人教版高中数学选修2-2第一章导数及其应用复习优质
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1 故函数 f(x)的单调递增区间是 (0， )；单调递减 e 1 区间是 ( ，1)和 (1，＋∞)． e
3.利用导数研究函数的极值和最值
1．应用导数求函数极值的一般步骤： (1)确定函数f(x)的定义域； (2)解方程f′(x)＝0的根； (3) 检 验 f′(x) ＝ 0 的 根 的 两 侧 f′(x) 的 符 号． 若左正右负，则f(x)在此根处取得极大值； 若左负右正，则f(x)在此根处取得极小值； 否则，此根不是f(x)的极值点．
(2)法一：设切点为(x0，y0)， 则直线 l 的斜率为 f′(x0)＝3x2 0＋1， ∴直线 l 的方程为 3 y＝(3x2 ＋ 1)( x － x ) ＋ x 0 0 0＋x0－16， 又∵直线 l 过点(0,0)， 3 ∴0＝(3x2 ＋ 1)( － x ) ＋ x 0 0 0＋x0－16， 3 整理得，x0＝－8， ∴x0＝－2.
解之得，x0＝－2， 3 ∴y0＝(－2) ＋(－2)－16＝－26， k＝3×(－2)2＋1＝13. ∴直线 l 的方程为 y＝13x， 切点坐标为(－2， －26)． x (3)∵切线与直线 y＝－ ＋3 垂直， 4 ∴切线的斜率 k＝4. 设切点坐标为(x0， y0)，则 f′ (x0)＝ 3x2 0＋ 1＝ 4， ∴ x0＝ ± 1， x0＝1 x0＝－1， ∴ 或 y0＝－ 14 y0＝－ 18. 即切点为 (1，－ 14)或 (－ 1，－ 18)． 切线方程为 y＝4(x－ 1)－14 或 y＝ 4(x＋ 1)－18. 即 y＝4x－ 18 或 y＝4x－ 14.
例 3： 已知函数 f(x)＝－x3＋ax2＋bx， 在区间(－2,1) 2 内，当 x＝－1 时取极小值，当 x＝ 时取极大值． 3 (1)求函数 y＝f(x)在 x＝－2 时的对应点的切线方程； (2)求函数 y＝f(x)在[－2,1]上的最大值与最小值．
解：(1)f′(x)＝－3x ＋2ax＋b. 2 又 x＝－1， x＝ 分别对应函数取得极小值、 极大值， 3 2 2 所以－1， 为方程－3x ＋2ax＋b＝0 的两个根． 3 2 2 b 2 所以 a＝－1＋ ，－ ＝(－1)× . 3 3 3 3
例 1：已知函数 f(x)＝x3＋x－16. (1)求曲线 y＝f(x)在点(2，－6)处的切线方程； (2)直线 l 为曲线 y＝f(x)的切线，且经过原点， 求直线 l 的方程及切点坐标； (3)如果曲线 y＝f(x)的某一切线与直线 1 y＝－ x＋3 垂直，求切点坐标与切线的方程． 4
解:(1)可判定点(2，－6)在曲线y＝f(x)上． ∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1， ∴f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为 k＝f′(2)＝13. ∴切线的方程为 y＝13(x－2)＋(－6)， 即y＝13x－32.
∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26， k＝3×(－2)2＋1＝13. ∴直线 l 的方程为 y＝13x， 切点坐标为(－2， －26)． 法二：设直线 l 的பைடு நூலகம்程为 y＝kx，切点为(x0，y0)， 3 y0－0 x0 ＋x0－16 则 k＝ ＝ ， x x0－0 0 又∵k＝f′(x0)＝3x2 0＋1， 3 x0＋x0－16 2 ∴ ＝3x0＋1， x0
第一章导数及其应用 小结与复习
知识体系网络
1.导数的几何意义
函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义是曲线y＝
f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．也就是说，
曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率为
f′(x0)，相应的切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
2
1 于是 a＝－ ，b＝2， 2 1 2 3 则 f(x)＝－x － x ＋2x. 2 x＝－2 时，f(－2)＝2，即(－2,2)在曲线上． 又切线斜率为：k＝f′(x)＝－3x2－x＋2， f′(－2)＝－8， 所求切线方程为： y－2＝－8(x＋2)，即为 8x＋y＋14＝0.
