3.1.1方程的根与函数的零点

3.1.1方程的根与函数的零点
兖州一中 薛德华 课型:新授课
【学习目标】
知识与技能:结合二次函数的图象,判断一元二次方程根的存在性及根的个数,从而了解函数与方程根的联系.
过程与方法:掌握判断方程根的个数的一般方法,从中体会函数与方程及数形结合的数学思想方法.
情感、态度与价值观：学习本节有利于活跃我们的思维，养成多方面联系思考的习惯．
【学习重点、难点】
学习重点：函数的零点与方程根之间的联系，函数零点存在性的判定．
学习难点：探究发现函数存在零点的判定方法．
【学法指导】独立思考与合作交流相结合
【学习过程】
1．提出问题、分析问题
请观察下图，这是兖州气象局测得兖州特殊一天的一张气温变化模拟函数图（即一个连续不间断的函数图象），由于图象中有一段被墨水污染了，现在我想了解一下当天7时到11时之间有无可能出现温度是0摄氏度，你能帮助他吗？
分析:上述实际问题的解决依赖于函数图象与x 轴是否有交点的问题，即若知道函数解析式),(x f 令,0)(=x f 转化为解方程的问题.回顾所学知识,即一元二次方程与二次函数的问题,回答: 问题1:一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的存在性是如何判断的?
请同学们作出函数32)(2--=x x x f 的图象．
我们把使函数32)(2--=x x x f 的值等于零的实数 叫做函数32)(2--=x x x f 的零点. 问题2：函数122+-=x x y 的零点是什么？函数322+-=x x y 的零点又是什么？
)
引导探究：推广一般的一元二次方程2
0(0)ax bx c a ++=≠与相应的二次函数 )0(2≠++=a c bx ax y 的关系？
2．初步探究、形成概念
函数零点的概念：对于函数()()y f x x D =∈，把使()0f x =成立的实数x 叫做函数()()y f x x D =∈的零点．
问题3：方程()0f x =的根与函数()()y f x x D =∈的零点有何关系？
3．简单应用、探索新知
根据函数零点的概念回答：
①利用二次函数53)(2++-=x x x f 的图象，函数532++-=x x x f ）
（有零点吗？有几个？
②观察右面函数)(x f y =的图象，该函数有零点吗？有几个？
问题4：函数零点所对应的函数值为零，那零点附近的函数值呢？
由以上探索，我们可以得出以下结论：
函数零点的判定定理:
如果函数()y f x =在区间a [，]b 上的图像是连续不断的一条曲线，并且满足 ，那么函数)(x f y =在区间(a ，)b 内有零点，即存在(c a ∈，)b ，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的根．
延伸：这样得到方程0)(=x f 在区间),(b a 内必有根，由此只能判断根的存在，但不能判定有多少个实数根，也不能得出根的值．
问题5：函数)(x f y =在区间),(b a 内有零点⇔)(a f ·)(b f 0< 对吗？
（
函数在区间[1,6]上的零点至少有 个
4．合作探究，典例训练
（B 级）例题:已知函数62ln )(-+=x x x f
(1) 函数)(x f y =是否存在零点?若有零点则有几个？
(2)指出函数零点所在的大致区间。

问题6：你能尝试总结求一个函数零点的具体方法步骤吗？
（B 级）练习：函数44)(1-+=-x e
x f x 的零点有 个； 【基础达标】
（A 级）1．利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根：
①0532=++-x x ；②3)2(2-=-x x ；③442-=x x ；④532522+=+x x x
（A 级）2．若函数a x x x f ++=2)(2
没有零点，则实数a 的取值范围是 . （B 级）3．二次函数c bx ax y ++=2中，0<ac ，则函数零点个数是 个.
（B 级）4．已知二次函数)(x f y =满足),2()2(x f x f -=+且函数图象截x 轴所得的线段长为8,则函数)(x f y =的零点为 .
（C 级）5．求函数2)1lg(2)(-++=x x f x 的零点个数.
（C 级）6．利用信息技术作出函数的图象，并指出下列函数零点所在的区间：
①3)2ln(2)(--=x x x f ； ②x x x x x f ++-+=)4)(3)(2(3)(
【学习小结】
①函数零点的概念、函数的零点与方程的根的关系；
②判断连续不间断的函数零点存在性、个数的方法步骤（代数法、几何法）；
③函数与方程转化思想、数形结合的思想．
【当堂检测】
（A 级）1．函数33)(2--=x x x f 的零点的个数为 个.
（B 级）2．方程02=--x e x
在实数范围内的解有 个.
（B 级）3．函数53)(3+--=x x x f 的零点所在区间可以是 .
（C 级）4．若函数12--=x ax y 只有一个零点，求实数a 的取值范围.。