2021-2022学年广西南宁市高一下学期期末考试数学试题-附答案

2021-2022学年广西南宁市高一下学期期末考试数学试题
一、单选题
1．设，则（ ）
(i 1)i z -=||z =
A ．
B
C ．1
D 12
B
【分析】先由复数的运算求出，再求模长即可.
z
【详解】，则i i(i+1)11i i 1(i 1)(i 1)22z =
==---+||z ==故选：B.
2．设集合，
，则（ ）{
A x y =={}
0,1,2,3B =A B = A ．B ．
C ．
D ．
{}0{}0,1{
}1,2{}
0,1,2D
【分析】求出集合，再根据集合的交集运算即可解出．
A
【详解】因为，而，所以．{[]2,2A x y ===-{}0,1,2,3B =A B = {}0,1,2故选：D ．
3．在中，D 是AB 边上的中点，则=（ ）ABC CB
A ．
B ．
C ．
D ．
2CD CA + 2CD CA -
2CD CA -
2CD CA +
C
【分析】根据向量的加减法运算法则算出即可.
【详解】
()
222CB CA AB CA AD CA CD CA CD CA
-=+=+=+-= 故选：C
本题考查的是向量的加减法，较简单.
4．一个正三棱台的上、下底面边长分别为3和6，侧棱长为2，则其高为（ ）
A ．
B ．1
C D 12
B
【分析】将正三棱台补全为正三棱锥再做高，结合勾股定理求解即可
【详解】
如图，延长正三棱台的三条棱，交于点，因为,
,,AA BB CC '''P 6AB BC AC ===，则，作底面于，连接，
3A B B C A C ''''''===24PA PB PC AA '====PO ⊥ABC O BO
则，故，故正三棱台的高为
BO ==2PO ==ABC A B C '''-12PO =故选：B
5．甲、乙两个学习小组各有5名同学，两组同学某次考试的语文、数学成绩如下图所示，其中“+”表示甲组同学，“•”表示乙组同学．从这10名同学中任取1人，记事件A =“该生是甲组学生”，事件B =“该生数学成绩高于80分”，则=（ ）
()P AB
A ．
B ．
C ．
D ．1
2
2515110
C
【分析】根据图象，找出数学成绩高于分的甲组同学的人数求解即可.80【详解】解：事件AB =“该生是数学成绩高于80分的甲组同学”，根据图象可知，数学成绩高于分的甲组同学有人，
802所以从中任取一人，该生是数学成绩高于80分的甲组同学的概率是.
21
105P AB =
=（）故选：C.
6．把
的图象向左平移个单位，再把所有的点的横坐标变为原来()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪
⎭6π的2倍所得到的函数y ＝g (x )的解析式为（ ）
A ．g (x )＝sin x
B ．g (x )＝cos x
C ．
D ．()sin 3g x x π⎛
⎫=+ ⎪
⎝⎭()sin 6g x x π⎛
⎫=+ ⎪
⎝
⎭B
【分析】根据三角函数的图象变换即可求解.
【详解】解：把
的图象向左平移个单位，()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪
⎭6π可得函数，
sin 2cos 266y x x
ππ⎡⎤
⎛⎫=++= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦然后再把所有的点的横坐标变为原来的2倍，可得函数y ＝g (x )的解析式为g (x )＝cos x ，故选：B.
7．已知，，则（ ）
0.2
1.5a =0.2
0.8log 1.20.8b c ==，A ．B ．C ．D ．a c b >>c b a
>>a b c
>>c a b
>>A
【分析】根据指数函数和对数函数单调性和中间值比较大小
【详解】因为
，所以0.20.2
0.81.51,log 1.20,0.8(0,1),a b c =>=<=∈a c b >>故选：A
8．若过圆锥的轴的截面为边长为4的等边三角形，正方体
的顶点
SO 1111ABCD A B C D -，，，在圆锥底面上，，，，在圆锥侧面上，则该正方体的棱长
A B C D 1A 1B 1C 1D 为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．-12
-C
【分析】利用轴截面结合平行线的性质可求正方体的棱长.
