江西省新余高二下学期第一次月考数学(文零班)试卷 有答案

江西省新余高二下学期第一次月考数学（文零班）试卷
考试时间：120分钟
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1. 抛物线的焦点坐标是（B ） A ．)41
,0(
B ． )8
1,0(
C ．)0,2
1
(
D ．)0,4
1(
2.若p 是真命题，q 是假命题，则（D ）
A ．q p 是真命题
B ．q p 是假命题
C ．p ⌝ 是真命题
D ．q ⌝是真命题 3.物体自由落体运动方程为221)(gt t s =，若s m g t s t s t 8.9)
1()1(lim 0
==∆-∆+→∆，那么下 面说法正确的是（C ）
A ．s m 8.9是s 1~0这段时间内的平均速度
B ．s m 8.9是从s 1到s t )1(∆+这段时间内的速度
C ．s m 8.9 是物体在s t 1=这一时刻的速度
D ．s
m 8.9是物体从s 1到s t )1(∆+这段时间内的平均速度
4.设θ是ABC ∆的一个内角，且5
1cos sin =
+θθ，则1cos sin 2
2=+θθy x 表示（C ） A ．焦点在x 轴上的椭圆 B ．焦点在y 轴上的椭圆 C ．焦点在x 轴上的双曲线 D ．焦点在y 轴上的双曲线
5.过双曲线)0,0(182
2
2>>=-b a b y x 上任意一点P ，作与实轴平行的直线，交两渐近线M 、 N 两点，若22b PN PM =⋅，则b 为（B ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
6.设+∈N n ,曲线)1(x x y n
-=在2=x 处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则4a 为（A ） A ．80 B ．32 C ．192 D ．256
7．已知圆36)2(22
=++y x 的圆心为M ，设A 为圆上任一点，)0,2(N ，线段AN 的垂 直平分线交MA 于点P ，则动点P 的轨迹是(B )． A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物 8．下列有关命题的说法正确的是（Ｄ ）
A ．命题“若1,12
==x x 则”的否命题为：“若1,12
≠=x x 则”. B ．“1-=x ”是“0652=--x x ”的必要不充分条件.
C ．命题“01,2
<-+∈∃x x R x 使得”的否定是：“01,2
>-+∈∀x x R x 均有”. D ．命题“若y x y x sin sin ,==则”的逆否命题为真命题.
9.设12,F F 是双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的两个焦点, P 是C 上一点,若
126,PF PF a +=且12PF F ∆的最小内角为30,则C 的离心率为(C )
B. D.
3
10.如图，)0,0(,1:22
2221>>=-b a b
y a x C F F 是双曲线、的左右焦
点，过1F 的直线与的左、右两支分别交于A B ,两点。

若2ABF ∆为等边三角形，则双曲线的渐近线方程为（ B ）
A. x y 15±=
B. x y 6±=
C. x y 3
3
±
= D. x y 2±= 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11. 已知曲线2
x y =，则过点)5,3(A 的切线方程为____________ （答案：251012---=x y x 或）
12. 与曲线
1492422=+y x 共焦点，且与曲线164362
2=-y x 共渐近线的双曲线方程为___ __. （答案：19
162
2=-x y ） 13.)1(2)('
3xf x x f +=，则[]
)0('f f = .（答案：180-）
14. 已知21,F F 为椭圆焦点，在椭圆上满足21PF F ∠为直角的P 点仅有两个，则离心率e 为 _.
（答案：
2
2） 15.定义在区间],[b a 上的函数)(x f y =，)(x f '是函数)(x f 的导数，如果],[b a ∈∃ξ，使得))(()()(a b f a f b f -'=-ξ，则称ξ为],[b a 上的“中值点”.下列函数：
①,12)(+=x x f ②,1)(2
+-=x x x f ③),1ln()(+=x x f ④[]2,2,)2
1()(3-∈-=x x x f
其中在区间上的“中值点”多于一个的函数是 （请写出你认为正确的所有结论的序号）.（答案：①④）
三、问答题（本大题共6题，共75分，解答请写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16.（本小题满分12分）
设命题2
:,220p x R x ax a ∃∈++-=使；命题q ：不等式0222
>+-ax ax 对任意
x R ∈恒成立．若p ⌝为真，且p 或q 为真，求a 的取值范围．
【解答：由命题p ，得21a a ≤-≥或， 对于命题q ，因x R ∈，0222
>+-ax ax 恒成立，
所以22800
a a a ⎧∆=-<⎨>⎩或0a =,即04a ≤<. 由题意知p 为假命题，q 为真命题，
2101
04a a a -<<⎧∴⇒≤<⎨≤<⎩
，a ∴的取值范围为[0,1)】 17.（本小题满分12分）
有一次姚明投篮时，测得投篮的轨迹是抛物线，如图所示，抛物线最高点离地面距离4m,篮筐B 高为3m ，篮筐中心离最高点的水平距离为2m,求投中时抛物线的方程？
解：如图建立直角坐标系，设投中时抛物线的方程为()022
>-=p py x ，又点)1,2(-B ZAI 抛物线上，得2=p ，所以投中时抛物线的方程为.42
y x -=
18.(本小题12分)
已知与抛物线y x 42
=有相同的焦点的椭圆)0(1:22
22>>=+b a b
y a x E 的上下顶点分别为
)2,0(),2,0(-B A ，
过)1,0(的直线与椭圆E 交于N M ,两点，与抛物线交于D C ,两点，过D C ,分别作抛物线的两切线21,l l 。

