高考数学(文理通用)600分冲刺大二轮优练：专题五 立体几何 第2讲

第一部分专题五第二讲
A组
1．(文)设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β.(A) A．若l⊥β，则α⊥βB．若α⊥β，则l⊥m
C．若l∥β，则α∥βD．若α∥β，则l∥m
[解析]选项A中，平面与平面垂直的判定，故正确；选项B中，当α⊥β时，l，m可以垂直，也可以平行，也可以异面；选项C中，l∥β时，α，β可以相交；选项D中，α∥β时，l，m也可以异面．故选A.
(理)设α，β，γ是三个互不重合的平面，m，n为两条不同的直线．给出下列命题：
①若n∥m，m⊂α，则n∥α；
②若α∥β，n⊄β，n∥α，则n∥β；
③若β⊥α，γ⊥α，则β∥γ；
④若n∥m，n⊥α，m⊥β，则α∥β.
其中真命题是(C)
A．①和②B．①和③
C．②和④D．③和④
[解析]若n∥m，m⊂α，则n∥α或n⊂α，即命题①不正确，排除A，B；若α∥β，n⊄β，n∥α，则n∥β，则命题②正确，排除D，故应选C.
2．如图，在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下列四个结论不成立的是(D)
A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面P AE
C．平面PDF⊥平面P AE D．平面PDE⊥平面ABC
[解析]∵D，F分别为AB，AC的中点，∴BC∥DF，
∵BC⊄平面PDF，∴BC∥平面PDF，故A正确．在正四面体中，∵E为BC中点，易知BC ⊥PE，BC⊥AE，∴BC⊥平面P AE，∵DF∥BC，∴DF⊥平面P AE，故B正确．∵DF⊥平面P AE，
DF⊂平面PDF，∴平面PDF⊥平面P AE，∴C正确，故选D.
3．已知E，F，G，H是空间四点，命题甲：E，F，G，H四点不共面，命题乙：直线EF 和GH不相交，则甲是乙成立的(B)
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
[解析]若E，F，G，H四点不共面，则直线EF和GH肯定不相交，但直线EF和GH 不相交，E，F，G，H四点可以共面，例如EF∥GH，故甲是乙成立的充分不必要条件．4．(文)关于直线a，b及平面α，β，下列命题中正确的是(C)
A．若a∥α，α∩β＝b，则a∥b B．若α⊥β，m∥α，则m⊥β
C．若a⊥α，a∥β，则α⊥βD．若a∥α，b⊥a，则b⊥α
[解析]A是错误的，因为a不一定在平面β内，所以a，b有可能是异面直线；B是错误的，若α⊥β，m∥α，则m与β可能平行，可能相交，也可能线在面内，故B错误；C是正确的，由直线与平面垂直的判断定理能得到C正确；D是错误的，直线与平面垂直，需直线与平面中的两条相交直线垂直．
(理)在正三棱柱ABC－A1B1C1中，|AB|＝2|BB1|，则AB1与BC1所成角的大小为(D) A．30°B．60°
C．75°D．90°
[解析]将正三棱柱ABC－A1B1C1补为四棱柱ABCD－A1B1C1D1，连接C1D，BD，则C1D ∥B1A，∠BC1D为所求角或其补角．设B1B＝2，则BC＝CD＝2，∠BCD＝120°，BD＝23，又因为BC1＝C1D＝6，所以∠BC1D＝90°.
5．已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝ 2.将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中(B)
A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直
B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直
C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直
D．对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直
[解析]①如图1，过A，C作BD的垂线AE，CF，∵AB与BC不相等，∴E与F不重合，在空间图2中，若AC⊥BD，
∵AC∩AE＝A，∴BD⊥平面ACE，∴BD⊥CE，这样在平面BCD内，过点C有两条直线
CE ，CF 都与BD 垂直矛盾，∴A 错．②若AB ⊥CD ，∵AB ⊥AD ，∴AB ⊥平面ACD ，∴AB ⊥AC .∵AB <BC ，∴存在这样的三角形ABC ，AB ⊥AC ，AB ＝AC ，
∴B 选项正确，∴选项D 错．③若AD ⊥BC ，又CD ⊥BC ，∴BC ⊥平面ACD ，∴BC ⊥AC .∵BC >AB ，这样的△ABC 不存在，∴C 错误．
6．已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，则下列四个命题： ①α∥β⇒l ⊥m ；②α⊥β⇒l ∥m ； ③l ∥m ⇒α⊥β；④l ⊥m ⇒α∥β. 其中正确命题的序号是__①③__.