【详解】根据题意过顶点和正方体上下两个平面的对角线作轴截面如下所示：
S
所以，，所以，
4SE SF EF ===60E F ∠=∠=︒2EO
=SO ==而四边形为矩形，设，所以，所以
11A ACC 1AA x =11AC A C ==11A O =
而，故，即
11
//A O EO 111A O SO EO SO
=111
A O SO AA EO SO -=
=解得x =-故选：C.二、多选题
9．如图，正方体ABCD­A 1B 1C 1D 1中，大小为的角有（ ）
90
A ．直线AD 与直线
B 1
C 1所成的角B ．直线AC 与直线B 1
D 1所成的角C ．直线B 1C 1与平面B 1CD 1所成的角D ．直线AC 1与平面B 1CD 1所成的角BD
【分析】利用平行关系即可判断出A ；利用线线平行和垂直关系即可判断出B ；利用线面角可以判断出线面垂直，从而判断出C ；利用线面垂直的性质定理和判定定理判断出D.
【详解】由于AD ∥B 1C 1，故直线AD 与直线B 1C 1所成的角为，则选项A 错误；0
B 1D 1∥BD ，且在正方形ABCD 中A
C ⊥B
D ，BD B 1D 1，则直线AC 与直线B 1D 1所成的//角为，则选项B 正确；若直线B 1C 1与面B 1CD 1所成的角为，则B 1C 1⊥面
90
90
B 1CD 1，明显不成立，则选项
C 错误；易知B 1
D 1⊥面ACC 1A 1，AC 1平面ACC 1A 1，则⊂B 1D 1⊥AC 1，同理B 1C ⊥AC 1，B 1D 1B 1D 1B 1，所以AC 1⊥面B 1CD 1，则选项D 正确. =故选：BD.10．已知数据①：
，，，…，的平均数为10，方差为5，数据
1x 2x 3x n x ②：，，，…，，则下列说法正确的有（ ）11
3
4x -2134x -3134x -134n x -A ．数据①与数据②的极差相同B ．数据②的平均数为1
2
-
C ．数据①与数据②的中位数不同
D ．数据②的标准差为5
4
BC
【分析】根据平均数，极差，中位数，标准差的定义确定两组数据的平均数，极差，中位数，标准差的关系，由此确定正确选项即可.
【详解】设数据的极差为，中位数为，则数据的极差为，中位数为，
m t 1
3
4m -134t -所以数据①与数据②的极差不同，中位数不同，故A 错误，C 正确；数据①：
，，，…，的平均数为10，方差为5，
1x 2x 3x n x
所以数据②的平均数为，方差为1110342⨯-=-
615=1651⨯故B 正确，D 错误，故选：BC ．结论点睛：若
，，，…，的平均数为，方差为，则，，
1x 2x 3x n x x 2s 1ax b +2ax b +，…，的平均数为，方差为．3ax b +n ax b +ax b +22a s 11．设，且，则( )0a b <<2a b +=A ．B ．C ．D ．
12b <<2
1
a b
->1
ab <12
3a b + AC
【分析】a ＝2－b 代入即可判断A ；0a b <<根据指数函数的单调性即可判断B ；
利用基本不等式
可求ab 的范围，从而可判断C ；2
()4a b ab +≤
利用和基本不等式可求
的范围，从而判断D.()121122a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12
a b +【详解】对于A ：，且，，解得，故A 正确；
0a b <<2a b +=02b b ∴<-<12b <<对于B ：，即，，故B 错误；
a b < 0a b -<0
221a b -∴<=对于C ：，且，，当且仅当时，等号成立，
0a b <<2a b +=2
()1
4a b ab +∴≤=1a b ==，故C 正确；
1ab ∴<对于D ，且，0a b << ，
2a b +=
，
()(121121211
12332222b a a b a b a b a b ⎛⎛⎫
⎛⎫
⎛⎫
∴+=++=++
+≥+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭
⎝
当且仅当
，即2b a
a b =2,4a b ==-
∵－3，∴，∴D 错误.
(132+0
<(1332+<故选：AC.
12．设函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，
()f x R (1)f x -(1)f x +(1,1]x ∈-，则下列结论正确的是（ ）
2()1f x x =-+A ．7324f ⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
B ．为奇函数(7)f x +
C ．在上为减函数
()f x (6,8)D ．方程仅有6个实数解()lg 0f x x +=ABD
【分析】利用函数奇偶性以及特值可以得到，选项A 正确；利用函数奇偶7324f ⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
性可以得到函数的周期性选项B 正确；利用函数奇偶性以及周期性得出函数图象可得选项C 错误；通过数形结合可选项D 正确.
