初三第五讲 二次函—1数

一．基础知识：
1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2
++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数c bx ax y ++=2
用配方法可化成：()k h x a y +-=2
的形式，其中
a
b a
c k a b h 4422
-=-=，.
3.抛物线c bx ax y ++=2
中，c b a ,,的作用
（1）a 决定开口方向及开口大小，这与2
ax y =中的a 完全一样.
（2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2
的对称轴是直线
a b x 2-
=，故：①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>a b
（即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③0<a b
（即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧.
（3）c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2
与y 轴交点的位置.
当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2
与y 轴有且只有一个交点（0，c ）：
① 0=c ，抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴；③0<c ,与y 轴交于负半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则
0<a
b
. 4.一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02
≠++=a c bx ax y 的图像G
的交点，由方
程组
c
bx ax y n kx y ++=+=2
的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交
点; ②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点；③方程组无解时⇔l 与G 没有交点. 5.抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2
与x 轴两交点为()()0021，，，x B x A ，
由于1x 、2x 是方程02
=++c bx ax 的两个根，故
a
c
x x a b x x =
⋅-=+2121,()()a a ac b a c a b x x x x x x x x AB ∆=
-=-⎪⎭
⎫
⎝⎛-=--=
-=
-=44422
212
212
2121
二．典型例题：
例题1.抛物线y ＝ax 2
＋bx ＋c (a ≠0)的图象如下图所示，那么( )
A ．a ＜0，b ＞0，c ＞0
B ．a ＜0，b ＜0，c ＞0
C ．a ＜0，b ＞0，c ＜0
D ．a ＜0，b ＜0，c ＜0
变式1—1.已知二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c 的图象如右图所示，则( )
A ．a ＞0，c ＞0，b 2
－4ac ＜0
B ．a ＞0，c ＜0，b 2
－4ac ＞0
C ．a ＜0，c ＞0，b 2
－4ac ＜0
D ．a ＜0，c ＜0，b 2
－4ac ＞0
变式1—2.已知二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c 的图象如下图所示，则( )
A ．b ＞0，c ＞0， ＝0
B ．b ＜0，c ＞0， ＝0
C ．b ＜0，c ＜0， ＝0
D ．b ＞0，c ＞0， ＞0
变式1—3.在同一坐标系内，函数y ＝kx 2
和y ＝kx －2(k ≠0)的图象大致如图( )
变式1—4.函数x
ab
y b ax y =
+=221,(ab ＜0)的图象在下列四个示意图中，可能正确的是
( )
变式1—5.如图，平面直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，则下列关系正确的是（ ）
A ．m ＝n ，k ＞h
B ．m ＝n ，k ＜h
C ．m ＞n ，k ＝h
D ．m ＜n ，k ＝h
例题 2.二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，反比例函数数y cx a =+在同一平面直角坐标系中的大致图象是（ ）
A B C D
变式2—1.二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则反比例函数a
y x
=与一次函数y bx c =+在同一坐标系中的大致图象是（ ）
变式2—2.二次函数y=ax 2
+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，y=bx+c 在同一直角坐标系内的大致图象是（ ）
A B C D
变式2—
3.
图中各图是在同一直角坐标系内，二次函数c x c a ax y +++=)(2
与一次函数
c ax y +=的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是（ ）
例题3.小明从二次函数
的图象（如图）中观察得到了下面五条信息：①； ②；③；④；⑤；你认为正确的信息是( )
A. ①②③⑤
B. ①②③④
C. ①③④⑤
D. ②③④⑤
变式3—1.已知二次函数y =ax 2
+bx +c (a ≠0)的图象如下图所示，有下列5个结论：①abc ＜0；②a -b +c ＞0；③ 2a +b =0；④240b ac -> ⑤a +b +c ＞m (am +b )+c ，
04>-b c 032=-b a 0>+-c b a 0>abc 0<c c bx ax y ++=2
（m ＞1的实数），其中正确的结论有（ ）
A. 1个 B ．2个 C ．3个
D ．4个
变式3—2.已知二次函数
（a ≠0）的图象如图所示，则下
列结论：
① ac >0； ② a –b +c <0； ③当x <0时，y <0； ④方程（a ≠0）有两个大于－1的实数根． 其中错误的结论有
（A ）② ③ （B ）② ④ （C ）① ③ （D ）① ④ 变式3—3.已知二次函数2
y ax bx c =++的图象如图所示，令
|42|M a b c =-+||a b c +++|2||2|a b a b -++-，则（ ）
A ．M ＞0
B ．M ＜0
C ．M ＝0
D ．M 的符号不能确定
变式3—4.如图，二次函数y=ax 2
+bx+c （a ≠0
）的图象的顶点在第一象限，且
过点（0，1）和（﹣1，0）．下列结论：①ab ＜0，②b 2
＞4a ，③0＜a+b+c ＜2，④0＜b ＜1，⑤当x ＞﹣1时，y ＞0，其中正确结论的个数是（ ） A ．5个 B ．4个 C ．3个 D ．2个
变式3—5.已知二次函数)0(2
≠++=a c bx ax y 的图象如图所示，有下列5个结论：
① 0>abc ；②024>++c b a ；③2
2
()a c b +>； ④ b c 32<；⑤ ()a b m am b +>+ （1m ≠） 其中正确的结论有 （ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
变式3—6.已知二次函数2
y ax bx c =++的图象与x 轴交于点(20)-，、1(0)x ，
，且112x <<，与y 轴的正半轴的交点在(02)，的下方．下列结论：①420a b c -+=；②0a b <<；③20a c +>；
2
0ax bx c ++=2
y ax bx c =++
• •
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 例题4．二次函数的图象经过点（－3，2），（2，7），（0，－1），求其解析式．
变式4—1.已知抛物线的对称轴为直线x=－2，且经过点 （－l ，－1），（－4，0）两点．求抛物线的解析式．
变式4—2.已知抛物线与 x 轴交于点（1，0）和(2，0)且过点 (3，4)，求抛物线的解析式．
变式4—3.已知二次函数c bx ax y ++=2
的图象经过点A （0，1）B(2，－1）两点．（1）求b 和c 的值；(2）试判断点P （－1，2）是否在此抛物线上？
变式4—4.已知一个二次函数c bx ax y ++=2
的图象如图1－2－25所示，请你求出这个二次函数的表达式，并求出顶点坐标和对称轴方程．
例题5．如图，抛物线的对称轴是直线x=1，它与x 轴交于A,B 两点，与y 轴交于C 点。

