2021-8-5 函数奇偶性、周期性+指数函数性

一、函数的奇偶性与周期性
1.函数的奇偶性 奇偶性 定义
图象特点 奇函数
设函数y ＝f (x )的定义域为D ，如果对D 内的任意一个x ，都有－x ∈D ，且f (－x )＝－f (x )，则这个函数叫做奇函数
关于原点对称
偶函数 设函数y ＝g (x )的定义域为D ，如果对D 内的任意一个x ，都有－x ∈D ，且g (－x )＝g (x )，则这个函数叫做偶函数
关于y 轴对称
2.函数的周期性
(1)周期函数：对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期.
(2)最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期. [微点提醒]
1.(1)如果一个奇函数f (x )在原点处有定义，即f (0)有意义，那么一定有f (0)＝0. (2)如果函数f (x )是偶函数，那么f (x )＝f (|x |).
2.奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.
3.函数周期性常用结论
对f (x )定义域内任一自变量的值x ： (1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a (a >0).
(2)若f (x ＋a )＝1
f （x ）
，则T ＝2a (a >0).
(3)若f (x ＋a )＝－
1
f （x ）
，则T ＝2a (a >0). 4.对称性的三个常用结论
(1)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称.
(2)若对于R 上的任意x 都有f (2a －x )＝f (x )或f (－x )＝f (2a ＋x )，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称.
(3)若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，则函数y ＝f (x )关于点(b ，0)中心对称.
知识梳理
函数奇偶性、周期性+指数函数
考点一 判断函数的奇偶性
【典例1-1】下列四个函数中既是奇函数，又是增函数的是（ ） A ．()ln x
f x x
=
B ．32()f x x x =+
C ．()||f x x x =
- D ．)
()lg
f x x =-
【典例1-2】已知函数()f x 为R 上的奇函数，当0x >时，()f x x =-；若0.250.3a -=，0.25log 0.3b =，0.3log 2.5c =，则（ ）
A ．()()()f b f a f c <<
B ．()()()f c f b f a <<
C ．()()()f c f a f b <<
D ．()()()f a f b f c <<
【跟踪训练】
【跟踪训练1】偶函数()f x 满足11()()22f x f x -=+，且在7,42x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，2()log 1f x x =-，则
1(2)f --=（ ） A ．2log 72-
B ．1
C ．2log 32-
D ．2log 71-
【跟踪训练2】设()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2
2()log (1)1f x x ax a =++-+(a 为
常数)，则不等式(35)2f x +>-的解集为（ ） A ．(),1-∞-
B ．()1,+-∞
C ．(),2-∞-
D ．()2,+-∞
【跟踪训练3】设21
()log (
1)f x x a
=++是奇函数，若函数()g x 图象与函数()f x 图象关于直线y x =对称，则()g x 的值域为（ ）
A ．11
(,)(,)22
-∞-+∞
B ．11
(,)22
-
C ．(,2)(2,)-∞-+∞
D ．(2,2)-
经典例题剖析
规律方法
判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：
(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； (2)判断f (x )与f (－x )是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f (x )＋f (－x )＝0(奇函数)或f (x )－f (－x )＝0(偶函数))是否成立.
考点二 函数的周期性及其应用
【典例2-1】已知函数()f x 的定义域为R ，且满足()()()()2f x y f x y f x f y ++-=，且
122f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭，()00f ≠，则()2021f =（ ）． A ．2021
B ．1
C ．0
D ．1-
【典例2-2】已知函数()f x 的定义域为R ，()2f x +为偶函数，()21f x +为奇函数，则（ ）
A ．102f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭
B ．()10f -=
C ．()20f =
D ．()40f =
【跟踪训练】
【跟踪训练1】已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，满足()()2f x f x +=，当[]0,1x ∈时，
()π
cos
2
f x x =，则函数()y f x x =-的零点个数是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
【跟踪训练2】已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足()(1)f x f x =-，则
(2018)(2019)(2020)f f f ++=（ ）
A ．1-
B ．0
C ．1
D ．2
【跟踪训练3】已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x =-．当12x ≤≤时，
()()2log 7f x x =+，则()2021f =（ ） A ．3
B ．3-
C ．5-
D ．5
规律方法
1.根据函数的周期性和奇偶性求给定区间上的函数值或解析式时，应根据周期性或奇偶性，由待求区间转化到已知区间.
