吉林省长春汽车经济技术开发区第六中学2021届高三数学上学期第一次月考试题 理

吉林省长春汽车经济技术开发区第六中学2021届高三数学上学期第
一次月考试题 理
考试说明： 1.考试时间为120分钟，满分150分。

2.考试完毕只交答题卡。

第Ⅰ卷
一、选择题（本题包括12个小题，每小题只有一个正确选项，每小题5分，共60分） 1．1．已知集合，{}
R x x y y B ∈==,2
，则=⋂B A =（ ）
A ．
B ．[)()+∞⋃,31,0
C ．（0,3）
D ．（1,3）
2．若Z=（1+i ）i （为虚数单位），则的虚部是（ ）
A ．1
B ．-1
C ．i
D ．-i
3．若a ∈R ，m R ∈且0m >。

则“a ≠m ”是“a ≠m ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ． 充要条件 D ．既不充分又不必要条件 4．设等差数列{}n a 的前项和为 n S ，42,a a 是方程
的两个根，则=
5S （ ） A ．
B ．
C ．
D ．
5．程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为14，18，则输出的a=（ ）
A ．0
B ．2
C ．4
D ．14
6．已知双曲线C ：
的渐近线方程为，且其右焦点为（5,0），
则双曲线C 的方程为（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
7．动点(,)P x y 满足20
030x y y x y -≥⎧⎪
≥⎨⎪+-≥⎩
，则2z x y =+的最小值为（ ）
A ．0
B ．1
C ．3
D ．5
8．某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，则此四面体的外接球的体积为 （ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
9. )sin()(ϕω+=x A x f （其中0>A ，0>ω，
2
||π
ϕ<）的图象如图，为了得到2cos 2y x
=的图象，只要将)(x f 的图象
A ．向左平移
12π个单位长度 B ．向右平移12π
个单位长度 C ．向左平移
6π个单位长度 D ．向右平移6
π
个单位长度10. 函数
的零点个数为 （ ） A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
11. 若()⎪⎩
⎪
⎨⎧≤+>=⎰m
x dt t x x x x f 02
1,321,ln ，且()()10=e f f ，则m 的值为( ) A ． 2 B ．1- C ． 1 D ．2-
12. 若函数()()x g x f ,满足
()()02
2
=⎰
-dx x g x f ，则称()()x g x f ,为区间[]2,2-上的一组正
交函数.给出四组函数：① ()()x x g x x f cos ,sin ==； ② ()()1,12
2
-=+=x x g x x f ； ③ ()()1,+==x
x
e x g e x
f ； ④()()2,2
1
x x g x x f ==
. 其中为区间[]2,2-上的正交函数的组数为（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）
13. 现有10个数，它们能构成一个以1为首项，3-为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是 ．
14. 二项式6
63⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+ax 的展开式的第二项的系数为3-，则a 的值为___________. 15.
=⋅=⋅=∠→
→→→AB AC AC AD AC CAB ABCD O
则中，在矩形,,30
16. 定义在R 上的函数)(x f 是奇函数且满足)()2
3
(x f x f =-，3)2(-=-f ，数列}{n a 满
足11-=a ，且
12+=n
a n S n
n ，n S 为数列}{n a 的前n 项和，则)()(65a f a f += .
三、解答题（17题—21题每题12分，22、23、24题选作10分，共70分。

解答时请写出必
要的文字说明，方程式和重要的演算步骤）
17．已知向量)3,cos 2(2
x a =→
-，)2sin ,1(x b =→
-，函数→
-→-⋅=b a x f )(，2
)(x g =。

（1）求函数)(x g 的最小正周期；
（2）在∆ABC 中，c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，且3)(=C f ，1=c ，32=ab ，且b a >，求b a ,的值。

18．如图，在三棱锥P ABC -中，2PA PB AB ===，3BC =，90=∠ABC °，平面
PAB ⊥平面ABC ，D 、E 分别为AB 、AC 中点．
（1）求证：AB PE ⊥； （2）求二面角A PB E --的大小．
19.中国乒乓球队备战东京奥运会热身赛.种子选手M 与1B ，2B ，3B 三位非种子选手分别进行一场对抗赛，按以往多次比赛的统计，M 获胜的概率分别为
34，23，1
2
，且各场比赛互不
影响.
（1）若M 至少获胜两场的概率大于
7
10
，则M 入选征战里东京运会的最终大名单，否则不予入选，问M 是否会入选最终的大名单？ （2）求M 获胜场数X 的分布列和数学期望.
20.已知椭圆E ：122
22=+b
y a x （0>>b a ）的离心率e=
，并且经过定点P （，）．
（Ⅰ）求椭圆E 的方程；
（Ⅱ）问是否存在直线y=﹣x+m ，使直线与椭圆交于A 、B 两点，满足•=，若存在求
m 值，若不存在说明理由．
21．设函数)0(),1ln()1()(≥++-=a x x a x x f 。

