不合题意；
故选：C．
3．2019年，全国实行地区生产总值统计核算改革，某城区GDP约为1004.2亿元，第一次进入千亿元城区，将数据1004.2亿用科学记数法表示为（）
A．1.0042×1011B．1.0042×1012
C．1.0042×107D．10.042×1011
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【解答】解：将数据1004.2亿＝100420000000用科学记数法表示为：1.0042×1011．故选：A．
4．下列运算正确的是（）
A．2m3+m3＝3m6B．（mn2）2＝mn4C．2m•4m2＝8m2D．m5÷m3＝m2【分析】根据合并同类项、积的乘方、同底数幂的除法和单项式与单项式的乘法判断即可．
【解答】解：A、2m3+m3＝3m3，选项错误，不符合题意；
B、（mn2）2＝m2n4，选项错误，不符合题意；
C、2m•4m2＝8m3，选项错误，不符合题意；
D、m5÷m3＝m2，选项正确，符合题意；
故选：D．
5．若n边形的内角和等于外角和的3倍，则边数n为（）
A．6B．7C．8D．9
【分析】根据n边形的内角和等于外角和的3倍，可得方程180（n﹣2）＝360×3，再解方程即可．
【解答】解：由题意得：180（n﹣2）＝360×3，
解得：n＝8，
故选：C．
6．如图是由6个大小相同的小正方体拼成的几何体，当去掉最上面的小正方体时，则不变的是（）
A．主视图B．左视图C．俯视图D．三种视图
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
【解答】解：若去掉最上面的小正方体，其俯视图不变，即俯视图依然还是两层，底层中间有一个正方形，上层有3个正方形．
故选：C．
7．一组数据3，5，5，7，若添加一个数据5，则发生变化的统计量是（）A．平均数B．中位数C．方差D．众数
【分析】依据的定义和公式分别计算新旧两组数据的平均数、中位数、众数、方差求解即可．
【解答】解：原数据的3，5，5，7的平均数为＝5，
中位数为5，
众数为5，
方差为×[（3﹣5）2+（5﹣5）2×2+（7﹣5）2]＝2；
新数据3，5，5，5，7的平均数为＝5，
中位数为5，
众数为5，
方差为×[（3﹣5）2+（5﹣5）2×3+（7﹣5）2]＝1.6；
所以添加一个数据5，方差发生变化，
故选：C．
8．某厂准备生产8000个口罩，在生产了1000个口罩后，引进了新机器，使每天的工作效率是原来的2倍，结果共用10天完成了任务，设该厂原来每天生产x个口罩，则由题意可列出方程（）
A．＝10B．＝10
C．＝10D．＝10
【分析】根据引进了新机器，使每天的工作效率是原来的2倍，结果共用10天完成了任务，可以列出相应的分式方程，从而可以解答本题．
【解答】解：由题意可得，
，
故选：D．
9．如图，AB是半圆O的弦，DE是直径，过点B的切线BC与⊙O相切于点B，与DE的延长线交于点C，连接BD，若四边形OABC为平行四边形，则∠BDC的度数为（）
A．20.5°B．22.5°C．24°D．30°
【分析】根据切线的性质得到∠OBC＝90°，根据平行四边形的性质得到OA＝BC，推出△OBC是等腰直角三角形，得到∠BOC＝45°，根据圆周角定理即可得到结论．【解答】解：∵BC是⊙O的切线，
∴∠OBC＝90°，
∵四边形OABC为平行四边形，
∴OA＝BC，
∵OA＝OB，
∴OB＝BC，
∴△OBC是等腰直角三角形，
∴∠BOC＝45°，
∴∠BDC＝BOC＝22.5°，
故选：B．