【详解】对于选项A ：为偶函数，故，令
得：
(1)f x +(1)(1)f x f x +=-+5
2x =
，
753((1)(222f f f =-+=-又为奇函数，故，令
得：，(1)f x -(1)(1)f x f x -=---12x =311((1)()
222f f f -=--=--
其中，1131244f ⎛⎫
-=-+=
⎪⎝⎭
所以，1373()(242
2f f f ⎛⎫-=-
-⎪⎝⎭=-=故选项A 正确；
对于选项B ：因为为奇函数，所以关于
对称，
(1)f x -()f x ()1,0-又为偶函数，则关于对称，所以周期为，
(1)f x +()f x 1x =()f x 428⨯=故，所以，
()()71f x f x =+-()()()(7)(1)1187f x f x f x f x f x -+=--=--=--+=-+从而为奇函数，(7)f x +故选项B 正确；
对于选项C ：
在上单调递增，又关于对称，所以2
()1f x x =-+(1,0)x ∈-()f x ()1,0-在上单调递增，且周期为8，故在上单调递增，
()f x ()2,0-()f x ()f x (6,8)故选项C 错误；
对于选项D ：根据题目条件画出与的函数图象，如图所示：
()f x lg y x =-
其中单调递减且，所以两函数有6个交点，故方程
lg y x =-lg121-<-仅有6个实数解，
()lg 0f x x +=故选项D 正确.故选：ABD 三、填空题
13．设向量，且，则＝___________.
(,1),(1,2)a x x b =+= a b ⊥
x －23
【分析】由，得，列方程可求出的值a b ⊥
0a b ⋅= x 【详解】因为，且，(,1),(1,2)a x x b =+= a b ⊥ 所以，解得
，2(1)0a b x x ⋅=++= 23x =-
故23-
14．已知
，则___________.4cos 25πα⎛⎫
-=-
⎪⎝⎭cos 2=α7
25-
0.28
-【分析】利用诱导公式求出的值，再利用二倍角的余弦公式可求得结果.
sin α【详解】
，因此，.4cos sin 25παα⎛⎫-==- ⎪⎝⎭27cos 212sin 25αα=-=-故答案为.7
25
-
15．如图所示，已知正四面体中，分别为棱的中点，则异面直A BCD -,M N ,BC AD 线与所成角的余弦值为_________.
AM CN
23
【分析】连接取其中点，连接，则即为所求角或其补角，再利用BN P ,PM PA M
A P ∠余弦定理解三角形即可.
【详解】如图，连接取其中点，连接，
BN P ,PM PA
∵是中点，∴，
M BC //PM CN ∴异面直线与所成角就是（或其补角），
AM CN M A P ∠
设正四面体的棱长为1，则
AM CN ==
12MP CN ==
在中
，
ABP
△12BP BN =
=
，
222227
2cos 12116AP BA BP BA BP ABN =+-⋅∠=+-⨯︒=在中，
，
APM
△2
2
2
2
cos 23AM MP AP AMP AM MP
+-∠=
=
=⋅所以异面直线与所成的角的余弦值为.AM CN 2
3故23
16．在锐角△的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ,若，则的ABC 2cos b a a C -
=a
c 取值范围是______
．【分析】由正弦定理边角关系、和差角正弦公式可得，结合△为
sin sin()A C A =-ABC 锐角三角形，可得及角A 的范围，进而应用正弦定理边角关系即可求的范围.2A C =a
c 【详解】由题设，，而，sin sin 2sin cos B A A C -=()B A C π=-+所以，又
，
sin cos sin sin cos sin()A A C A C C A =-=-0,2A C π
<<
所以，且△为锐角三角形，则，可得，2A C =ABC 022032A A π
ππ⎧
<<⎪
⎪⎨
⎪<-<⎪
⎩64A ππ<<
而
.sin 1sin 2cos a A c C A ==∈故关键点点睛：应用正弦定理边角关系及锐角三角形性质，求角A 、C 的关系及A 的范围，最后由边角关系求范围.四、解答题
17．新冠肺炎疫情期间，广大医务工作者逆行出征，为保护人民生命健康做出了重大贡献，某医院首批支援人员中有2名医生，1名护士和2名志愿者，采用抽签的方式，若从这五名人员中随机选取两人参与医院的救治工作．(1)求选中1名医生和1名护士的概率；
(2)若从当地到支援地的三列火车正点到达的概率分别为0.8，0.7，0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响.求这三列火车恰好有两列正点到达的概率．
(1)15
(2)0.398
【分析】（1）利用列举法，先列出从这五名支援人员种随机选取2人的所有情况，再找出选中1名医生和1名护士的情况，然后利用古典概型的概率公式求解即可；（2）利用独立事件和互斥事件的概率公式求解即可.【详解】(1)将2名医生分别记为
，；1名护士记为B ；2名志愿者记为1A 2A 12
C C ，从这五名支援人员种随机选取2人在医院参与救治的所有的基本事件共10种，分别为：（
，，
()()()()()()1211112221,,,,,,,,,,,A A A B A C A C A B A C ()()221,,,A C B C ）
，
()()212,,,B C C C 设“选中1名医生和1名护士”为事件A ，事件A 包含的基本事件共2种，分别为
，
()()12,,,A B A B ，
21()105P A ∴=
=
即选中1名医生和1名护士的概率为；
1
5(2)解：用A ，B ，C 分别表示这三列火车正点到达的事件.