(2)x变化时，f′(x)及f(x)的变化情况如下表：
2.利用导数研究函数的单调区间
应用导数求函数的单调区间的步骤： (1)求导数f′(x)； (2)解不等式f′(x)>0或f′(x)<0； (3)确定并指出函数的单调增区间、减区间． 特别要注意写单调区间时，区间之间用“和” 或“，”隔开，绝对不能用“∪”连结．
1 例 2：设函数 f(x)＝ (x＞0，且 x≠1)．求函数 xlnx f(x)的单调区间． lnx＋1 1 解： f′(x)＝－ 2 2 .令 f′(x)＝0， 则 x＝ ； x ln x e 1 令 f′(x)＞0，则 0＜x＜ ； e 1 令 f′(x)＜0，则 ＜ x＜ 1 或 x＞ 1. e
x f′ (x ) f (x ) 2 －2 (－2，－1) － ↘ －1 0 3 － 2 2 (－1， ) 3 ＋ ↗ 2 3 0 22 27 2 ( ，1) 3 － ↘ 1 1 2
3 则 f(x)在[－2,1]上的最大值为 2，最小值为－ . 2
4.利用导数解不等式恒成立问题
利用导数研究某些函数的单调性与最值，可
2．求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最大值、最小 值的方法与步骤： (1)求f(x)在(a，b)内的极值； (2) 将 (1) 求得的极值与 f(a) 、 f(b) 相比较，其中最 大的一个值为最大值，最小的一个值为最小值． 特别地: ①当f(x)在[a，b]上单调时，其最小值、最大值 在区间端点处取得； ②当f(x)在(a，b)内只有一个极值点时，若在这 一点处f(x)有极大(或极小)值，则可以断定f(x)在 该点处取得最大(或最小)值，这里(a，b)也可以 是(－∞，＋∞)．
以解决一些不等式证明及不等式恒成立问题，
如 利 用 “f(x) ＜ a 恒 成 立 ⇔ f(x)max ＜ a” 和
“f(x)＞a⇔f(x)min＞a”的思想解题．
3.利用导数研究函数的极值和最值
1．应用导数求函数极值的一般步骤： (1)确定函数f(x)的定义域； (2)解方程f′(x)＝0的根； (3) 检 验 f′(x) ＝ 0 的 根 的 两 侧 f′(x) 的 符 号． 若左正右负，则f(x)在此根处取得极大值； 若左负右正，则f(x)在此根处取得极小值； 否则，此根不是f(x)的极值点．
(2)法一：设切点为(x0，y0)， 则直线 l 的斜率为 f′(x0)＝3x2 0＋1， ∴直线 l 的方程为 3 y＝(3x2 ＋ 1)( x － x ) ＋ x 0 0 0＋x0－16， 又∵直线 l 过点(0,0)， 3 ∴0＝(3x2 ＋ 1)( － x ) ＋ x 0 0 0＋x0－16， 3 整理得，x0＝－8， ∴x0＝－2.
解之得，x0＝－2， 3 ∴y0＝(－2) ＋(－2)－16＝－26， k＝3×(－2)2＋1＝13. ∴直线 l 的方程为 y＝13x， 切点坐标为(－2， －26)． x (3)∵切线与直线 y＝－ ＋3 垂直， 4 ∴切线的斜率 k＝4. 设切点坐标为(x0， y0)，则 f′ (x0)＝ 3x2 0＋ 1＝ 4， ∴ x0＝ ± 1， x0＝1 x0＝－1， ∴ 或 y0＝－ 14 y0＝－ 18. 即切点为 (1，－ 14)或 (－ 1，－ 18)． 切线方程为 y＝4(x－ 1)－14 或 y＝ 4(x＋ 1)－18. 即 y＝4x－ 18 或 y＝4x－ 14.