2.若f (x ＋a )＝－f (x )(a 是常数，且a ≠0)，则2a 为函数f (x )的一个周期.第(1)题法二是利用周期性构造一个特殊函数，优化了解题过程.
考点三 函数性质的综合运用
【典例3-1】已知某函数的部分图象大致如图所示，则下列函数中最合适的函数是（ ）
A ．()()
sin x x
f x e e -=+ B ．()()
sin x x
f x e e -=- C ．()()cos x x
f x e e -=-
D ．()()
cos x x
f x e e -=+
【典例3-2】函数()2cos x x x
f x
-=的部分图象大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【跟踪训练】
【跟踪训练1】已知()y f x =为奇函数且对任意x ∈R ，()()2f x f x +=-，若当[]0,1x ∈时，
()()2log a f x x =+，则()2021f =（ ） A ．1-
B ．0
C ．1
D ．2
【跟踪训练2】已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，满足()()2f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，
()()2log 1f x x =+，则函数()3y f x x =-的零点个数是（ ） A ．2 B ．3
C ．4
D ．5
规律方法
周期性与奇偶性结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.周期性、奇偶性与单调性结合.解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.
[方法技巧]
1.判断函数的奇偶性，首先应该判断函数定义域是否关于原点对称.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件.
2.利用函数奇偶性可以解决以下问题：
(1)求函数值；(2)求解析式；(3)求函数解析式中参数的值；(4)画函数图象，确定函数单调性. 3.在解决具体问题时，要注意结论“若T 是函数的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是函数的周期”的应用.
[易错防范]
1.f (0)＝0既不是f (x )是奇函数的充分条件，也不是必要条件.
2.函数f (x )满足的关系f (a ＋x )＝f (b －x )表明的是函数图象的对称性，函数f (x )满足的关系f (a ＋x )＝f (b ＋x )(a ≠b )表明的是函数的周期性，在使用这两个关系时不要混淆.
1．给定函数2()2,()4,f x x g x x =+=-对于,x R ∀∈用()M x 表示(),()f x g x 中的较小者，记为
{}()min (),()M x f x g x =，则()M x 的最大值为（ ） A ．0
B ．1
C ．3
D ．4
2．已知函数()f x 在定义域R 上单调，且(()2)1f f x x +=，则(2)f -的值为（ ） A ．3
B ．1
C ．0
D ．﹣1
3．已知函数()f x 是定义在,22ππ⎛⎫
- ⎪⎝⎭上的奇函数.当0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭
时，()()tan 0,f x f x x '+>则不等式
()cos sin 02x f x x f x π⎛
⎫⋅++⋅-> ⎪⎝
⎭的解集为（ ）
A ．,26ππ⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
B ．,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭
C ．,24ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
D ．,04π⎛⎤- ⎥⎝⎦
4．已知定义在（0，+∞）上的函数满足()()()()2ln 1x
e x
f x x f x x x x
'+-=+-，则下列不等式一定
正确的是（ ）
A ．()1412f ⎛⎫
< ⎪⎝⎭
B ．()()421f ef <
C ．()()4293ef f >
D ．()3116222e
f f ⎛⎫
< ⎪⎝⎭
5．我国著名数学家华罗庚曾说．“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休．”在数学的学习和研究中，有时可凭借函数的图象分析函数解析式的特征已知函数
()f x 在,2ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
的大致图象如图所示，则函数()f x 的解析式可能为（ ）
A ．()ln cos ||f x x x =-
B ．()ln sin ||f x x x =-
C ．()ln cos ||f x x x =+
D ．()ln sin |
|f x x x =+
强化练习
6．我国著名数学家华罗先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难人微，数形结合百般好，隔离分家万事休.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式
来琢廊函数的图象特征，函数()2
x x x f x e e
-=+的图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7．对于函数y ＝f （x ），其定义域为D ，如果存在区间[m ，n ]⊆D ，同时满足下列条件：①f （x ）在[m ，n ]上是单调函数；②当f （x ）的定义域为[m ，n ]时，值域也是[m ，n ]，则称区间[m ，n ]是
函数f （x ）的“K 区间”.若函数f （x ）＝a （a ＞0）存在“K 区间”，则a 的取值范围为（ ）