则P (A )＝0.8，P (B )＝0.7，P (C )＝0.9，所以P ()＝0.2，P ()＝0.3，P ()＝0.1.A B C 由题意得A ，B ，C 之间互相独立，所以恰好有两列正点到达的概率为P1＝P ()＋P ()＋P ()
ABC ABC ABC ＝P ()P (B )P (C )＋P (A )P ()P (C )＋P (A )P (B )P ()A B C ＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1＝0.398.
18．某高中高一新生共有1500名，其中男生800名，女生700名，为全面推进学校素质教育，推动学校体育运动发展，引导学生积极参与体育锻炼，促进学生健康成长.学校准备调查高一新生每周日常运动情况，学校通过问卷调查，采用按比例分层抽样的方法，收集了300名学生每周平均运动时间的样本数据（单位：小时），并根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为，，，，，.
[0,2](2,4](4,6](6,8](8,10](10,12]
(1)求这300个样本数据中女生人数，并估计样本数据的85%分位数；(2)求样本数据的平均数.(1)140人，26
3
(2)5.8
【分析】（1）根据分层抽样计算女生人数为，根据百分位数可得
700
3001500⨯，运算求解；（2）以每组区间中点为代表，
0.050.20.30.250.075(8)0.85x ++++-=结合加权平均数估计样本的平均数.
【详解】(1)这300个样本数据中女生人数为人，700
3001401500⨯=因为样本数据中在8小时以下的学生所占比例为
，0.050.20.30.250.80.85+++=<0.050.20.30.250.150.950.85
++++=>所以85%分位数为落在[8，10]，设为x
解得
0.050.20.30.250.075(8)0.85x ++++-=26
3
x =
(2)以每组区间中点为代表，估计样本的平均数为：
(10.02530.150.1570.12590.075110.025)2 5.8
⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=19．已知的内角、、所对的边分别为、、，.
ABC A B C a b c sin
sin 2A B
b c B +=(1)求角的大小;
C
(2)若，的周长.3c =ABC ABC (1)
3
C π
=
(2)8
【分析】（1）利用三角形内角和定理及诱导公式得到，再由正弦定理
cos
sin 2C
b c B =将边化角，最后利用二倍角公式计算可得；
（2）由面积公式求出，再由余弦定理求出
，即可求出，从而得解；
ab ()2
a b +a b +
【详解】(1)解：由已知，所以
，
A B C π++=sin
sin cos 222A B C C
b b b π+-==所以，由正弦定理得，
cos sin 2C b c B =sin cos sin sin 2C B C B
=因为、，则，，，
B ()0,
C π∈sin 0B >022C π<
<cos 02C
>所以，则
，cos sin 2C C =cos 2sin cos
222C C C =所以
，所以，则
；1
sin
22C =
26C π=3C π=
(2)解：由ABC 1sin 2ab C 又，所以
，
3C π
=
16
3ab =
在中，由余弦定理得，
ABC ()2
222222cos 3c a b ab C a b ab a b ab =+-=+-=+-因为，所以
，
3c =()2
16
933a b =+-⨯
所以
所以 ，2
()25a b +=5a b +=所以，即的周长为8.
8a b c ++=ABC 20．如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，点F 在侧棱
B 1B 上，且 ，.11B D A F ⊥11
11A C A B ⊥
求证：（1）直线DE 平面A 1C 1F ； （2）平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F.（1）详见解析（2）详见解析
【详解】试题分析：（1）利用线面平行判定定理证明线面平行，而线线平行的寻找往往结合平面几何的知识，如中位线的性质等；（2）利用面面垂直判定定理证明，即从线面垂直出发给予证明，而线面垂直的证明，往往需要多次利用线面垂直性质定理与判定定理.
