1.2命题及其关系、充分条件与必要条件

1.2命题及其关系、充分条件与必要条件

怀宁中学 王永安

四种命题及相互关系

例1：写出四种命题，并判断真假。

若α=4

π，则tan α=1.

练习：给定两个命题p,q ，若p ⌝是q 的必要不充分条件，则P 是q ⌝的________条件。

充分条件和必要条件

例2：P 是q 的什么条件？

（1）在△ABC 中，P ：B A ∠=∠，q:sinA=sinB ；

（2）对于x,y ∈R ，P ：x+y ≠8，q:x ≠2或y ≠6；

（3）非空集合A,B 中，p:x ∈A ∪B ，q:x ∈B ；

（4）已知x,y ∈R ，p:（x-1）2+（y-2）2=0,q:（x-1）（y-2）=0。

例3：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧

log2x ，x >0，－2x ＋a ，x ≤0有且只有一个零点的充分不必要条件（必要不充分）是（ ） A ．a <0 B ．a ≤0或a ≥1 C.12

<a <1 D ．a ≤0或a >1

练习1：“x ＞1”是“)2(log 21+x <0”的__________条件。

练习2：“a ≤0”是”函数f(x)=x ax )1(-在区间（0，+∞）内单调递增”的________条件。 作业：已知a>0，则x 0满足关于x 的方程ax=b 的充要条件是 C

(A) (B) (C) (D)

例4：已知全集U ＝R ，非空集合A ＝⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+--0)13(2x a x x ，B ＝⎭

⎬⎫⎩⎨⎧<---02x 2a x a x .命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围．

练习：已知P ：-2≤x ≤10，q:x 2-2x+1-m 2≤0（m ＞0）且q p ⌝⌝是的必要而不充分条件，求m 范围。

220011,22x R ax bx ax bx ∃∈-≥-220011,22

x R ax bx ax bx ∃∈-≤-220011,

22x R ax bx ax bx ∀∈-≥-220011,22x R ax bx ax bx ∀∈-≤-

作业：1.已知集合A ＝{x |x 2﹣2x ﹣3＜0}，B ＝{x |（x ﹣m +1）（x ﹣m ﹣1）≥0}．

（1）当m ＝0时，求A ∩B ；A ∩B ＝{x |1≤x ＜3}

（2）若p ：x 2﹣2x ﹣3≤0，q ：（x ﹣m +1）（x ﹣m ﹣1）>0，且q 是p 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞）

2.设非空集合A={x|-2≤x ≤a},B={y|y=2x+3,x ∈A}，C={z|z=x 2,x ∈A}，求使C ⊆B 的充要条件。 （-∞，-2）∪[

2

1,3]

例5：已知数列{}n a 的前n 项和为(0n n S aq b a =+≠，q 是不等于0和1的常数），求证数列{}n a 为等比数列的充要条件是0a b +=。

作业：1.(2015·湖北)设a 1，a 2，…，a n ∈R ，n ≥3.若p ：a 1，a 2，…，a n 成等比数列；q ：(a 21

＋a 22＋…＋a 2n －1)(a 22＋a 23＋…＋a 2n )＝(a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n )2，则( ) A ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件

B ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件

C ．p 是q 的充分必要条件

D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件

答案 B

解析 若p 成立，设a 1，a 2，…，a n 的公比为q ，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n －1)(a 22＋a 23＋…＋a 2n )＝a 21

(1＋q 2＋…＋q 2n －4)·a 22(1＋q 2＋…＋q 2n －4)＝a 21a 22(1＋q 2＋…＋q 2n －

4)2，(a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n )2＝(a 1a 2)2(1＋q 2＋…＋q 2n －4)2，故q 成立，故p 是q 的充分条件．取a 1＝a 2＝…＝a n ＝0，则q 成立，而p 不成立，故p 不是q 的必要条件，故选B.

2.(2015·浙江)设A ，B 是有限集，定义：d (A ，B )＝card(A ∪B )－card(A ∩B )，其中card(A )表示有限集A 中元素的个数，

命题①：对任意有限集A ，B ，“A ≠B ”是“d (A ，B )＞0”的充分必要条件；

命题②：对任意有限集A ，B ，C ，d (A ，C )≤d (A ，B )＋d (B ，C )，( )

A ．命题①和命题②都成立

B ．命题①和命题②都不成立

C ．命题①成立，命题②不成立

D ．命题①不成立，命题②成立

答案 A 提示：(文氏图做很简单)

解析 命题①成立，若A ≠B ，则card(A ∪B )>card(A ∩B )，所以d (A ，B )＝card(A ∪B )－card(A ∩B )>0.反之可以把上述过程逆推，故“A ≠B ”是“d (A ，B )>0”的充分必要条件；

命题②成立，由Venn图，

知card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)，

d(A，C)＝card(A)＋card(C)－2card(A∩C)，

d(B，C)＝card(B)＋card(C)－2card(B∩C)，

∴d(A，B)＋d(B，C)－d(A，C)

＝card(A)＋card(B)－2card(A∩B)＋card(B)＋card(C)－2card(B∩C)－[card(A)＋card(C)－2card(A∩C)]

＝2card(B)－2card(A∩B)－2card(B∩C)＋2card(A∩C)

＝2card(B)＋2card(A∩C)－2[card(A∩B)＋card(B∩C)]

≥2card(B)＋2card(A∩C)－2[card((A∪C)∩B)＋card(A∩B∩C)]

＝[2card(B)－2(card(A∪C)∩B)]＋[2card(A∩C)－2card(A∩B∩C)]≥0，

∴d(A，C)≤d(A，B)＋d(B，C)得证．