10．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列命题中：①b＝﹣2a；②此抛物线向下移动c个单位后过点（2，0）；③﹣1＜a＜﹣；④方程x2﹣2x+＝0有实数根，结论正确的个数（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】A．函数的对称轴为x＝﹣＝1，即可求解；
B．新抛物线表达式为：y＝ax2+bx＝ax2﹣2ax＝ax（x﹣2），即可求解；
C．x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，x＝1时，y＝a+b+c＝2，即，即可求解；D．△＝4a2﹣4a＝4a（a﹣1），而﹣1＜a＜﹣，故△＞0，即可求解．
【解答】解：A．函数的对称轴为x＝﹣＝1，解得：b＝﹣2a；
故A正确；
B．此抛物线向下移动c个单位后，新抛物线表达式为：y＝ax2+bx＝ax2﹣2ax＝ax（x﹣2），则x＝2时，y＝0，故抛物线过点（2，0），
故B正确；
C．x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，x＝1时，y＝a+b+c＝2，即，解得：﹣1＜a ＜﹣，
故C正确；
D．∵c＜0，
∴x2﹣2x+＝0变形为cx2﹣2cx+1＝0，
∵△＝4c2﹣4c＝4c（c﹣1），而1＜c＜2，
∴△＞0，故方程x2﹣2x+＝0有实数根，
故D正确；
故选：D．
二．填空题（共6小题）
11．（）﹣1﹣cos45°＝1．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及负整数指数幂的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式＝2﹣×
＝2﹣1
＝1．
故答案为：1．
12．如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，BD，AE交于点O，若随机向平行四边形ABCD内投针，则针尖落在图中阴影部分的概率为．
【分析】利用平行四边形的性质得到BC＝AD，BC∥AD，再证明△BOE∽△DOE，利用相似比得到＝＝＝，则S△AOB＝2S△BOE，S△AOD＝4S△BOE，然后根据针尖落在图中阴影部分的概率＝进行计算．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BC＝AD，BC∥AD，
∵E为BC的中点，
∴BE＝AD，
∵BE∥AD，
∴△BOE∽△DOE，
∴＝＝＝，
∴S△AOB＝2S△BOE，S△AOD＝4S△BOE，
∴S△ADB＝6S△BOE，
S四边形ABCD＝12S△BOE，
∴针尖落在图中阴影部分的概率＝＝．
故答案为．
13．分解因式：m3n﹣4m2n+4mn＝mn（m﹣2）2．
【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝mn（m2﹣4m+4）
＝mn（m﹣2）2．
故答案为：mn（m﹣2）2．
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，AB＝8，D是AB的中点，以点C 为圆心，CD长为半径画弧，交BC于点E，则图中阴影部分的面积是π．（结果保留π）
【分析】利用斜边上的中线性质得到DA＝DC＝DB＝AB＝4，再计算出∠B得到∠DCB ＝40°，然后利用扇形的面积公式计算．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，
∴DA＝DC＝DB＝AB＝4，
∵∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣50°＝40°，
∴∠DCB＝∠B＝40°，
∴图中阴影部分的面积＝＝π．