试题解析：证明：（1）在直三棱柱
中，111ABC A B C -11A C AC ，
在三角形ABC 中，因为D ，E 分别为AB ，BC 的中点，
所以，于是，DE AC 11DE A C 又因为DE 平面
平面，⊄1111,A C F A C ⊂11A C F 所以直线DE//平面.
11A C F （2）在直三棱柱中，111ABC A B C -1111
AA A B C ⊥平面因为
平面，所以，11A C ⊂111A B C 111AA A C ⊥又因为，
111111*********,,A C A B AA ABB A A B ABB A A B AA A ⊥⊂⊂
⋂=，平面平面所以平面.
11A C ⊥11ABB A 因为
平面，所以.1B D ⊂11ABB A 111A C B D ⊥又因为，
1111111111111,,B D A F A C A C F A F A C F A C A F A ⊥⊂⊂
⋂=，平面平面所以
.
111B D A C F ⊥平面因为直线
，所以11B D B DE ⊂平面1B DE 平面11.
A C F ⊥平面直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系
【名师点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：（1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；（3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直；（4）证明面面垂直，需转化为证明线面垂直，进而转化为证明线线垂直.
21．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，
P ABCD -ABCD
，，，为的中点，，
120ABC ∠=︒1AB =4BC =PA =M BC PD DC ⊥.
PM MD ⊥
(1)证明.AB PM
⊥
(2)求平面与平面夹角的余弦值.PAD PDM (1)证明见解析
【分析】（1）首先求出，然后根据勾股定理可得，然后可得平面
DM DM DC ⊥DC ⊥，然后可得，然后可证明；
PDM DC PM ⊥（2）平面，取的中点，连接，则，，两两垂直，PM ⊥ABCD AD E ME ME DM PM 以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，然后利用向量求解即可.M M xyz -【详解】(1)证明：在中，，，，由余弦定理可得
DCM △1DC =2CM =60DCM ∠=︒
，
DM 所以，所以.
222
DM DC CM +=DM DC ⊥由题意，且，所以平面，DC PD ⊥PD DM D ⋂=DC ⊥PDM 而平面，所以，又，所以.PM ⊂PDM DC PM ⊥AB DC ∥AB PM ⊥(2)由，，而与相交，所以平面，PM MD ⊥AB PM ⊥AB DM PM ⊥ABCD 因为
.
AM =PM =如图，取的中点，连接，则，，两两垂直，
AD E ME ME DM PM 以点为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，则，
M M
xyz -(0,0,P
，，
(
)
2,0
A )D
所以
，
.
2,AP =
-
(
)2,0
AD =-
由（1）得平面，所以平面的一个法向量.
CD ⊥PDM PDM ()
0,1,0m =
设平面的法向量为
，
PAD ()
,,n x y z =
则，即00⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
AP n
AD
n 20,
20,y y -+=-=⎪⎩令，则，
，1x
=y
=z =n ⎛= ⎝
则
，
co s ,n m =
=
所以平面与平面PAD PDM
22．如图，扇形OMN ，A 为弧MN 上一动点，B 为半径上
3π
一点且满足
.23OBA π
∠=
(1)若，求AB 的长；1OB =(2)求△ABM 面积的最大值.(1)1；
【分析】(1)在△OAB 中，利用余弦定理即可求AB ；(2)由题可知AB ∥OM ，则
，设，，在中利用余弦定理
MAB OAB S S = OB x =AB y =OAB
和基本不等式求出xy 的最大值，再由
即可求面积最大值.
OAB S xy =
【详解】(1)在△OAB 中，由余弦定理得，，
222
2cos OA OB AB OB AB OBA ∠=+-⋅⋅即，即，即，213122AB AB ⎛⎫
=+-⋅⋅- ⎪
⎝⎭220AB AB +-=()()210AB AB +-=∴；
1AB =
(2)
，，，∥，3MOB π
∠=
23OBA π∠=MOB OBA ∠∠π∴+=OM ∴AB ，
MAB OAB S S ∴= 设，，
OB x =AB y =则在中，由余弦定理得，OAB 222
,2cos OA OB AB OB AB OBA ∠=+-⋅⋅即
，当且仅当时取等号，22
321x y xy xy xy xy =+++⇒ 1x y ==
∴
时取等号.
11sin 22OAB S OB AB OBA x y xy ∠=
⋅⋅⋅=⋅⋅= 1x y ==
∴△ABM。