江西省宜春市奉新县一中2015-2016学年高二上学期期末考试数学(理)试卷

高二上学期期末考试数学（理）试卷
本试卷分为第I 卷和第II 卷两部分，满分150分，考试时间120分钟.
第I 卷（选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意.）
1. 若∫10(x 2
＋mx )d x ＝0，则实数m 的值为
( ) A ．－1
3
B ．－2
C ．－1
D ．－2
3
2．圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是（ ） A.（x ﹣1）2+（y ﹣1）2=1 B.（x+1）2+（y+1）2=1 C.（x+1）2+（y+1）2=2
D.（x ﹣1）2+（y ﹣1）2=2
3. 已知△ABC 的周长为20，且顶点B (0，－4)，C (0，4)，则顶点A 的轨迹方程是（ ）
A ．1203622=+y x （x ≠0）
B ．136202
2
=+
y x （x ≠0） C ．120622=+y x （x ≠0） D ．16
20
2
2
=+
y x （x ≠0） 4．若过点)2,32(--P 的直线与圆422=+y x 有公共点，则该直线的倾斜角的取值范围是( )
A ．)
6,0(π
B ．]
3,0[π
C ．]
6,0[π
D ．]3
,0(π
5．已知命题:,p x R ∃∈使得1
2,x x
+
<命题2:,10q x R x x ∀∈++>， 下列命题为真的是（ ）
A ．（)p q ⌝∧
B ．()p q ∧⌝
C ． p ∧q
D ．()()p q ⌝∧⌝
6．已知一个空间几何体的三视图如右图所示，根据图
中标出的尺寸，可得这个几何体的体积是（ ）
A ．2
B ．4
C ．6
D ．12
7．已知函数()ln 2sin f x x α=+（)2
,0(π
α∈）的导函数为()f x '，若存在01
x <使得00()()f x f x '=成立，则实数α的取值范围为（ ）
A
B ．⎪⎭
⎫ ⎝⎛3,0π
C ．,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．0,6π⎛⎫
⎪⎝⎭
8．曲线1
(0)y x x
=>在点00(,)P x y 处的切线为l ．若直线l 与x ，y 轴的交点分别为A ，B ，则OAB ∆（其中O 为坐标原点）的面积为（ ）
A
．4+ B
． C ．2
D
．5+
9．点P 是棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -内一点，且满足
1312
423
AP AB AD AA =
++，则点P 到棱AB 的距离为( ) A ．56 B ．3
4
C
． D
10. 已知可导函数y=f(x)在点))(,(00x f x P 处切线为)(:x g y l =（如图），设F(x)=f(x)-g(x),则( )
A ．)(,0)(00x F x x x F 是=='的极小值点
B ．)(,0)(00x F x x x F 是=='的极大值点
C ．)(,0)(00x F x x x F 不是=≠'的极值点
D ．)(,0)(00x F x x x F 是=≠'的极值点
11．已知椭圆1C 和双曲线2C 焦点相同，且离心率互为倒数，12,F F 它们的公共焦点，P 是椭圆和双曲线在第一象限的交点，当1260F PF ∠=︒时，则椭圆1C 的离心率为（ ）
A. 12
D.
y=g(x)
(x 0,f(x 0)
y=f(x)
12．如图，已知在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形, PA ⊥底面
ABCD ，1,AB =π
1,(0)2
PA AC ABC θθ⋅=∠=<≤，则四棱锥P ABCD -的体积V 的取值范围是（ ）
A ．21[
)3 B ．21]6 C ．21(]3 D ．21[)6
第II 卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13. 已知双曲线1C :22
221x y a b -=（0a >，0b >）的离心率为2，则双曲线1
C 的渐近线方程为 ．
14. 设命题甲：关于x 的不等式2240x ax ++≤有解，命题乙：设函数
()log (2)a f x x a =+- 在区间),1(+∞上恒为正值，那么甲是乙的__________条件
15. 过点P （1，1）的直线，将圆形区域{（x ，y ）|x 2+y 2≤4}分两部分，使这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为
16. 对于函数()y f x =，若在其定义域内存在0x ，使得00()1x f x ⋅=成立，则称0x 为函数()f x 的“反比点”.下列函数中具有“反比点”的是____________.
①()222f x x =-+ ②()sin ,[0,2]f x x x π=∈；
③1
()f x x x
=+，(0,)x ∈+∞；④()x f x e =； ⑤()2ln f x x =-.
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. （本题满分10分）
设命题p :实数x 满足22430x ax a -+<,其中0a >,
命题q :实数x 满足2260,
280.x x x x ⎧--≤⎪⎨+->⎪⎩
．
（1）若1,a =且p q ∧为真,求实数x 的取值范围;
（2）若p ⌝是⌝q 的充分不必要条件,求实数a 的取值范围．
18. （本题满分12分）
已知两直线04:1=+-by ax l ，0)1(:2=++-b y x a l ， 求分别满足下列条件的b a ,的值。