故答案为π．
15．已知关于x的方程a（x+c）2+b＝0（a，b，c为常数，a≠0）的两根分别为﹣2，1，那么关于x的方程a（x+c﹣2）2+b＝0的两根分别为3，0．
【分析】方法一：根据方程a（x+c）2+b＝0（a，b，c为常数，a≠0）的两根分别为﹣2，1，进行转化，即可得到c的值，然后即可得到方程a（x+c﹣2）2+b＝0的两根；方法二：根据平移的特点，由方程a（x+c）2+b＝0（a，b，c为常数，a≠0）的两根分别为﹣2，1，可以得到方程a（x+c﹣2）2+b＝0的两根．
【解答】解：方法一：∵方程a（x+c）2+b＝0（a，b，c为常数，a≠0）的两根分别为﹣2，1，
∴a（﹣2+c）2+b＝0或a（1+c）2+b＝0，
∴（﹣2+c）2＝﹣或（1+c）2＝﹣，
∴﹣2+c+1+c＝0，
解得，c＝0.5，
∴（﹣2+0.5）2＝﹣，
∴＝，
∵a（x+c﹣2）2+b＝0，
∴（x+0.5﹣2）2＝，
解得，x1＝3，x2＝0，
故答案为：3，0．
方法二：∵方程a（x+c）2+b＝0（a，b，c为常数，a≠0）的两根分别为﹣2，1，
∴方程a（x+c﹣2）2+b＝0的两根分别为：﹣2+2＝0或1+2＝3，
故答案为：3，0．
16．如图，矩形ABCD的顶点A，B，D分别落在双曲线y═（k＞0）的两个分支上，AB 边经过原点O，CB边与x轴交于点E．且EC＝EB．若点A的横坐标为1，则k＝．
【分析】过点B作BM⊥x轴于点M，过点C作CN⊥x轴于点N，过点A作AF⊥x轴于点F，设A点坐标为（1，a），则OB、BE、EM均可用a表示，易知△CNE≌△BME，
通过线段等量关系可求用a表示的C点坐标，继而求得D点坐标，根据A、D都在反比例函数图象上，得到关于a的方程，求解a值，再求出AB和BC值，则矩形面积可求．【解答】解：设A点坐标为（1，a），如图，
过点B作BM⊥x轴于点M，过点C作CN⊥x轴于点N，过点A作AF⊥x轴于点F，
由A（1，a），
由对称性质有B（﹣1，﹣a），
∴OB＝OA＝，
BM＝AF＝a，OM＝OF＝1，
∵tan∠BOE＝tan∠AOF，
∴，即＝，
∴BE＝a，
∴EM＝＝a2，
∵BE＝CE，∠CEN＝∠BEM，∠CNE＝∠BME，
∴△CNE≌△BME，
∴CN＝BM＝a，NE＝EM＝a2，CE＝BE＝，
∴ON＝2a2+1，
∴C（﹣2a2﹣1，a），
∵A（1，a），B（﹣1，﹣a），BC∥AD，AD＝BC，
∴D（1﹣2a2，3a），
∵A、D都在反比例函数图象上，
∴3a（1﹣2a2）＝a•1，
解得a＝，
∴AB＝2OA＝2＝，BC＝2BE＝2a＝，
∴矩形ABCD的面积．
故答案为：．
三．解答题
17．解不等式x﹣3＜+1；并把解集在数轴上表示出来．【分析】依次去分母、移项、合并同类项、化系数为1求解可得．【解答】解：2x﹣6＜x﹣5+2，
2x﹣x＜﹣5+2+6，
x＜3．
将不等式的解集表示在数轴上如下：
18.如图，∠CAE＝∠BAD，∠B＝∠D，AC＝AE．求证：BC＝DE．
【考点】KD：全等三角形的判定与性质．
【专题】14：证明题；553：图形的全等；67：推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】证明△CAB≌△EAD，即可得出结论．
【解答】证明：∵∠CAE＝∠BAD，
∴∠CAE+∠BAE＝∠BAD+∠BAE，
∴∠CAB＝∠EAD，
在△CAB和△EAB中，
∵∠CAB＝∠EAD，∠B＝∠D，AC＝AE．
∴△CAB≌△EAD（AAS），
∴BC＝DE．
19.先化简，再求值：1﹣+，其中a＝+2．
【考点】6D：分式的化简求值．
【专题】513：分式；66：运算能力．
【答案】．
