【优化指导】2015高考数学总复习 第8章 第7节 立体几何.

【优化指导】2015高考数学总复习第8章第7节立体几何中的向量方法课时跟踪检测理（含解析）新人教版
1．如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射影的方向向量分别是a＝(1,0,1，b＝(0,1,1，那么，这条斜线与平面所成的角是(
A. B.
C. D.
解析：选D ∵cos〈a，b〉＝＝且〈a，b〉∈(0，π，
∴〈a，b〉＝.
2．在正方形ABCD­A1B1C1D1中，M、N分别为棱AA1和BB1的中点，则 sin〈，〉的值为(
A. B.
C. D.
解析：选B 设正方体的棱长为2，以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，
DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系，可知＝(2，－2,1，＝(2,2，－1，cos〈，〉＝－，
sin〈，〉＝.故选B.
3．(2014·汕头调研
如图，在四面体ABCD中，AB＝1，AD＝2，BC＝3，CD＝2，∠ABC＝∠DCB＝，则二面角A­BC­D 的大小为(
A. B.
C. D.
解析：选B 依题意可知，二面角A­BC­D的大小等于与所成角的大小．∵＝＋＋，∴＝＋＋＋2||·||·cos〈，〉，即12＝1＋4＋9＋2×2 cos〈，〉，∴cos〈，〉＝－，∴与所成的角为，所以二面角A­BC­D的大小为.故选B.
4．如图所示，已知正方体ABCD­A1B1C1D1，E、F分别是正方形A1B1C1D1和ADD1A1的中心，则EF和CD所成的角是(
A．60° B．45°
C．30° D．90°
解析：选B 以D为原点，分别以射线DA、DC、DD1为x轴、y轴、z轴的非负半轴建立空间直角坐标系Dxyz，设正方体的棱长为1，则D(0,0,0，C(0,1,0，E，F，
＝，＝(0,1,0，
∴cos〈，〉＝＝－，
∴〈，〉＝135°，
∴异面直线EF和CD所成的角是45°.故选B.
5．(2014·西安模拟已知三棱锥S­ABC中，底面ABC是边长为2的等边三角形，SA⊥底面ABC，SA＝3，那么直线AB与平面SBC所成的角的正弦值为(
A. B.
C. D.
解析：选D建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则B(2,0,0，A(0,0,0，S(0,0,3，C(1，，0
设平面SBC的法向量为n＝(x，y，z，
由
得，令x＝3，
则n＝(3，，2．
又＝(2,0,0
设直线AB与平面SBC所成角为θ，则 sin θ＝|cos〈，n〉|＝＝＝.故选D.
6．(2014·金华十校联考如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB＝90°，2AC＝AA1＝BC＝2.若二面角B1-DC-C1的大小为60°，则AD的长为(
A. B.
C2 D.
解析：选A如图，以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z 轴建立空间直角坐标系，则C(0，0,0，A(1,0,0，B1(0,2,2，C1(0，0,2．设AD＝a，则D点坐标为(1,0，a，＝(1,0，a，＝(0,2,2．设平面B1CD的法向量为m＝(x，y，z．
解析：基因位于染色体上，同源染色体分离导致等位基因分离，非同源染色体之间
，
得，令z＝－1，则m＝(a,1
A．该孩子的性别．
又平面C1DC的一个法向量为n
B．这对夫妇生育另一个孩子的基因型
则由 cos 60°＝
D＝b和＝，
所以AD＝
因型是aaX b Y
7．设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，则点D1到平面A1BD
＝7/16。

解析：建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则D(0,0,0，B(2,2,0，D1
3．下面是某家族红绿色盲的遗传系谱图，正确的分析是 (
设平面A1BD的一个法向量为n＝(x，y，z
A．图中
2的双亲肯定不是色盲患者
解析：红绿色盲的遗传方式是伴
得b X b的色盲基因分别来自3＝(1；由子代情
1 ，－ 1 ．
又X b；图中2和
所以点D到平面A1BD的距离d＝
答案：C＝＝右图是对某种遗传病在双胞胎中共同
8．(2014·福州质检在三棱柱
发病率的调查结果。

a、bB1C1中，底面是边长为1的正三角形，侧棱AA
双胞胎中两者均发病的百分比。

据图判断下列叙述中底面ABC，点D在棱BB1上，且BD＝1，若AD与平面AA1C1C的夹角为α，则 sin α的值为
B．同卵双胞胎同时发病的概率受非遗传因素影响
解析：如图，建立空间直角坐标系，易知点D图示的调查结果表明，同卵双胞胎中两者均发病的百分比较高，但也并不是
，平面AA1C1C的一个法向量是 n ＝D错误。