[解析] 直线l ⊥平面α ，直线m ⊂平面β， 当α∥β有l ⊥m ，故①正确．
当α⊥β有l ∥m 或l 与m 异面或相交，故②不正确． 当l ∥m 有α⊥β，故③正确．
当l ⊥m 有α∥β或α与β相交，故④不正确． 综上可知①③正确．
7．在棱长为1的正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，异面直线A ′D 与AB ′所成角的大小是__π3
__.
[解析] 在正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，连接A ′D ，AB ′，B ′C ，如图所示：
则A ′B ′∥DC ，且A ′B ′＝DC ， 所以四边形A ′B ′CD 是平行四边形， 所以A ′D ∥B ′C ，
所以∠AB ′C 是异面直线A ′D 与AB ′所成的角，
连接AC ，则△AB ′C 是边长为2的等边三角形， 所以∠AB ′C ＝π
3
，
即异面直线A ′D 与AB ′所成角是π
3
.
8．设x ，y ，z 为空间不同的直线或不同的平面，且直线不在平面内，下列说法中能保证“若x ⊥z ，y ⊥z ，则x ∥y ”为真命题的序号是__①③⑤__.
①x 为直线，y ，z 为平面； ②x ，y ，z 都为平面； ③x ，y 为直线，z 为平面； ④x ，y ，z 都为直线； ⑤x ，y 为平面，z 为直线．
[解析] ①x ⊥平面z ，平面y ⊥平面z ， 所以x ∥平面y 或x ⊂平面y .
又因为x ⊄平面y ，故x ∥平面y ，①成立．
②x ，y ，z 均为平面，则x 可与y 相交，故②不成立． ③x ⊥平面z ，y ⊥平面z ，x ，y 为不同直线，故x ∥y ，③成立．
④x ，y ，z 均为直线，则x 与y 可平行，可异面，也可相交，故④不成立． ⑤z ⊥x ，z ⊥y ，z 为直线，x ，y 为平面，所以x ∥y ，⑤成立．
9．(文)(2018·全国卷Ⅰ，18)如图，在平行四边形ABCM 中，AB ＝AC ＝3，∠ACM ＝90°，以AC 为折痕将△ACM 折起，使点M 到达点D 的位置，且AB ⊥DA .
(1)证明：平面ACD ⊥平面ABC .
(2)Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且BP ＝DQ ＝2
3DA ，求三棱锥Q －ABP 的
体积．
[解析] (1)由已知可得，∠BAC ＝90°，则BA ⊥AC . 又BA ⊥AD ，AD ∩AC ＝A ，所以AB ⊥平面ACD . 又AB ⊂平面ABC ，
所以平面ACD ⊥平面ABC .
(2)由已知可得，DC ＝CM ＝AB ＝3，DA ＝3 2. 又BP ＝DQ ＝2
3
DA ，所以BP ＝2 2.
作QE ⊥AC ，垂足为E ，则QE 綊1
3DC ＝1.
由已知及(1)可得DC ⊥平面ABC ， 所以QE ⊥平面ABC ，
因此，三棱锥Q －ABP 的体积为V Q －ABP ＝13×QE ×S △ABP ＝13×1×1
2×3×22sin45°＝1.
(理)(2019·武汉调研)如图1，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝2，E 是CD 的中点，将△ADE 沿AE 折起，得到如图2所示的四棱锥D 1－ABCE ，其中平面D 1AE ⊥平面ABCE .
(1)证明：BE ⊥平面D 1AE ；
(2)设F 为CD 1的中点，在线段AB 上是否存在一点M ，使得MF ∥平面D 1AE ，若存在，求出AM
AB
的值；若不存在，请说明理由．
[解析] (1)证明：∵四边形ABCD 为矩形且AD ＝DE ＝EC ＝BC ＝2，∴∠AEB ＝90°， 即BE ⊥AE ，又平面D 1AE ⊥平面ABCE ， 平面D 1AE ∩平面ABCE ＝AE ， ∴BE ⊥平面D 1AE . (2)AM AB ＝1
4
，理由如下： 取D 1E 的中点L ，连接FL ，AL ， ∴FL ∥EC .
又EC ∥AB ，∴FL ∥AB ，且FL ＝1
4
AB ，
∴M ，F ，L ，A 四点共面， 若MF ∥平面AD 1E ，则MF ∥AL . ∴四边形AMFL 为平行四边形， ∴AM ＝FL ＝14AB ，即AM AB ＝1
4
.
B 组
1．已知α，β，γ是三个不同的平面，命题“α∥β，且α⊥γ⇒β⊥γ”是真命题，如果把α，β，γ中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题有( C )
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
[解析] 若α，β换成直线a ，b ，则命题化为“a ∥b ，且a ⊥γ⇒b ⊥γ”，此命题为真命题；若α，γ换为直线a ，b ，则命题化为“a ∥β，且a ⊥b ⇒b ⊥β”，此命题为假命题；若β，γ换为直线a ，b ，则命题化为“a ∥α，且b ⊥α⇒a ⊥b ”，此命题为真命题，故选C.