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式＝+
＝+
＝，
当a＝时，
原式＝
＝．
20.如图，矩形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上．
（1）将△OAB沿直线OB向上翻折，用尺规作圈的方法确定点A的对应点D．连接OD，BD（不写作法，保留作图痕边）；
（2）若点B坐标为（2.2），求出点D的坐标．
【考点】D5：坐标与图形性质；LB：矩形的性质；N3：作图—复杂作图．
【专题】556：矩形菱形正方形；64：几何直观．
【答案】（1）见解答；
（2）D（，3）．
【分析】（1）过A点作OB的垂线，再以O为圆心，OA为半径画弧交此垂线于D；
（2）利用B点坐标确定∠AOB＝30°，再利用对称的性质得到∠DOB＝30°，OD＝OA ＝2，则∠COD＝30°，作DH⊥y轴于H，如图，利用含30度的直角三角形三边的
关系求出DH、OH，从而得到D点坐标．
【解答】解：（1）如图，OD、OB为所作；
（2）∵B（2，2），
∴OA＝2，AB＝2，
∴OB＝＝4，
∴∠AOB＝30°，
∵点A与点D关于OB对称，
∴∠DOB＝∠AOB＝30°，OD＝OA＝2
∴∠COD＝30°，
作DH⊥y轴于H，如图，
在Rt△ODH中，DH＝OD＝，OH＝DH＝3，
∴D（，3）．
21.疫情期间，停课不停学，“格教通学习网”为学生在家上网学习提供了A、B两种付费方
式．学习费用y（元）与上网学习时间x（小时）之间的函数关系如图．
（1）分别求出A、B两种付费方式中y与x的函数表达式．
（2）结合图象，直接写出：
①在什么时间段，选择B方式更省钱？
②当A方式比B方式省钱时，学习时间为多少时最省钱？最多省多少元？
【考点】C9：一元一次不等式的应用；FH：一次函数的应用．
【专题】524：一元一次不等式(组)及应用；533：一次函数及其应用；69：应用意识．
【答案】（1）A种y＝x+4；B种：y＝．
（2）①x＞9；②5小时，元．
【分析】（1）利用待定系数法解答即可；
（2）①根据函数的图象中的信息即可得到结论；
②根据函数的图象中的信息即可得到结论．
【解答】（1）设A种付费方式中y与x的函数表达式为y＝kx+4，
则9k+4＝10，解得k＝，
∴A种付费方式中y与x的函数表达式为：y＝x+4；
当x≤5时，设B种付费方式中y与x的函数表达式为y＝nx，
则5n＝10，解得x＝2，
∴y＝2x，
∴B种付费方式中y与x的函数表达式为：y＝．
（2）①当2x＜时，解得x＜3；
由图象可知，当x＞9时，选择B方式更省钱；
∴当x＜3或x＞9时，选择B方式更省钱；
②10﹣（×5+4）＝（元）．
当学习时间为5小时，A方式的学习费比B方式的省钱最多，最多省元．
22.（1）将Rt△AOB和Rt△COD按如图①所示放置，其中∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB
＝∠OCD＝30°，求证：BD⊥AC．
（2）如图②所示，将图①中的△OCD绕点O旋转到点C，D，B三点一线时，若AB＝7，CD＝3，求线段BD的长．
【考点】KO：含30度角的直角三角形；R2：旋转的性质．
【专题】11：计算题；14：证明题；554：等腰三角形与直角三角形；66：运算能力；67：推理能力．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）．
【分析】（1）根据含30°的直角三角形的性质判断出，再判断出∠AOC＝∠BOD，即可得出△AOC∽△BOD，即可得出∠CAO＝∠DBO，最后用等量代换求出∠CAB+ABE ＝90°，即可得出结论；