A ．13,34⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．3,14⎛⎤ ⎥⎝⎦
D ．（
1
4
，1] 8．已知实数a ，b ，c 满足ln b a e c ==，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．c b a >>
C ．b c a >>
D ．a c b >>
9．已知实数x ，y ，z 满足ln y x e x ye =且1
ln z x e ze x
=，若1y >，则（ ） A ．x y z >> B ．x z y >> C ．y z x >>
D ．y x z >>
10．若函数()f x 的导函数为()f x '，对任意()()(),0,sin cos x f x x f x x π∈-<'恒成立，则（ ）
A 5364f ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
B ．5364f ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
C 536
4
f π
π⎛⎫⎛⎫
-
<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
D ．536
4
f ππ⎛⎫⎛⎫
-
<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
二、指数与指数函数
1.根式
(1)概念：式子n
a 叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数.
(2)性质：(n
a )n
＝a (a 使n
a 有意义)；当n 为奇数时，n
a n
＝a ，当n 为偶数时，n
a n
＝|a |＝⎩⎨⎧a ，a ≥0，
－a ，a <0.
2.分数指数幂
(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a m
n ＝a >0，m ，n ∈N +，且n >1)；正数的负分数指数幂的意义是a －
m
n ＝
1
(a >0，m ，n ∈N +，且n >1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没
有意义.
(2)有理指数幂的运算性质：a r a s ＝a r ＋s ；(a r )s ＝a rs ；(ab )r ＝a r b r ，其中a >0，b >0，r ，s ∈Q . 3.指数函数及其性质
(1)概念：函数y ＝a x (a >0且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是自变量，函数的定义域是R ，a 是底数.
(2)a >1 0<a <1
R [微点提醒]
1.画指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0，1)，⎝ ⎛
⎭
⎪⎫－1，1a .
2.在第一象限内，指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)的图象越高，底数越大.
知识梳理
考点一 指数幂的运算
【例1-1】 化简下列各式：
(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2350＋2－2·⎝ ⎛⎭⎪⎫214－
1
2－(0.01)0.5
； (2)a 3b 2
3
ab 2
（a 14b 12）4a －
13b 13
(a >0，b >0).
【例1-2】 化简下列各式：
(1)[(0.0641
5)－2.5]2
3－3
338－π0
； (2)56a 13·b －2·(－3a －12b －1) ÷(4a 23·b －3)1
2.
规律方法
1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：(1)必须同底数幂相乘，指数才能相加；(2)运算的先后顺序.
2.当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.
3.运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.
考点二 指数函数的图象及应用
【例2-1】若函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是________.
【例2-2】(1)函数f (x )＝a x －b 的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( )
A.a >1，b <0
B.a >1，b >0
C.0<a <1，b >0
D.0<a <1，b <0
【例2-3】若曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是________.
经典例题剖析
考点三 指数函数的性质及应用
【例3－1】 (1)下列各式比较大小正确的是( ) A.1.72.5>1.73
B.0.6－1>0.62
C.0.8－0.1>1.250.2
D.1.70.3<0.93.1
(2)设函数f (x )＝⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x
－7，x <0，
x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是________.
【例3－2】 (1)已知函数f (x )＝2|2x －m |(m 为常数)，若f (x )在区间[2，＋∞)上是增加的，则m 的取值范围是______. (2)若函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪
⎫
13ax 2＋2x ＋3
的值域是⎝ ⎛
⎦
⎥⎤0，19，则f (x )的单调递增区间是________.