同卵双胞胎的基因型相同，当一方发病而〈n，〉＝＝，所以sin α
答案：D
.
9．(2014·昆明模拟已知点E、
系进行杂交实验：实验1：阔叶♀×窄叶♂B1CD1的棱BB1、CC：上，且B1E＝2EB，CF＝250%阔叶♀AEF与平面ABC所成的二面角的正切值为________．
解析：如图，建立空间直角坐标系Dxyz，设DA＝1，由已知条件得，A无法判断两种叶型的显隐性关系
E
B．实验2结果说明控制叶型的基因在X，FC．实验1、2子代中的雌性植株的基因型相同
＝
实验1和实验2“后
的特征，说明控制叶型的.设平面AEF的法向量为n＝
基因在x，y，z，平面AEF与平面×XaY
由，得.
令y＝1，则n＝(－1,1，－3．
又平面ABC的一个法向量为m＝(0,0，－1，
则 cos θ＝|cos〈n，m〉|＝，所以tan θ＝.
10．(2013·湖南高考如图，在直棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AC⊥BD，BC＝1，AD＝AA1＝3.
(1求证：AC⊥B1D；
(2求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值．
(1证明：易知，AB，AD，AA1两两垂直．如图，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．设AB＝t，则相关各点的坐标为：A(0,0,0，B(t,0,0，B1(t,0,3，C(t,1,0，C1(t,1,3，D(0,3,0，D1(0,3,3．
从而＝(－t,3，－3，＝(t,1,0，＝(－t,3,0．
因为AC⊥BD，所以·＝－t2＋3＋0＝0.解得t ＝或t＝－(舍去．
于是＝(－，3，－3，＝(，1,0．
因为·＝－3＋3＋0＝0，
所以⊥，即AC⊥B1D.
(2解：由(1知，＝(0,3,3，＝(，1,0，＝(0,1,0．设n＝(x，y，z是平面ACD1的一个法向量，
由得，
令x＝1，则n＝(1，－，．
设直线B1C1与平面ACD1所成角为θ，则
sin θ＝|cos〈n，〉|＝＝＝.
所以直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值为.
11．(2014·东营模拟如图，四边形ABCD 中，AB⊥AD，AD∥BC，AD＝6，BC＝4，AB＝2，点E，F分别在BC，AD上，且E为BC的中点，EF∥AB.现将四边形ABEF沿EF折起，使二面角A-EF-D等于60˚.
(1设P为AD的中点，求证：CP∥平面ABEF；
(2求直线AF与平面ACD所成角的正弦值．
(1证明：取AF的中点Q，连QE，QP，则QP綊DF.又DF＝4，EC＝2，且DF∥EC，
所以PQ綊EC，所以四边形PQEC为平行四边形，
所以CP∥QE.又QE⊂平面ABEF，CP⊄平面ABEF，
所以CP∥平面ABEF.
(2解：由题知折叠后仍有EF⊥AF，EF⊥FD，则EF⊥平面AFD.
∴∠AFD为二面角A-EF-D的平面角，所以∠AFD＝60˚.
过A作AO⊥FD于O，又AO⊥EF，
∴AO⊥平面CDFE.
作OG∥EF交EC于G，则OG⊥FD，AO⊥OG，
分别以OG，OD，OA所在直线为x，y，z 轴建立空间直角坐标系Oxyz，
在Rt△AOF中，AF＝2，∠AFO＝60˚，则FO＝1，OA＝，
∴F(0，－1,0，A (0,0，，D(0,3,0，C(2,1,0，
∴＝(0，－1，－，＝(0,3，－，(－2,2,0，
设平面ACD的一个法向量为n＝(x，y，z，
由得，
令z＝，则n＝(1,1，．
设直线AF与平面ACD所成的角为θ，
则sin θ＝|cos〈n，〉|＝＝，
即直线AF与平面ACD所成角的正弦值为.
12．(2013·北京高考如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形．平面ABC⊥平面AA1C1C，AB＝3，BC＝5，
(1求证：AA1⊥平面ABC；
(2求二面角A1-BC1-B1的余弦值；
(3求证：在线段BC1上存在点D，使得AD⊥A1B，并求的值．
(1证明：因为AA1C1C为正方形，所以AA1⊥AC.
因为平面ABC⊥平面AA1C1C，且AA1⊥AC，所以AA1⊥平面ABC.
(2解：由(1知AA1⊥AC，AA1⊥AB.
由题知AB＝3，BC＝5，AC＝4，所以AB⊥AC.
如图，以A为原点建立空间直角坐标系Axyz，则B(0,3,0，A1(0,0,4，B1(0,3,4，C1(4,0,4．
设平面A1BC1的法向量为n＝(x，y，z，
则得，
令z＝3，则x＝0，y＝4，所以n＝(0,4,3．
同理可得平面B1BC1的法向量为m＝(3,4,0．