例 3： 已知函数 f(x)＝－x3＋ax2＋bx， 在区间(－2,1) 2 内，当 x＝－1 时取极小值，当 x＝ 时取极大值． 3 (1)求函数 y＝f(x)在 x＝－2 时的对应点的切线方程； (2)求函数 y＝f(x)在[－2,1]上的最大值与最小值．
解：(1)f′(x)＝－3x ＋2ax＋b. 2 又 x＝－1， x＝ 分别对应函数取得极小值、 极大值， 3 2 2 所以－1， 为方程－3x ＋2ax＋b＝0 的两个根． 3 2 2 b 2 所以 a＝－1＋ ，－ ＝(－1)× . 3 3 3 3
例 1：已知函数 f(x)＝x3＋x－16. (1)求曲线 y＝f(x)在点(2，－6)处的切线方程； (2)直线 l 为曲线 y＝f(x)的切线，且经过原点， 求直线 l 的方程及切点坐标； (3)如果曲线 y＝f(x)的某一切线与直线 1 y＝－ x＋3 垂直，求切点坐标与切线的方程． 4
解:(1)可判定点(2，－6)在曲线y＝f(x)上． ∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1， ∴f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为 k＝f′(2)＝13. ∴切线的方程为 y＝13(x－2)＋(－6)， 即y＝13x－32.
∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26， k＝3×(－2)2＋1＝13. ∴直线 l 的方程为 y＝13x， 切点坐标为(－2， －26)． 法二：设直线 l 的பைடு நூலகம்程为 y＝kx，切点为(x0，y0)， 3 y0－0 x0 ＋x0－16 则 k＝ ＝ ， x x0－0 0 又∵k＝f′(x0)＝3x2 0＋1， 3 x0＋x0－16 2 ∴ ＝3x0＋1， x0
第一章导数及其应用 小结与复习
知识体系网络
1.导数的几何意义
函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义是曲线y＝
f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．也就是说，
曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率为
f′(x0)，相应的切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
2
1 于是 a＝－ ，b＝2， 2 1 2 3 则 f(x)＝－x － x ＋2x. 2 x＝－2 时，f(－2)＝2，即(－2,2)在曲线上． 又切线斜率为：k＝f′(x)＝－3x2－x＋2， f′(－2)＝－8， 所求切线方程为： y－2＝－8(x＋2)，即为 8x＋y＋14＝0.
(2)x变化时，f′(x)及f(x)的变化情况如下表：
2.利用导数研究函数的单调区间
应用导数求函数的单调区间的步骤： (1)求导数f′(x)； (2)解不等式f′(x)>0或f′(x)<0； (3)确定并指出函数的单调增区间、减区间． 特别要注意写单调区间时，区间之间用“和” 或“，”隔开，绝对不能用“∪”连结．
1 例 2：设函数 f(x)＝ (x＞0，且 x≠1)．求函数 xlnx f(x)的单调区间． lnx＋1 1 解： f′(x)＝－ 2 2 .令 f′(x)＝0， 则 x＝ ； x ln x e 1 令 f′(x)＞0，则 0＜x＜ ； e 1 令 f′(x)＜0，则 ＜ x＜ 1 或 x＞ 1. e
x f′ (x ) f (x ) 2 －2 (－2，－1) － ↘ －1 0 3 － 2 2 (－1， ) 3 ＋ ↗ 2 3 0 22 27 2 ( ，1) 3 － ↘ 1 1 2
3 则 f(x)在[－2,1]上的最大值为 2，最小值为－ . 2
4.利用导数解不等式恒成立问题
利用导数研究某些函数的单调性与最值，可
2．求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最大值、最小 值的方法与步骤： (1)求f(x)在(a，b)内的极值； (2) 将 (1) 求得的极值与 f(a) 、 f(b) 相比较，其中最 大的一个值为最大值，最小的一个值为最小值． 特别地: ①当f(x)在[a，b]上单调时，其最小值、最大值 在区间端点处取得； ②当f(x)在(a，b)内只有一个极值点时，若在这 一点处f(x)有极大(或极小)值，则可以断定f(x)在 该点处取得最大(或最小)值，这里(a，b)也可以 是(－∞，＋∞)．
以解决一些不等式证明及不等式恒成立问题，
如 利 用 “f(x) ＜ a 恒 成 立 ⇔ f(x)max ＜ a” 和
“f(x)＞a⇔f(x)min＞a”的思想解题．