2．(文)如图，在三棱锥P －ABC 中，不能证明AP ⊥BC 的条件是( B )
A ．AP ⊥P
B ，AP ⊥P
C B ．AP ⊥PB ，BC ⊥PB
C ．平面BPC ⊥平面APC ，BC ⊥PC
D ．AP ⊥平面PBC
[解析] A 中，因为AP ⊥PB ，AP ⊥PC ，PB ∩PC ＝P ，所以AP ⊥平面PBC .
又BC ⊂平面PBC ，所以AP ⊥BC ，故A 正确；C 中，因为平面BPC ⊥平面APC ，平面BPC ∩平面APC ＝PC ，BC ⊥PC ，所以BC ⊥平面APC .又AP ⊂平面APC ，所以AP ⊥BC ，故C 正确；D 中，由A 知D 正确；B 中条件不能判断出AP ⊥BC ，故选B.
(理)如图，以等腰直角三角形ABC 的斜边BC 上的高AD 为折痕，把△ABD 和△ACD 折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：
①BD ⊥AC ；
②△BAC是等边三角形；
③三棱锥D－ABC是正三棱锥；
④平面ADC⊥平面ABC.
其中正确的结论是(B)
A．①②④B．①②③
C．②③④D．①③④
[解析]由题意知，BD⊥平面ADC，故BD⊥AC，①正确；AD为等腰直角三角形ABC 的斜边BC上的高，平面ABD⊥平面ACD，所以AB＝AC＝BC，△BAC是等边三角形，②正确；易知DA＝DB＝DC，结合②知③正确；由①知④不正确．故选B.
3．已知互不重合的直线a，b，互不重合的平面α，β，给出下列四个命题，错误的命题是(D)
A．若a∥α，a∥β，α∩β＝b，则a∥b
B．若α⊥β，a⊥α，b⊥β，则a⊥b
C．若α⊥β，α⊥γ，β∩γ＝a，则a⊥α
D．若α∥β，a∥α，则a∥β
[解析]A中，过直线a作平面γ分别与α，β交于m，n，则由线面平行的性质知a∥m∥n，所以m∥α，又由线面平行的性质知m∥b，所以a∥b，正确．B中，由a⊥α，b⊥β，知a，b垂直于两个平面的交线，则a，b所成的角等于二面角的大小，即为90°，所以a⊥b，正确．C 中，在α内取一点A，过A分别作直线m垂直于α，β的交线，直线n垂直于α，γ的交线，则由线面垂直的性质知m⊥β，n⊥γ，则m⊥a，n⊥a，由线面垂直的判定定理知a⊥α，正确．D 中，满足条件的a也可能在β内，故D错．
4．直三棱柱ABC－A1B1C1的直观图及三视图如图所示，D为AC的中点，则下列命题是假命题的是(D)
A．AB1∥平面BDC1
B．A1C⊥平面BDC1
C．直三棱柱的体积V＝4
D ．直三棱柱的外接球的表面积为43π
[解析] 如图，将直三棱柱ABC －A 1B 1C 1补形成正方体，易知A ，B ，C 都正确．故选D.
5．已知二面角的棱上有A ，B 两点，直线AC ，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB ，已知AB ＝4，AC ＝6，BD ＝8，CD ＝217，则该二面角的大小为( D )
A ．150°
B ．45°
C ．120°
D ．60°
[解析] 如图，AC ⊥AB ，BD ⊥AB ，过A 在平面ABD 内作AE ∥BD ，过D 作DE ∥AB ，连接CE ，所以DE ∥AB 且DE ⊥平面AEC ，∠CAE 即二面角的平面角，在Rt △DEC 中，CE ＝213，在△ACE 中，由余弦定理可得cos ∠CAE ＝CA 2＋AE 2－CE 22CA ×AE ＝12，所以∠CAE ＝60°，即所求二面
角的大小为60°.