所以 cos〈n，m〉＝＝.
由图形知二面角A1-BC1-B1为锐角，
所以二面角A1-BC1-B1的余弦值为.
(3证明：设D(x，y，z是直线BC1上一点，且＝λ，
所以(x，y－3，z＝λ(4，－3,4．
解得x＝4λ，y＝3－3λ，z＝4λ.
所以＝(4λ，3－3λ，4λ．
由·＝0，得9－25λ＝0，解得λ＝.
因为∈[0,1]，所以在线段BC1上存在点D，使得AD⊥A1B，此时，＝λ＝.
1．(2014·唐山调研如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，沿对角线BD将△ABD折起，使A点在平面BCD内的射影O落在BC边上，若二面角C-AB-D 的大小为θ，则sin θ＝(
A. B.
C. D.
解析：选A由可求得BO＝，OC＝，AO＝，建立空间直角坐标系，如图，则C，B，A，D，
故＝(4,3,0，＝.
设m＝(x，y，z是平面ABD的法向量，则，令z＝－3，则m＝.又＝(0,3,0是平面ABC的一个法向量，∴cos〈m，〉＝＝－＝－.∴sin θ＝＝.故选A.
2．如图，三棱锥A­BCD中，E是BC的中点，DB＝4，DC＝2，BD⊥DC，AB＝AD＝2，AE⊥平面BCD，二面角A­BD­C的大小为60˚.则直线AC与平面ABD所成角的正弦值为________．
解析：取BD的中点M，连接ME，建立如图所示的空间直角坐标系Mxyz，则A(0,1，，B(2,0,0，D(－2,0,0，C(－2，2,0，故＝(2，－1，－，＝(－2，－1，－，＝(－2,1，－．设平面ABD的法向量为n＝(x，y，z，则，令 z＝1，得n＝(0，－，1，设直线AC与平面ABD所成的角为θ，则 sin θ＝＝，所以直线AC与平面ABD所成角的正弦值为.
3．(2014·东北三校联考如图，三棱柱ABC­A1B1C1的侧棱AA1⊥底面ABC，∠ACB＝90˚，E是棱CC1上的动点，F是AB的中点，AC＝1，BC＝2，AA1＝4.
(1当E是棱CC1的中点时，求证：CF∥平面AEB1；
(2在棱CC1上是否存在点E，使得二面角A­EB1­B的余弦值是？若存在，求CE的长，若不存在，请说明理由．
解：(1取AB1的中点G，连EG、FG.
∵F，G分别是棱AB，AB1的中点，
∴FG∥BB1，FG＝BB1，
又EC∥BB1，EC＝CC1＝BB1，
∴FG∥EC，FG＝EC，
∴四边形FGEC是平行四边形，
∴CF∥EG.
∵CF⊄平面AEB1，EG⊂平面AEB1，
∴CF∥平面AEB1.
(2以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，则C(0,0,0，A(1,0,0，B1(0,2,4．
设E(0,0，m(0≤m≤4，平面AEB1的法向量n1＝(x，y，z．
＝(－1,2,4，＝(－1,0，m．
由⊥n1，⊥n1，
得解得.
令z＝2，则n1＝(2m，m－4,2．
∵CA⊥平面C1CBB1，
∴是平面EBB1的一个法向量，令n2＝＝(1,0,0，
∵二面角A­EB1­B的余弦值为，
∴cos〈n1，n2〉＝＝＝，
解得m＝1满足0≤m≤4.
∴在棱CC1上存在点E，符合题意，此时CE＝1.
4．(2014·衡水一中模拟如图，在三棱锥P­ABC中，PA＝PB＝PC＝AC＝4，AB＝BC＝2.
(1求证：平面ABC⊥平面APC；
(2求直线PA与平面PBC所成角的正弦值；
(3若动点M在底面三角形ABC上，二面角M­PA­C的余弦值为，求B点到AM的最小值．
(1证明：取AC中点O，因为AP＝CP，所以OP⊥OC.由已知易得三角形ABC为直角三角形，∴OA＝OB＝OC，△POA≌△POB≌△POC，∴OP⊥OB，
∴OP⊥平面ABC，又OP⊂平面PAC，
∴平面ABC⊥平面APC.
(2解：以O为坐标原点，OB、OC、OP分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系．
由已知得O(0,0,0，B(2,0,0，A(0，－2,0，C(0,2,0，P(0,0，2，
∴＝(－2,2,0，＝(2,0，－2，＝(0,2,2．
设平面PBC的法向量n1＝(x，y，z，
由得，
令x＝，则n1＝(，，1，∴cos〈，n1〉＝.
∴直线PA与平面PBC所成角的正弦值为.
(3解：由题意平面PAC的法向量n2＝＝(2,0,0，设平面PAM的法向量为n3＝(x，y，z，M(m，n,0．∵＝(0,2,2，＝(m，n＋2,0，
由得.
令z＝1，则n3＝，
∴cos〈n2，n3〉＝＝，
整理得32＝32，∴(n＋2＝4m，
∴点M所在的直线方程为4m－n－2＝0.
∴B点到AM的距离的最小值为
d＝＝＝.。