安徽师大附中2019-2020学年高二上学期期中考查数学(文)试题

安徽师范大学附属中学2019-2020期中考查
高二数学试卷（文科）
命题教师： 审题教师：
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若直线的倾斜角为
34
π
，则该直线的斜率为（ ） A ．
22 B ．1
C ．2
2-
D ．1-
2．若点()1,a 到直线10x y -+=
的距离是2
，则实数a 的值为（ ） A ．1-
B ．5
C ．1-或5
D ．3-或3
3．若三直线123:10,:0,:1l ax y l x y l x y -+=+=-=经过同一个点，则a =（ ） A ．1 B ．1- C ．3 D ．3-
4．如图，一圆锥形物体的母线长为4，其侧面积为4π，则这个圆锥的体积为（ ） A
．
3
B
C
D
5．某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个 数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 6．过点()1,2A -作直线l ，使它在两坐标轴上的截距相等，则直线l 有 （ ） A ．1条 B ．2条
C ．3条
D ．4条
7．已知三棱锥P ABC -中，,,PA PB PC 两两垂直，且1PA PB PC ===，则三棱锥
P ABC -外接球的表面积为（ ）
A ．π
B
C ．2π
D ．3π
8．已知点A (2,-3)，B (-3,-2)直线l 过点P (1,1)，且与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围为（ ）
A ．3
4
k ≥
或4k ≤- B ．34k ≥或14
k ≤- C ．4
3
4≤≤-k
D ．
44
3
≤≤k 9．已知b a 、为不重合的直线，α为平面，下列命题：（1）若//,//a b a α，则//b α；
（第4题图）
（第5题图）
（2）若//a α，b α⊂，则//a b ；（3）若,//a b b ⊥α，则a α⊥；（4）若a ⊥α,b a ⊥，则//b α，其中正确的有（ ）个 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
10．已知直线a 1x ＋b 1y ＋1＝0和直线a 2x ＋b 2y ＋1＝0都过点A (2,1)，则过点P 1(a 1,b 1)和点P 2(a 2,b 2)的直线方程是（ ）
A ．2x ＋y －1＝0
B ．2x ＋y ＋1＝0
C ．2x －y ＋1＝0
D ．x ＋2y ＋1＝0
11．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，动点E 在线段11A C 上， F 、M 分别是AD 、CD 的中点，则下列结论中错误．．的是（ ） A ．11//FM AC B ．BM ⊥平面1CC F
C ．存在点E ，使得平面BEF //平面11CC
D D D ．三棱锥B CEF -的体积为定值
12．如图所示，在棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中，点F E ,分别是棱1,CC BC 的中点，P 是侧面11B BCC 内一点，若//1P A 平面AEF ，则线段P A 1长度的取值范围为（ ） A ．⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡25,
1 B ．⎥⎦⎤
⎢
⎣⎡25,4
23
C ．⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡2,25 D ．]3,2[
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在答题卡的相应位置. 13．过点)3,2(A 且垂直于直线052=-+y x 的直线方程为 ． 14．底面边长6，侧面为等腰直角三角形的正三棱锥的高为 ． 15．已知动点,A B 分别在x 轴和直线y x =上，C 为定点()2,1，则ABC ∆周长的最小值为 ．
16．已知三棱锥ABC S -的所有顶点都在球O 的球面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2=SC ，则此棱锥的体积为 ．
三、解答题：本大题共5小题，共48分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本题满分8分）已知直线06:1=++my x l ，023)2(:2=++-m y x m l ． (1)若21l l ⊥，求实数m 的值； (2)若21//l l ，求实数m 的值．
（第11题图）
（第12题图）
18．（本题满分8分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，PA ⊥底面ABCD ,且P A=AB ．
（1）求证：BD ⊥平面P AC ；
（2）求异面直线BC 与PD 所成角的大小．
19．（本题满分10分）已知直线l ：kx -y +1+2k =0(k ∈R) (1)证明：直线l 过定点；
(2)若直线l 不经过第四象限，求实数k 的取值范围；
(3)若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设△AOB 的面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程．
P C B D
A
20．（本题满分10分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，N M 、分别为棱11B A AC 、