⑴求椭圆E 的方程并证明21l l ⊥ ⑵当2=MN k 时求AMN ∆面积。

解：（1）由已知1,2==c a ，所以3=
b
所有椭圆14
3:2
2=+y x E 显然直线的斜率存在，设直线1:+=kx y l ，联立方程得：
0441
422=--⇒⎩⎨
⎧+==kx x kx y y
x ，设),(),,(2221y x D y x C 则2121,2121x k x k l l ==，所以141
2121==∙x x k k l l ，所以21l l ⊥
⑵,096)43(143
1222
2=-++⇒⎪⎩⎪
⎨⎧=++=kx x k y x kx y 设()4433,),,(y x N y x M 16
9
,434343-=-=+x x x x
4
10
34)(1432432=
-++=x x x x k MN 点)2,0(A 到直线012:=+-y x l MN 的距离为5
5=d 所以8
2321=∙=
∆d MN S AMN 19.（本小题满分13分）
设函数,2)(2
3
a bx ax x x f +++=23)(2
+-=x x x g ，其中b a R x ,,∈为常数，已知曲线)(x f y =与)(x g y =在点)0,2(处有相同的切线l . （1）求b a ,的值，并写出切线l 的方程；
（2）若方程mx x g x f =+)()(有三个互不相等的实根21,,0x x ，其中21x x <，且对任意的],[21x x x ∈，)1()()(-<+x m x g x f 恒成立，求实数m 的取值范围.
解：（1）()(),32,43/2/
-=++=x x g b ax x x f
由于曲线()x f y =与)(x g y =在()0,2处有相同的切线，故有
()12)2(,0)2()2(//====g f g f
⎩⎨
⎧=++=+++∴1
812288b a o
a b a 解得5,2=-=b a ，所以切线02:=--y x l （2）由（1）得()()x x x x g x f 2323+-=+，依题意得，方程()0232
=-+-m x x x 有
三个互不相等的实根0，21,x x ，故21,x x 是方程0232
=-+-m x x 的两个相异非零根，
所以2,4
1
02,0)2(49≠->⇔≠->--=∆m m m m
又对任意的[]()())1(,,21-<+∈x m x g x f x x x 恒成立，特别地，取1x x =时，()()m mx x g x f -<-+121成立，即00<⇒-<m m ，
由韦达定理知，,02,032121>-=>=+m x x x x 故210x x << 对任意的[],,21x x x ∈有,0.0,012>≥-≤-x x x x x 则()()()()021≤--=-+x x x x x mx x g x f 。

又()()0111=-+mx x g x f 。

所以函数在[]21,x x x ∈上的最大值为0，于是当0<m 时对
任意的[]()()()1,,21-<+∈x m x g x f x x x 恒成立。

综上，⎪⎭
⎫
⎝⎛-∈0,41m
20.（本小题满分14分）
如图，设椭圆C :)0(122
22>>=+b a b
y a x 的左、右焦点分别为21,F F ，短轴的两个端点分
别为B A ,,且满足||||2211F F F F -=+，椭圆C 经过点)1,2(， （1）求椭圆C 的标准方程；
（2）设过点)0,3
2
(M 的动直线l 与椭圆C 相交于Q P ,两点，问：在x 轴的正半轴上是否存在
一个定点T ，使得无论直线l 如何转动，以PQ 为直径的圆恒过定点T ？若存在，求出点T 的
坐标；若不存在，请说明理由.
解答：（ 1）设椭圆的半焦距为)0(>c c ，由||||2211F F F F -=+得c b 22=，
即c b =，得2
2222b c b a =+=；因为椭圆C 经过点)1,2(,所以
11222
2=+b b ，得4,22
2
==a b ，所以椭圆C 的标准方程1242
2=+y x
（2）当直线l 与x 轴垂直时，将32=x 代入到椭圆C 的标准方程中得34±=y ，又23
2
34=+，
所以存在点)0,2(T 满足条件
当直线l 与x 轴不垂直时，设其斜率为k ，下面证明无论k 取何值，)0,2(T 满足条件，设
),(),,(2211y x Q y x P ，由题意l 的方程为)3
2
(-=x k y ，代入椭圆C 的方程中消去y ，得
,049838)21(2222=-+-+k x k x k 得22212221214
98,2138k
k x x k k x x +-=⋅+=+，则0
49
4
))(322()1(),2(),2(22122122211=++++-+=--⋅--=⋅k x x k x x k y x y x 所以无论k 为何值都有,0=∙T Q T P
即以PQ 为直径的圆恒过定点)0,2(T . 21.已知函数1ln )(+-=ax x x f (a >0)
（1）若2=x 是函数)(x f 的极值点，求实数a 的值。

（2）若存在0x >0，使)()()(00a f x f a x f +=+，求a 的取值范围。

（3）在（2）的条件下，当a 取最小整数时，求)(x f 的单调区间，并证明不等式： )()321()1(2*-∈≤⨯⨯⨯⨯N n e n n n
解：(1) a x
x f -=1
)(
)(2x f x 是= 的极值点 2,0)2(=∴=∴a f
(2)由已知可得01ln ln )ln(=---+a x a x 有解
即1
-=ae a
x >0
a >0 a ∴>e
1
(3)由(2)知，a 的最小整数为1 1ln )(+-=∴x x x f
x
x x x f 1
11)(--
=-='
当0<x <1时)(x f '>0 )(x f 递增 当x >1时)(x f '<0 )(x f 递减
)(x f ∴的递增区间为(0，1)，递减区间为(1，+∞) x ∴>0时)(x f ≤)1(f 01ln )(≤+-=∴n n n f 即1ln -≤n n
)1(210ln 2ln 1ln -++++≤+++∴n n
2)
1()21ln(-≤
⨯⨯⨯∴n n n 2
)1(21-≤⨯⨯⨯∴n n e
n )()321()
1(2*-∈≤⨯⨯⨯⨯∴N n e
n n n。