点A,C 的坐标分别是(－1，0)，(0，2
3
)。

（1）求此抛物线对应的函数解析式；
（2）若点P 是抛物线上位于x 轴上方的一个动点，求△ABP 的面积的最大值。

变式5—1.如图1－2－16所示，要在底边BC =160cm ，高AD =120cm 的△ABC 铁皮余料上，截取一个矩形EFGH ，使点H 在AB 上，点G 在AC 上，点E 、F 在BC 上，AD 交HG 于点M ，此时AM AD =HG
BC 。

(1)设矩形EFGH 的长HG =y ，宽HE =x ，确定y 与x 的函数关系式； (2)当x 为何值时，矩形EFGH 的面积S 最大？ (3)以面积最大的矩形EFGH 为侧面，围成一个圆柱形的铁桶，怎样围时，才能使铁桶的体积较大？请说明理由(注：围铁桶侧面时，接缝无重叠，底面另用材料配备)
变式5—2.如图1－2－24，△OAB 是边长为2＋ 3 的等边三角形，其中O 是坐标原点，顶点B 在y 轴的正方向上，将△OA B 折叠，使点A 落在边OB 上，记为A ′，折痕为EF ． （1）当A ′E ∥x 轴时，求点A ′和E 的坐标； （2）当A ′E ∥x 轴，且抛物线c bx x y ++-
=2
6
1经过点A ′和E 时，求该抛物线与x 轴的交点的坐标；
（3）当点A ′在OB 上运动但不与点O 、B 重合时，能否使△A ′EF 成为直角三角形．若能，请求出此时点A ′的坐标；若不能，请你说明理由．
三、强化训练：
1.在直角坐标系中，△AOB 的顶点坐标分别为A （0，2），O （0，0），B （4，0），把△AOB 绕O 点按逆时针方向旋转900
到△COD 。

（1）求C ，D 两点的坐标；
（2）求经过C ，D ，B 三点的抛物线解析式。

2.已知抛物线c bx ax y ++=2
过三点（－1，－1）、（0，－2）、（1，l ）． （1）求抛物线所对应的二次函数的表达式； （2）写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（3）这个函数有最大值还是最小值？ 这个值是多少？
3.如图，已知二次函数图像的顶点坐标为C(1,0)，直线m x y +=与二次函数的图像交于A 、B 两点，其中A 点的坐标为（3,4），B 点在y 轴上。

（1）求m 的值及二次函数的解析式；
（2）P 为线段AB 上的一个动点（点P 与A,B 不重合），过点P 做x 轴的垂线与二次函数图像交于点E ，设线段PE 的长度为h ，点P 的横坐标为x ，求h 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；
（3）D 为直线AB 与这个二次函数图像对称轴的交点，在线段AB 上是否存在一点P ，使得四边形DCEP 是平行四边形？若存在，请说明理由。