的中点，且BC AB =．
（1）求证：平面⊥BMN 平面11A ACC ； （2）求证：MN ∥平面11B BCC ．
21．（本题满分12分）如图，ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD ，AF ⊥平面ABCD ，33DE AF ==．
（1）证明：平面//ABF 平面DCE ；
（2）在DE 上是否存在一点G ，使平面FBG 将几何体ABCDEF 分成上下两部分的体积比为3:11？若存在，求出点G 的位置；若不 存在，请说明理由．
安师大附中2019～2020学年度第一学期期中考查
高二数学（文科）参考答案
一、 选择题（每题3分，共36分）
1~5：DCDAC 6~10：BDAAB 11~12：CB
二、填空题（每题4分，共16分）
13．x －2y ＋4＝0 14 15 16．
6
2 三、解答题：本大题共5小题，共48分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内. 17．【解析】
（1）∵直线l 1：x +my +6＝0，l 2：（m ﹣2）x +3y +2m ＝0，
由l 1⊥l 2 ，可得 1×（m ﹣2）+m ×3＝0，解得．…………………………………… 4分
（2）由题意可知m 不等于0,由l 1∥l 2 可得6
2312m
m m ≠
=-，解得 m ＝﹣1．……… 8分 18．【解析】
（1）证明：∵PA ABCD ⊥平面，BD ABCD ⊂平面，PA BD ∴⊥， …………… 1分 又ABCD 为正方形，BD AC ∴⊥， ……………………………………………………… 2分 而A AC PA = ， BD PAC ∴⊥平面；………………………………………………… 4分 (2)解：∵ABCD 为正方形，BC ∴∥AD ，
PDA ∴∠为异面直线BC 与AD 所成的角， …………………………………………… 6分 由已知可知，△PDA 为直角三角形，又PA AB =，
∵PA AD =， 45PDA ∴∠=︒，∴异面直线BC 与AD 所成的角为45º． ………… 8分 19．【解析】
(1) 因为直线l :kx -y +1+2k =0(k ∈R )⇔ y -1=k (x +2)，所以直线l 过定点(-2,1)； ……… 2分 (2) 由于直线l 恒过定点（-2,1），画出图形，知： 要使直线l 不经过第四象限必须且只需0≥k ，
故k ∈[0, ∞+)；……………………………………………………… 4分 (3)由直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B 知：k >0， 由直线l :kx -y +1+2k =0中，令,1
20k x y -
-=⇒=则)0,12(k
A --， 再令120+=⇒=k y x ，则)12,0(+k
B ，…………………………………………… 6分
所以有：()2
212k 11441111(44)842222
k k s k k k k +++=⋅=⋅=++≥⨯=（（当且仅当
21
=k 时，
取等号），…………………………………………………………………………………… 9分 所以，S 的最小值为4，此时l 的方程为：x -2y +4=0．………………………………… 10分 20．【解析】 (1)证明：因为M 为棱AC 的中点，且BC AB =，所以AC BM ⊥，……………… 1分 因为111C B A ABC -是直三棱柱，所以⊥1AA 平面ABC ，
因为⊂BM 平面ABC ，所以BM AA ⊥1， …………………………………………… 3分 又⊂1AA AC 、平面11A ACC ，且A AA AC =1 ，所以⊥BM 平面11A ACC ，
因为⊂BM 平面BMN ，所以平面⊥BMN 平面11A ACC ；…………………………… 5分 (2)取BC 的中点P ，连接P B 1和MP ，
因为P M 、为棱BC AC 、的中点，所以AB MP //，且AB MP 2
1
=，…………… 7分 因为111C B A ABC -是棱柱，所以1111,//B A AB B A AB =， 因为N 为棱11B A 的中点，所以BA N B //1，且BA N B 2
1
1=
， 所以MP N B //1，且MP N B =1，所以P MNB 1是平行四边形，
所以1//PB MN ，………………………………………………………………………… 9分 又因为⊄MN 平面11B BCC ，⊂1PB 平面11B BCC ，
所以//MN 平面11B BCC ．……………………………………………………………… 10分 21．【解析】
（1）∵DE ⊥平面ABCD ，AF ⊥平面ABCD ，
∴//DE AF ，∴//AF 平面DCE ，………………………………………………… 2分 ∵ABCD 是正方形，//AB CD ，∴//AB 平面DCE ，…………………………… 4分 ∵AB AF A ⋂=，AB ⊂平面ABF ，AF ⊂平面ABF ，
∴平面//ABF 平面DCE ．…………………………………………………………… 5分 （2）假设存在一点G ，过G 作//MG BF 交EC 于M ，连接,BG BM ，
()133113321
3332322
ABCDEF B ADEF B CDE
V V V --+⨯⨯=+=⨯⨯+⨯⨯=，……………… 7分 设EG t =，则2139
2144
GFBME B EFG B EGM V V V --=+=⨯=， ……………………………9分
设M 到ED 的距离为h ，则
331h EM t EC ==-，32h t =，234EGM S t ∆= ∴213139
3334324
t t ⨯⨯+⨯⨯=，解得1t =， 即存在点G 且1EG =满足条件． ……………………………………………………… 12分。