（1）如果1=a ，求函数)(x f 的单调递减区间；
（2）若函数)(x f 在区间)1,1(--e 上单调递增，求实数a 的取值范围； （3）证明：当m>n>0时，(1)(1)n
m
m n +<+。

请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号.
22．选修4-4 极坐标参数方程
在直角坐标系中，已知圆C 的圆心坐标为)0,2(,半径为2,以坐标原点为极点,x 轴 的正半轴为极轴建立极坐标系.,直线l 的参数方程为:⎩⎨
⎧+=-=t
y t
x 1 （t 为参数)
(1)求圆C 和直线l 的极坐标方程; (2)点P 的极坐标为)2
,1(π
，直线l 与圆C 相交于B A ,，求PB PA +的值。

23.选修4-5 不等式选讲
已知函数()()3,212+=++-=x x g a x x x f 。

(1)当2=a 时，求不等式()()x g x f <的解集； (2)设21>
a ，且当],2
1
[a x ∈时，()()x g x f ≤，求a 的取值范围．
答案 1．已知集合，
，则
=（ ）
A ．
B ．
C ．（0,3）
D ．（1,3）
答案：D 2．若（为虚数单位），则
的虚部是（ ）
A ．1
B ．-1
C ．
D ．
答案：B
3．若a ∈R ，m R ∈且0m >。

则“a ≠m ”是“|a|≠m ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件 答案：B 4．设等差数列的前
项和为
、
是方程
的两个根，则
（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
答案：D
5．程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程
序框图，若输入的a ，b 分别为14，18，则输出的a=（ ）
A ．0
B ．2
C ．4
D ．14
【答案】B 6．已知双曲线C ：
的渐近线方程为，且其右焦点为（5,0），
则双曲线C 的方程为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
答案：B
7.动点(,)P x y 满足20030x y y x y -≥⎧⎪
≥⎨⎪+-≥⎩
，则2z x y =+的最小值为（ ）
A ．0
B ．1
C ．3
D ．5 答案：C
8．某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，则此四面体的外接球的体积为 （ ） A ．
B ．
C ．
D ．
答案：C
9．)sin()(ϕω+=x A x f （其中0>A ，0>ω，2
||π
ϕ<）的图象如图，为了得到2cos 2y x
=的图象，只要将)(x f 的图象
A ．向左平移12π个单位长度
B ．向右平移12π
个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向右平移6
π
个单位长度
答案：A 10．函数的零点个数为 （ ） A ．0 B ．1
C ．2
D ．3
答案：A
11．若()⎪⎩
⎪
⎨⎧≤+>=⎰m
x dt t x x x x f 02
1,321,ln ，且()()10=e f f ，则m 的值为( ) A ． 2 B ．1- C ． 1 D ．2-
答案：A
12.若函数()()x g x f ,满足
()()02
2
=⎰
-dx x g x f ，则称()()x g x f ,为区间[]2,2-上的一组正交
函数．给出四组函数：① ()()x x g x x f cos ,sin ==； ② ()()1,12
2
-=+=x x g x x f ；③
()()1,+==x x e x g e x f ； ④()()2,2
1
x x g x x f ==
.其中为区间[]2,2-上的正交函数的组数为 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案：C
13. 现有10个数，它们能构成一个以1为首项，3-为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是 ． 答案
5
3 14.二项式的展开式的第二项的系数为
，则的值为 。

答案：-1 15.
在
矩
形
ABCD 中，
=•=•=∠→
→
→
→
AB AC AC AD AC CAB O
则,,30 。

答案：12
16. 定义在R 上的函数)(x f 是奇函数且满足)()2
3
(x f x f =-，3)2(-=-f ，数列}{n a 满足11-=a ，且12+=n
a n S n
n ，n S 为数列}{n a 的前n 项和，则)()(65a f a f += . 答案：3
17、（本小题12分）已知向量)3,cos 2(2
x a =→
-，)2sin ,1(x b =→
-， 函数→
-→-⋅=b a x f )(，2
)(x g =。

（1）求函数)(x g 的最小正周期；
（2）在∆ABC 中，c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，且3)(=C f ，1=c ，32=ab ，且b a >，求b a ,的值。

