相似三角形经典大题(含答案)

相似三角形经典大题解析

1.如图，已知一个三角形纸片ABC ，B C 边的长为8，B C 边上的高为6，B ∠和C ∠都为锐角，M 为A B 一动点（点M 与点A B 、不重合），过点M 作M N B C ∥，交A C 于点N ，在A M N △中，设M N 的长为x ，M N 上的高为h ． （1）请你用含x 的代数式表示h ．

（2）将AMN △沿M N 折叠，使A M N △落在四边形B C N M 所在平面，设点A 落在平面的点为1A ，1A M N △与四边形B C N M 重叠部分的面积为y ，当x 为何值时，y 最大，最大值为多少？

【答案】解：（1）M N B C ∥

A M N A

B

C ∴△∽△ 68

h x ∴= 34

x h ∴=

（2）1AM N A M N △≌△

1A M N ∴△的边M N 上的高为h ，

①当点1A 落在四边形B C N M 内或B C 边上时， 1A M N y S =△=

2

11332

2

4

8

M N h x x x =

=

··

（04x <≤）

②当1A 落在四边形B C N M 外时，如下图(48)x <<，

设1A EF △的边E F 上的高为1h ， 则132662h h x =-=

-

11EF M N

A EF A M N ∴ ∥△∽△

11A M N ABC

A EF ABC ∴ △∽△△∽△

12

16A EF S h S ⎛⎫= ⎪⎝⎭

△△ABC

168242

A B C S =

⨯⨯= △ 2

2

3632241224

62EF

x S x x ⎛⎫

- ⎪∴==⨯=-+ ⎪

⎪⎝⎭

1△A 112

223

3912241224828A M N A EF y S S x x x x x ⎛⎫=-=

--+=-+- ⎪⎝⎭

△△ 所以 2

91224

(48)8

y x x x =-

+-<<

综上所述：当04x <≤时，2

38

y x =，取4x =，6y =最大

当48x <<时，2

912248

y x x =-+-，

取163

x =

，8y =最大

86>

∴当163

x =

时，y 最大，8y =最大

M

N

C

B

E

F

A

A 1

2．如图，抛物线经过(40)(10)(02)A B C -，，，，，三点． （1）求出抛物线的解析式；

（2）P 是抛物线上一动点，过P 作P M x ⊥轴，垂足为M ，是否存在P 点，使得以A ，P ，M 为顶点的三角形与O A C △相似？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；

【答案】解：（1） 该抛物线过点(02)C -，，∴可设该抛物线的解析式为2

2y ax bx =+-．

将(40)A ，，(10)B ，代入，

得1642020a b a b .+-=⎧⎨+-=⎩，解得12

52

a b .

⎧

=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴此抛物线的解析式为2

15222

y x x =-

+

-．

（2）存在．

如图，设P 点的横坐标为m ， 则P 点的纵坐标为2

1522

2

m m -+

-，

当14m <<时，

4A M m =-，2

15222

P M m m =-

+

-．

又90C O A P M A ∠=∠= °，

∴①当

21

A M A O P M

O C

==时，

A P M A C O △∽△，

即2

15

4222

2m m m ⎛⎫-=-

+

- ⎪⎝

⎭

． 解得1224m m ==，（舍去），(21)P ∴，． ②当

12

A M O C P M

O A

==时，A P M C A O △∽△，即2

152(4)22

2

m m m -=-

+

-．

解得14m =，25m =（均不合题意，舍去）

∴当14m <<时，(21)P ，

． 类似地可求出当4m >时，(52)P -，． 当1m <时，(314)P --，．

综上所述，符合条件的点P 为(21)，或(52)-，或(314)--，．

3．如图，已知直线128:33

l y x =

+

与直线2:216l y x =-+相交于点C l l 12，、分别交x 轴于

A B 、两点．矩形D E F G 的顶点D E 、分别在直线12l l 、上，顶点F G 、都在x 轴上，且

点G 与点B 重合．

（1）求A B C △的面积；

（2）求矩形D E F G 的边D E 与E F 的长；

（3）若矩形D E F G 从原点出发，沿x 轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动时间为(012)t t ≤≤秒，矩形D E F G 与A B C △重叠部分的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式，并写出相应的t 的取值范围．

【答案】（1）解：由

2803

3

x +

=，得4x A =-∴．点坐标为()40-，．

由2160x -+=，得8x B =∴．点坐标为()80，．

∴()8412AB =--=．