【例3－3】 如果函数y ＝a 2x ＋2a x －1(a >0，且a ≠1)在区间[－1，1]上的最大值是14，则a 的值为________.
规律方法
1.比较指数式的大小的方法是：(1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；(2)不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小.
2.求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断.
易错警示 在研究指数型函数的单调性时，当底数a 与“1”的大小关系不确定时，要分类讨论.
[方法技巧]
1.根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算.
3.指数函数的单调性取决于底数a 的大小，当底数a 与1的大小关系不确定时应分0<a <1和a >1两种情况分类讨论.
4.对与复合函数有关的问题，要弄清楚复合函数由哪些基本初等函数复合而成，并且一定要注意函数的定义域.
5.对可化为a 2x ＋b ·a x ＋c ＝0或a 2x ＋b ·a x ＋c ≥0(≤0)形式的方程或不等式，常借助换元法解题，但应注意换元后“新元”的范围.
1.函数f (x )＝a x －b 的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( )
A ．a >1，b <0
B ．a >1，b >0
C ．0<a <1，b >0
D ．0<a <1，b <0
2．已知a ＝0.860.75，b ＝0.860.85，c ＝1.30.86，则a ，b ，c 的大小关系是( )
A ．a >b >c
B ．b >a >c
C ．c >b >a
D ．c >a >b
3．(2019·镇江模拟)已知a ，b ∈(0,1)∪(1，＋∞)，当x >0时，1<b x <a x ，则( )
A ．0<b <a <1
B ．0<a <b <1
C ．1<b <a
D ．1<a <b 4．函数y ＝21e x －的图象大致是( )
5．若函数f (x )＝2x ＋12x －a
是奇函数，则使f (x )>3成立的x 的取值范围为( ) A ．(－∞，－1)
B ．(－1,0)
C ．(0,1)
D ．(1，＋∞)
强化练习
6．(多选)下列函数中值域不为正实数集的是( )
A ．y ＝－5x
B ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫131－x
C ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1
D ．y ＝3|x |
7．(2020·徐州质检)若函数y ＝a x －m ＋n －3(a >0且a ≠1)的图象恒过定点(3,2)，则m ＋n ＝________. 答案 7
8．若函数f (x )＝⎩⎨⎧
a x ，x >1，(2－3a )x ＋1，x ≤1
是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是________． 9．若关于x 的方程|a x －1|＝2a (a >0且a ≠1)有两个不等实根，则a 的取值范围是________．
10．当x ∈(－∞，－1]时，不等式(m 2－m )·4x －2x <0恒成立，则实数m 的取值范围是________．
11．求函数f (x )＝－4x －2x ＋1＋3的定义域、值域．
12．已知函数f (x )＝b ·a x (其中a ，b 为常量，且a >0，a ≠1)的图象经过点A (1,6)，B (3,24)．
(1)求f (x )的表达式；
(2)若不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x ＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫1b x －m ≥0在(－∞，1]上恒成立，求实数m 的取值范围．
13．设f (x )满足f (x )＝f (4－x )，且当x >2时，f (x )是增函数，则a ＝f (1.10.9)，b ＝f (0.91.1)，c ＝f (2)的大小关系是________．(按由大到小排列)
14．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x ＋1在区间[－3,2]上的值域是________．
15．若函数f (x )＝2|x ＋a |(a ∈R )满足f (1－x )＝f (1＋x )，f (x )在区间[m ，n ]上的最大值记为f (x )max ，最小值记为f (x )min ，若f (x )max －f (x )min ＝3，则n －m 的取值范围是______________．
16．(2019·连云港模拟)已知函数f (x )＝14x －λ2
x －1＋4(－1≤x ≤2)． (1)若λ＝32，求函数f (x )的值域；
(2)若方程f (x )＝0有解，求实数λ的取值范围．。