（2）过点D作DF⊥OB于F，可得出AC＝BD，设BD＝x，则BC＝3+x，根据勾股定理得（3+x）2+（x）2＝72，解方程即可得出答案．
【解答】解：（1）如图1，延长BD交AC于E，
在Rt△AOB中，∠OAB＝30°，
∴AB＝2OB，OA＝OB，
同理：OC＝OD，
∴，
∵∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠AOC＝∠BOD，
∴△AOC∽△BOD，
∴∠CAO＝∠DBO，
∴∠CAB+∠ABE＝∠CAO+∠OAB+∠ABE＝∠DBO+∠ABE+∠OAB＝∠ABO+∠OAB＝90°，
∴∠AEB＝90°，
∴BD⊥AC；
（2）解：如图2，过点D作DF⊥OB于F，
由（2）知，BC⊥AC，△AOC∽△BOD，
∴，
∴AC＝BD，
在Rt△ABC中，AB＝7，BC＝CD+BD＝3+BD，
设BD＝x，则BC＝3+x，
根据勾股定理得，BC2+AC2＝AB2，
∴（3+x）2+（x）2＝72，
∴x＝﹣4（舍）或x＝，
∴BD＝．
23.某生活超市有一专柜预代理销售甲乙两家公司的一种可相互替代的日常生活用品．经过
一段时间分别单独试销甲乙两家公司的商品，从销售数据中随机各抽取50天，统计每日的销售数量，得到如下的频数分布条形图．甲乙两家公司给该超市的日利润方案为：甲公司给超市每天基本费用为90元，另外每销售一件提成1元；乙公司给超市每天的基本费用为130元，每日销售数量不超过83件没有提成，超过83件的部分每件提成10元．（1）求乙公司给超市的日利润y（单位：元）与日销售数量n的函数关系；
（2）若将频率视为概率，回答下列问题：
①求甲公司产品销售数量不超过87件的概率；
②如果仅从日均利润的角度考虑，请你利用所学过的统计学知识为超市作出抉择，选择哪家公司的产品进行销售？并说明理由．
【考点】V8：频数（率）分布直方图；VC：条形统计图；X3：概率的意义；X4：概率公式．
【专题】543：概率及其应用；69：应用意识．
【答案】（1）y＝；
（2）①；
②超市应代理销售乙公司的产品较为合适．
【分析】（1）由题意得到，当0≤n≤83时，y＝130元，当n＞＝130+（n﹣83）×10＝10n﹣700，由此能出乙公司给超市的日利润y与销售数量n的函数关系；
（2）①根据概率公式即可得到结论；
②求出甲公司给超市的日利润的平均数和乙公司给超市的日利润的平均数，由此能求出代理销售乙公司的产品较为合适．
【解答】解：（1）由题意得到，当0≤n≤83时，y＝130元，当n＞83时，y＝130+（n ﹣83）×10＝10n﹣700，
∴乙公司给超市的日利润y（单位：元）与日销售数量n的函数关系为：y＝；
（2）①甲公司产品销售数量不超过87件的概率为：＝；
②设甲公司的给超市的日利润为x元，
则x的所有可能的值为：171，174，177，180，183，
＝（171×5+174×10+177×5+180×20+183×10）＝178.2（元），
设乙公司的给超市的日利润为y元，
则y的所有可能的值为：130，140，170，200，230，
＝×（130×50+0×5+10×5+40×10+70×15+100×15）＝190（元），
∵＜，
∴超市应代理销售乙公司的产品较为合适．
24.如图①，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD平分∠CAB，AD与BC交于点F，过点
D作DE⊥AB于点E．
（1）求证：BC＝2DE；
（2）如图②，连接OF，若∠AFO＝45°，半径为2时，求AC的长．
【考点】KF：角平分线的性质；M5：圆周角定理．
【专题】559：圆的有关概念及性质；69：应用意识．
【答案】（1）证明见解析部分．