（1）直线1l 过点)1,3(--，且21l l ⊥；
（2）21//l l ，且坐标原点到1l 与2l 的距离相等。

19. （本小题满分12分） 已知函数3()16f x x x =+-．
（I ）求曲线()y f x =在点(2,6)-处的切线方程；
（II ）直线l 为曲线()y f x =的切线，且经过原点，求直线l 的方程
20. （本小题满分12分）
如图，在四棱柱ABCD -PGFE 中，底面ABCD 是直角梯形，侧棱垂直于底面，
AB //DC ，
∠ABC ＝45o ，DC ＝1，AB ＝2，PA ＝1． (1)求PD 与BC 所成角的大小； (2)求证：BC ⊥平面PAC ； (3)求二面角A -PC -D 的大小．
21.如图，已知M 为抛物线)0(22>=p px y 上一动点，)0)(0,(>a a A 为其对称轴
上一点，直线MA 与抛物线的另一个交点为N ．当A 为抛物线的焦点且直线MA 与其对称轴垂直时，△OMN 的面积为2
9．
（Ⅰ）求抛物线的标准方程； （Ⅱ）记|
|1
||1AN AM t +
=
，若t 的值与M 点位置无关， 则称此时的点A 为“稳定点”，试求出所有“稳 定点”，若没有，请说明理由．
22.已知函数()()()1ln 12
+-+-=x x a x x f (其中R a ∈,且a 为常数)
（Ⅰ）若对于任意的()+∞∈,1x ,都有()0>x f 成立,求a 的取值范围; （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下,若方程()01=++a x f 在(]2,0∈x 上有且只有一个实根,
求a 的取值范围.
高二上学期期末考试数学（理）试卷
一、DDBBC BCCAA DA
13.y = 14. 必要不充分 15. x+y-2=0 16. ①②④ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本题满分10分）设命题p :实数x 满足22430x ax a -+<,其中0a >,命题q :
实数x 满足2
260,
280.
x x x x ⎧--≤⎪⎨+->⎪⎩．（1）若1,a =且p q ∧为真,求实数x 的取值范围;
（2）若p ⌝是⌝q 的充分不必要条件,求实数a 的取值范围． 解17． （1）当1a =时，
{}
:13p x x <<，
{}
:23q x x <≤，
又p q ∧为真，所以p 真且q 真，由13
23x x <<⎧⎨
<≤⎩
，得23x <<所以实数a 的取值范围为
(2,3)
（2） 因为p ⌝是⌝q 的充分不必要条件，所以q 是p 的充分不必要条件，
又
{}
:3p x a x a <<，
{}
:23q x x <≤，所以
0233a a a >⎧⎪
≤⎨⎪>⎩
，解得12a <≤
所以实数a 的取值范围为
(]1,2
18. （本题满分12分）已知两直线04:1=+-by ax l ，0)1(:2=++-b y x a l ，求分别满足下列条件的b a ,的值。