6．在三棱锥C －ABD 中(如图)，△ABD 与△CBD 是全等的等腰直角三角形，O 为斜边BD 的中点，AB ＝4，二面角A －BD －C 的大小为60°，并给出下面结论：①AC ⊥BD ；②AD ⊥CO ；③△AOC 为正三角形；④cos ∠ADC ＝
3
2
.其中真命题的序号是__①③__.(填序号)
[解析] 对于①，因为△ABD 与△CBD 是全等的等腰直角三角形，O 为斜边BD 的中点，所以CO ⊥BD ，AO ⊥BD ，AO ∩OC ＝O ，所以BD ⊥平面AOC ，所以AC ⊥BD ，因此①正确；对于②，假设CO ⊥AD ，又CO ⊥BD ，可得CO ⊥平面ABD ，由①可得，∠AOC 是二面角A －BD －C 的平面角，这与已知二面角A －BD －C 为60°矛盾，因此不正确；对于③，由△ABD 与△CBD 是全等的等腰直角三角形，O 为斜边BD 的中点，所以OC ＝OA ，由①可得，∠AOC 是二面角A －BD －C 的平面角且为60°，所以△AOC 为正三角形，因此③正确；对于④，AB ＝4，
由③可得：AC ＝OA ＝22，AD ＝CD ＝4，所以cos ∠ADC ＝2×42－(22)22×42＝34≠3
2，因此不正
确，综上可得，只有①③正确．
7．如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，且底面各边相等，M 是PC 上的一动点，请你补充一个条件__①(或③)__，使平面MBD ⊥平面PCD .①DM ⊥PC ；②DM ⊥BM ；③BM ⊥PC ；④PM ＝MC (填写你认为是正确的条件对应的序号)．
[解析] 因为在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，且底面各边都相等，
M 是PC 上的一动点， 所以BD ⊥P A ，BD ⊥AC ，
因为P A ∩AC ＝A ，所以BD ⊥平面P AC ，所以BD ⊥PC . 所以当DM ⊥PC (或BM ⊥PC )时，即有PC ⊥平面MBD . 而PC ⊂平面PCD ，所以平面MBD ⊥平面PCD .
8．(2018·全国卷Ⅲ，19)如图，矩形ABCD 所在平面与半圆弧CD ︵ 所在平面垂直，M 是CD ︵
上异于C ，D 的点．
(1)证明：平面AMD ⊥平面BMC .
(2)在线段AM 上是否存在点P ，使得MC ∥平面PBD ？说明理由． [解析] (1)由题设知，平面CMD ⊥平面ABCD ， 交线为CD .
因为BC ⊥CD ，BC ⊂平面ABCD ，所以BC ⊥平面CMD ， 故BC ⊥DM .
因为M 为CD ︵
上异于C ，D 的点，且DC 为直径， 所以 DM ⊥CM .
又 BC ∩CM ＝C ，所以DM ⊥平面BMC . 而DM ⊂平面AMD ，故平面AMD ⊥平面BMC .
(2)存在，AM 的中点即为符合题意的点P .证明如下： 取AM 的中点P ，连接AC ，BD 交于点N ，连接PN . 因为ABCD 是矩形， 所以N 是AC 的中点．
在△ACM 中，点P ，N 分别是AM ，AC 的中点， 所以PN ∥MC .
又因为PN ⊂平面PBD ，MC ⊄平面PBD ， 所以MC ∥平面PBD ，
所以在线段AM 上存在点P ，即AM 的中点，使得MC ∥平面PBD .
9．如图，在几何体ABCDEF 中，底面ABCD 为矩形，EF ∥CD ，CD ⊥EA ，CD ＝2EF ＝2，ED ＝3，M 为棱FC 上一点，平面ADM 与棱FB 交于点N .
(1)求证：ED ⊥CD ； (2)求证：AD ∥MN ；
(3)若AD ⊥ED ，试问平面BCF 是否可能与平面ADMN 垂直？若能，求出FM
FC 的值；若不
能，说明理由．
[解析] (1)证明：因为四边形ABCD 为矩形， 所以CD ⊥AD .
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又因为CD ⊥EA ，EA ∩AD ＝A ，
所以CD ⊥平面EAD .
因为ED ⊂平面EAD ，
所以ED ⊥CD .
(2)证明：因为四边形ABCD 为矩形，所以AD ∥BC ，
又因为AD ⊄平面FBC ，BC ⊂平面FBC ，
所以AD ∥平面FBC .
又因为平面ADMN ∩平面FBC ＝MN ，
所以AD ∥MN .
(3)平面ADMN 与平面BCF 可以垂直．证明如下：
连接DF .因为AD ⊥ED ，AD ⊥CD ，ED ∩CD ＝D ，
所以AD ⊥平面CDEF .所以AD ⊥DM .
因为AD ∥MN ，所以DM ⊥MN .
因为平面ADMN ∩平面FBC ＝MN ，所以若使平面ADMN ⊥平面BCF ， 则DM ⊥平面BCF ，所以DM ⊥FC .
在梯形CDEF 中，因为EF ∥CD ，DE ⊥CD ，CD ＝2EF ＝2，
ED ＝3，所以DF ＝DC ＝2.
所以若使DM ⊥FC 成立，则M 为FC 的中点．
所以FM FC ＝12
.。