（2）．
【分析】（1）如图①中，延长DE交⊙O于G，连接AG．想办法证明DE＝EG，BC＝DG即可．
（2）如图②中，作FR⊥AB于R，OS⊥AD于S．首先证明BF＝BO，利用相似三角形的性质证明AC＝2FR＝2CF，由tan∠F AR＝tan∠F AC＝，设SO＝t，AS＝2t，SF＝SO ＝t，利用勾股定理求出t即可解决问题．
【解答】（1）证明：如图①中，延长DE交⊙O于G，连接AG．
∵AB⊥DG，AB是直径，
∴＝，DE＝EG，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD＝∠DAB，
∴＝，
∴＝，
∴BC＝DG＝2DE．
（2）解：如图②中，作FR⊥AB于R，OS⊥AD于S．
∵AD平分∠CAB，FC⊥AC，FR⊥AB，
∴∠CAD＝∠BAD＝x，FC＝FR，
∴∠FBO＝90°﹣2x，
∵∠AFO＝45°，
∴∠FOB＝45°+x，
∴∠OFB＝180°﹣（90°﹣2x）﹣（45°+x）＝45°+x，∴∠FOB＝∠OFB
∴BF＝BO＝OA，
∵∠FRB＝∠ACB＝90°，∠FBR＝∠ABC，
∴△BFR∽△BAC，
∴＝＝，
∴AC＝2FR＝2FC，
∴tan∠F AR＝tan∠F AC＝，
设SO＝t，AS＝2t，SF＝SO＝t，
则t2+4t2＝4，
∵t＞0，
∴t＝，
∴AF＝3t＝，设CF＝m，则AC＝2m，
则有5m2＝，
∵m＞0，
∴m＝，
∴AC＝2m＝．
25.已知抛物线y＝﹣x2+4ax﹣4a2+3a（a＞），顶点为点D，抛物线与x轴交于A、B两点
（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）若a＝3时，求此时抛物线的最大值；
（2）若当0≤x≤2时，抛物线函数有最大值3，求此时a的值；
（3）若直线CD交x轴于点G，求的值．
【考点】HF：二次函数综合题．
【专题】16：压轴题；69：应用意识．
【答案】（1）9；
（2）a的值是1或；
（3）．
【分析】（1）将a＝3代入抛物线的解析式，配方成顶点式，可得最大值；
（2）利用配方法得：y＝﹣（x﹣2a）2+3a，得抛物线的对称轴是：x＝2a，分两种情况：
①当对称轴在0与2之间时，最大值就是顶点坐标的纵坐标，②当对称轴在点（2，0）的右侧时，在0≤x≤2时，y随x的增大而增大，x＝2时有最大值，列式可得a的值；（3）根据（2）可得D的坐标，令y＝0和x＝0可得A、B、C的坐标，从而利用待定系数法可得CD的解析式，可得G的坐标，根据两点的距离可得AG、BG和OG的长，代入所求的式子化简可得结论．
【解答】解：（1）当a＝3时，y＝﹣x2+12x﹣36+9＝﹣x2+12x﹣27＝﹣（x﹣6）2+9，
∵﹣1＜0，
∴当x＝6时，y有最大值是9；
（2）y＝﹣x2+4ax﹣4a2+3a＝﹣（x﹣2a）2+3a，
∴抛物线的对称轴是：x＝2a，
∵a＞，
∴2a＞，
分两种情况：
①当＜2a≤2时，即＜a≤1，
∴当0≤x≤2时，抛物线函数有最大值是3a，即3a＝3，
∴a＝1；
②当2a＞2时，即a＞1，y随x的增大而增大，
∴当0≤x≤2时，x＝2时有最大值3，
∴y＝﹣（2﹣2a）2+3a＝3，
解得：a1＝，a2＝1（舍），
综上，a的值是1或；
（3）如图，∵y＝﹣（x﹣2a）2+3a，
∴D（2a，3a），C（0，﹣4a2+3a），
当y＝0时，﹣（x﹣2a）2+3a＝0，
解得：x1＝2a﹣，x2＝2a+，
∴A（2a﹣，0），B（2a+，0），
设DC的解析式为：y＝kx+b，
则，解得：，
∴设DC的解析式为：y＝2ax﹣4a2+3a，
当y＝0时，2ax﹣4a2+3a＝0，
∴x＝2a﹣，
∴OG＝2a﹣，
∴＝＝＝＝＝．。