（1）直线1l 过点)1,3(--，且21l l ⊥；
（2）21//l l ，且坐标原点到1l 与2l 的距离相等。

解18、（1）2,2==b a （2）2,3
2
==
b a 或2,2-==b a 19. （本小题满分12分）已知函数
3
()16f x x x =+-． （I ）求曲线()y f x =在点(2,6)-处的切线方程；
（II ）直线l 为曲线()y f x =的切线，且经过原点，求直线l 的方程
19（1）
切线方程为：
，即
（2）设切点为
则
…….①，直线
方程为
，直线过原点，则
…….②
联立①、②解得 ，所以直线方程为:
20. （本小题满分12分）
如图，在四棱柱ABCD -PGFE 中，底面ABCD 是直角梯形，侧棱垂直于底面，AB //DC ，∠ABC ＝45o ，DC ＝1，AB ＝2，PA ＝1．
(1)求PD 与BC 所成角的大小； (2)求证：BC ⊥平面PAC ； (3)求二面角A -PC -D 的大小．
20．（12分）（Ⅰ）取的AB 中点H ，连接DH ，易证BH//CD ，且BD =CD ………1分
所以四边形BHDC 为平行四边形，所以BC//DH
所以∠PDH 为PD 与BC 所成角 (2)
分
因为四边形，ABCD 为直角梯形，且∠ABC =45o ， 所以⊥DA ⊥AB
又因为AB =2DC =2，所以AD =1， 因为Rt △PAD 、Rt △DAH 、
Rt △PAH 都为等腰直角三角形，所以PD =DH =PH =
2，故∠
PDH =60o ………………………4分
（Ⅰ）连接CH ，则四边形ADCH 为矩形， ∴AH =DC 又AB =2，∴BH =1 在Rt △BHC 中，∠ABC =45o ， ∴CH =BH =1，CB 2 ∴AD =CH =1，
AC 2
∴AC 2+BC 2=AB 2 ∴BC ⊥AC ……6分 又PA 平面ABCD ∴PA ⊥BC ……7分 ∵PA ∩AC =A ∴BC ⊥平面PAC ………………………………………8分 （Ⅲ）如图，分别以AD 、AB 、AP 为x 轴，y 轴，z 轴 建立空间直角坐标系，则由题设可知：
A (0，0，0)，P (0，0，1)，C (1，1，0)，D (1，0，0)，
∴AP =(0，0，1)，PC =(1，1，-1) ………………………………………… 9分 设m =(a ，b ，c )为平面PAC 的一个法向量， 则0
AP PC ⎧=⎪⎨=⎪⎩m m ，即00c a b c =⎧⎨+-=⎩
设1a =，则1b =-，∴m =(1，-1，0) ………………………………………10分
同理设n =(x ，y ，z ) 为平面PCD 的一个法向量，求得n =(1，1，1) ………11分 ∴1
cos ,222
=
==⨯m n m n m n 所以二面角A -PC -D 为60o …………
12分
21.如图，已知M 为抛物线)0(22>=p px y 上一动点，)0)(0,(>a a A 为其对称轴上一点，直线MA 与抛物线的另一个交点为N ．当A 为抛物线的焦点且直线MA 与其对称轴垂直时，△OMN 的面积为
2
9． （Ⅰ）求抛物线的标准方程； （Ⅱ）记|
|1
||1AN AM t +
=
，若t 的值与M 点位置无关， 则称此时的点A 为“稳定点”，试求出所有“稳 定点”，若没有，请说明理由．
21. 解：（Ⅰ）由题意2119
||||222222
MON
p p S OA MN p ∆=⋅⋅=⋅⋅== 3=∴p ，Å×ÎïÏßCµÄ·½³ÌΪx y 62=----------------------3·Ö
£¨¢òII£©Éè1122(,)(,)M x y N x y ，,Ö±ÏßMNµÄ·½³ÌΪx my a =+
ÁªÁ¢26x my a y x =+⎧⎨=⎩
µÃ0662=--a my y ，0
24362>+=∆a m
m y y 621=+,a y y 621-=-------------------5·Ö
因为0>a ʱ, 1260y y a =-<,
21y y ，∴ÒìºÅ,ÓÖ22212
121111111
||||1||1||1t AM AN y y m y m y m =
+=+=-
+++ 22121221222122122)(4)(11)()-(11y y y y y y m y y y y m t -+⋅+=⋅+=∴ )11321(13624361122222m a a a a m m +-+=+⋅+=---8
分
所以,仅当
2103a -=,即3
2a =时,t 与m 无关,此时A 即抛物线C 的焦点,即抛物线C 对称轴上仅有焦点3
(,0)2
这一个“稳定点” -------------12分
22.已知函数()()()1ln 12
+-+-=x x a x x f (其中R a ∈,且a 为常数)
（Ⅰ）若对于任意的()+∞∈,1x ,都有()0>x f 成立,求a 的取值范围;
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下,若方程()01=++a x f 在(]2,0∈x 上有且只有一个实根,求a 的取值范围.
【解析】（Ⅰ）由()()()()x a x x x a x x f --=
⎪⎭
⎫
⎝⎛-+-='211112知…………… …1分 当2≤a 时,()0>'x f 对于()+∞∈,1x 恒成立,()x f ∴在()+∞,1上单调递增 ()()01=>∴f x f ,此时命题成立;…………………… …3分 当2>a 时,()x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛2,
1a 上单调递减,在⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,2a 上单调递增, ∴当⎪⎭
⎫
⎝⎛∈2,1a x 时,有()()01=<f x f .这与题设矛盾,不合. 故a 的取值范围是(]2,∞-………… …5分
（Ⅱ）依题意(]2,∞-∈a ,设()()1++=a x f x g ,原题即为若()x g 在(]2,0上有且只有一个零点,求a 的取值范围.显然函数()x g 与()x f 的单调性是一致的.
当0≤a 时,因为函数()x g 在区间()1,0上递减,(]2,1上递增,所以()x g 在(]2,0上的
最小值为()11+=a g ,由于0111122
22>+-⎪⎭⎫
⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛e
a e e g ,要使()x g 在(]2,0上有且只有一
个零点,需满足()01=g 或()02<g ,解得1-=a 或2
ln 2
-
<a ;…………… …7分 当2
=a 时,因为函数
()
x g 在
(]
2,0上
单
调
递
增
,
且
()
()02ln 222,024
148
4>+=<--=
-g e
e e g ,所以此时()x g 在(]2,0有且只有一个零点
当20<<a 时,因为函数()x g 在⎪⎭⎫ ⎝⎛2,
0a 上单调递增,在⎪⎭⎫
⎝⎛1,2a 上单调递减,在(]2,1上单调递增,又因为()011>+=a g ,所以当⎥⎦
⎤
⎝⎛∈2,2a x 时,总有()0>x g , ()0
22ln 2212222222222<⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∴+<<+-+-+-+-+-
a e a a e e e g a e
a a a a a a a a a
a ,
所以()x g 在⎪⎭⎫ ⎝⎛2,
0a 上必有零点,又因为()x g 在⎪⎭
⎫
⎝⎛2,0a 上单调递增,从而当20<<a 时,()x g 在(]2,0上有且只有一个零点.………………………… …11分 综上所述,当20≤<a 或2
ln 2
-
<a 或1-=a 时,方程()01=++a x f 在(]2,0∈x 上有且只有一个实根.………………………… …12分。