答案：解：（1）2
3
4cos 2124cos 112sin 1)(22
+-=-+
=+==→-x x x b
x g --------2分 ∴函数)(x g 的最小周期2
42π
π==
T ----------4分
（2）x x x x b a x f 2sin 3cos 2)2sin ,1()3,cos 2()(2
2+=⋅=⋅=→
-→- 1)6
2sin(22sin 312cos ++
=++=π
x x x -------------6分
31)6
2sin(2)(=++
=π
C C f ∴1)6
2sin(=+
π
C ------------7分
C 是三角形内角 ∴)613,6(62πππ
∈+
C ， ∴262ππ=+C 即：6
π=C -------------8分 ∴2
3
2cos 222=-+=ab c a b C 即：722=+b a ----------------10分
将32=ab 可得：712
22=+a
a 解之得：432或=a ∴23或=
a ∴32或=b
b a >， ∴2=a 3=b ------------12分
18．如图，在三棱锥P ABC -中，2PA PB AB ===，3BC =，90=∠ABC °，平面PAB ⊥平面ABC ，D 、E 分别为AB 、AC 中点．
（1）求证：AB PE ⊥；
（2）求二面角A PB E --的大小． 答案：（1）连结PD ,根据等边三角形三线合一可证得PD AB ⊥,由中位线可得//DE BC ,即可得DE AB ⊥, 根据线面垂直的判定定理可证得AB ⊥平面PDE ,从而可证得
AB PE ⊥．
（2）由面面垂直的性质定理可证得PD ⊥平面ABC ,从而可得证DE PD ⊥,根据线面垂直的判定定理可证得DE ⊥平面PAB ,过D 做DF 垂直PB 与F ，连接EF ，则EF PB ⊥．根据二面角的定义可知DFE ∠即为所求,在DEF ∆中求DFE ∠即可．
试题解析：（1）连结PD ，PA PB =，PD AB ∴⊥． //DE BC ，BC AB ⊥，DE AB ∴⊥．
又D DE PD = ，AB ∴⊥平面PDE ,PE ⊂平面PDE ,AB PE ∴⊥．
（2） 平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAB
平面ABC AB =，PD AB ⊥，PD ∴⊥平面
ABC ．
∴DE PD ⊥,又ED AB ⊥，PD 平面AB D = DE ∴⊥平面PAB ,
∴过D 做DF 垂直PB 与F ，连接EF ，则EF PB ⊥ DFE ∴∠为所求二面角的平面角
则：32DE =
，DF =，则
tan DE
DFE DF
∠==故二面角的A PB E --大小60︒ 19.中国乒乓球队备战里东京运会热身赛暨选拔赛于2016年7月14日在山东威海开赛.种子选手M 与1B ，2B ，3B 三位非种子选手分别进行一场对抗赛，按以往多次比赛的统计，M 获
胜的概率分别为
34，23，1
2
，且各场比赛互不影响. （1）若M 至少获胜两场的概率大于7
10
，则M 入选征战里东京运会的最终大名单，否则不
予入选，问M 是否会入选最终的大名单？ （2）求M 获胜场数X 的分布列和数学期望. 【答案】（1）M 会入选最终的大名单；（2）
23
12
（2）M 获胜场数X 的可能取值为0,1,2,3，则
3211
(0)()(1)(1)(1)43224
P X P ABC ===-⨯-⨯-=
，……………………………………………………7分
3213213216
(1)()()()(1)(1)(1)(1)(1)(1)43243243224
P X P ABC P ABC P ABC ==++=⨯-⨯-+-⨯-⨯+-⨯⨯-=
……………………………………………………………………………………………………………………8分
32132132111
(2)()()()(1)(1)(1)43243243224
P X P ABC P ABC P ABC ==++=⨯⨯-+⨯-⨯+-⨯⨯=
…9分
3216
(3)()43224
P X P ABC ===⨯⨯=
………………………………………………………………………10分
所以M 获胜场数X 的分布列为：
……………………………………………………………………………………………………………………11分 数
学
期
望
为
1611623()01232424242412
E X =⨯
+⨯+⨯+⨯=.………………………………………………12分
20.已知椭圆E ： +=1（a ＞b ＞0）的离心率e=，并且经过定点P （，）．
（Ⅰ）求椭圆E 的方程；
（Ⅱ）问是否存在直线y=﹣x+m ，使直线与椭圆交于A 、B 两点，满足•
=
，若存在求
m 值，若不存在说明理由． 【解答】解（Ⅰ）由题意：
且
，又c 2=a 2﹣b 2 解得：a 2=4，b 2=1，即：椭圆E 的方程为（1）
（Ⅱ）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）
（*）
所以
=
由，
得
又方程（*）要有两个不等实根，
所以m=±2．
21、（本小题12分）设函数)0(),1ln()1()(≥++-=a x x a x x f 。

（1）如果1=a ，求函数)(x f 的单调递减区间；
（2）若函数)(x f 在区间)1,1(--e 上单调递增，求实数a 的取值范围； （3）证明：当m>n>0时，(1)(1)n
m
m n +<+。

答案：解：（1）)(x f 的定义域为),1(+∞-
/()1ln(1)f x a x a =-+-
当1=a 时，)1ln()(/
+-=x x f
当0)(,0/<>x f x 时。

所以)(x f 的单调递减区间为),0(+∞。

（2）①当0a =时，01)(/
>=x f ∴()f x 在（—1，+∞）上是增函数 ②当0a >时，令1,0)(1/
-==-a
a e x x f 得，当0)(/
>x f 时，得111-<<--a
a e
x
所以()f x 的递增区间为1(1,1]a
a
e
---
又因为)(x f 在区间)1,1(--e 上单调递增
所以111-≤--a
a e e ，由此得2
1
≤
a 综上，得2
1
0≤
≤a （3）要证：(1)(1)n
m
m n +<+只需证ln(1)ln(1),n m m n +<+
只需证
ln(1)ln(1)
m n m n ++<
设ln(1)
(),(0)x g x x x
+=>，
则)
1()1ln()1()
1ln(1)/(22x x x x x x x x x
x g +++-=+-+=
由（1）知：即当1=a 时，=)(x f (1)ln(1) x x x -++在(0,)+∞单调递减， 即0>x 时，有)0()(f x f <，―――――――12分 ∴(1)ln(1)0x x x -++<，所以
0)(/<x g ，即()g x 是(0,)+∞上的减函数，
即当m>n>0，∴()()g m g n <，故原不等式成立。

22．在直角坐标系中，已知圆C 的圆心坐标为)0,2(,半径为2,以坐标原点为极点,x 轴 的正半轴为极轴建立极坐标系.,直线l 的参数方程为:⎩⎨⎧+=-=t
y t
x 1 （t 为参数)
(1)求圆C 和直线l 的极坐标方程; (2)点P 的极坐标为)2
,1(π
，直线l 与圆C 相交于B A ,，求PB PA +的值。

答案：解：圆C 的直角坐标方程为()222
2
=+-y x
⎩⎨
⎧==θ
ρθρsin cos y x 代入圆C 得：()2sin 2cos 2
22=+-θρθρ 化简得圆C 的极坐标方程：02cos 42
=+-θρρ ……………… 3分 由⎩
⎨
⎧+=-=t y t
x l 1:得1=+y x
l ∴的极坐标方程为1sin cos =+θρθρ ……………… 5分
（2）由)2
,
1(π
P 得点P 的直角坐标为()1,0P
∴直线l 的参数的标准方程可写成)(22122
为参数t t y t x ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+=-=……………… 6分
代入圆C 得：
2)2
21()2222
2=++--t t （ 化简得：03232
=++t t
⎩⎨
⎧=⋅-=+∴3
2
32121t t t t 0,021<<∴t t ……………… 8分 ()232121=+-=+=+∴t t t t PB PA ……………… 10分
23．已知函数()()3,212+=++-=x x g a x x x f 。

(1)当2=a 时，求不等式()()x g x f <的解集； (2)设21>a ，且当],2
1
[a x ∈时，()()x g x f ≤，求a 的取值范围．
23.（1）当2=a 时，⎪⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪⎨⎧
>+≤≤--<--=++-=21,14211,31,14|1|2|12|)(x x x x x x x x f ………………2分
由)()(x g x f <得：
①⎩
⎨⎧+<---<3141
x x x 得Φ∈x
②⎪⎩
⎪⎨⎧
+<≤
≤-33211x x 得210≤<x
③⎪⎩
⎪⎨⎧
+<+>
3142
1x x x 得3221<<x …………………………………………5分 综上：不等式)()(x g x f <的解集为），（3
2
0………………………………6分 （2）],2
1[,21a x a ∈>
14212)(-+=++-=∴a x a x x x f ……………………………………7分
由)()(x g x f ≤得：a x -≤43即3
4a
x -≤ 依题意：]34,
(],21[a
a --∞⊆
3
4a
a -≤∴即1≤a ……………………………………………………9分
a ∴的取值范围是]1,2
1
(……………………………………………………10分。