甘肃省西北师范大学附属中学2017届高三下学期第四次校内诊断考试数学(理)试题Word版含答案

甘肃省西北师范大学附属中学2017届高三下学期第四次校
内诊断考试数学（理）试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合⎪⎭
⎪
⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤⎪⎭⎫ ⎝⎛=121x x A ，{}
0822≤--=x x x B ，则=B A （ ）
A ．{}02≤≤-x x
B ．{}42≤≤x x
C ．{}40≤≤x x
D ．{}2-≤x x 2. 若复数z 满足1=-i
z zi
，其中i 为虚数单位，则复数z 的模为（ ） A ．
2
2
B ．2
C ．22
D ．24 3. 下列4个命题中正确的个数是（ ）
（1）对于命题R x p ∈∃0:，使得012
≤-x ，则R x p ∈∀⌝:都有012>-x （2）已知X ～()
()22,,20.5N P x σ>=
（3）已知回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为()5,4，则回归直线方程为32ˆ-=x y
（4）“1≥x ”是“21
≥+
x
x ”的充分不必要条件 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4.已知函数()()()sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<，直线6π
=x 是它的一条对称轴，且⎪⎭
⎫
⎝⎛0,23π是离该轴最近的一个对称中心，则=ϕ （ ） A ．
4π B ．3π C.2π D ．4
3π
5.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是 （ ）
A ．14
B ．15 C.16 D ．17
6.某三棱锥的三视图如图所示，且三个三角形均为直角三角形，则三棱锥的体积为 （ ）
A ．32
B ．732 C.764 D ．716
7. 设y x ,满足约束条件⎪⎩
⎪⎨⎧≥-≤--≤-+0
1010
62x y x y x 若[]9,2-∈a ，则y ax z +=仅在点⎪⎭⎫
⎝⎛34,37处取得最大
值的概率为（ ） A ．
119 B ．117 C.116 D ．11
5 8. 已知c b a ,,为ABC ∆的三个角,,A B C 所对的边，若()=-=A C B c C b sin :sin ,cos 31cos 3（ ）
A ．3:2
B ．3:4 C.1:3 D ．2:3
9.已知b a ,是实数，若圆()()1112
2=-+-y x 与直线()()0211=-+++y b x a 相切，则b a +的
取值范围是 （ ）
A
．2⎡-+⎣ B
．(
)
,2222,⎡-∞-++∞
⎣
C. (
)
,22,⎡-∞-+∞⎣ D ．(])
,2222,⎡-∞-++∞⎣
10. 过椭圆()0122
22>>=+b a b y a x 的左焦点F 作斜率为1的直线交椭圆于B A ,两点，若向量
OA OB +与向量()3,1a =-共线，则该椭圆的离心率为（ ）
A ．
33 B ．36 C. 43 D ．3
2 11. 《中国诗词大会》（第二季）亮点颇多，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词，在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味.若《将进酒》 《山居秋暝》 《望岳》 《送杜少府之任蜀州》和另确定的两首词排在后六场，且《将进酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有（ ） A ．144种 B ．288种 C.360种 D ．720种
12.若函数()x x x f ln 22-=在其定义域的一个子区间()1,1+-k k 内不是单调函数，则实数k 的取值范围是 （ ） A ．23>
k B ．21-<k C.2321<<-k D ．2
31≤≤k 第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.设()⎰
-=π
0sin cos dx x x a ，则二项式6
1⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛-x x a 的展开式中含2x 项的系数为 ． 14.观察下列式子()33,1+=y x y x f ，()793,22+=y x y x f ，()13
275,33+=y x
y x f ，()23
817,4
4+=
y x
y x f ，……，根据以上事实，由归纳推理可得，当*∈N n 时，()=y x f n , ．
15.垂直于直线0162=+-y x 并且与曲线5323-+=x x y 相切的直线方程是 ． 16.若函数()x f 对定义域内的任意21,x x ，当()()21x f x f =时，总有21x x =，则称函数()x f 为单调函数，例如函数()x x f =是单纯函数，但函数()2x x f =不是单纯函数，下列命题： ①函数()2log ,2
1,2x x f x x x ≥⎧=⎨-<⎩
是单纯函数；
②当2->a 时，函数()x
ax x x f 1
2++=在()+∞,0是单纯函数；
③若函数()x f 为其定义域内的单纯函数，21x x ≠，则()()21x f x f ≠
④若函数()x f 是单纯函数且在其定义域内可导，则在其定义域内一定存在0x 使其导数()0'0=x f ，其中正确的命题为 ．（填上所有正确的命题序号）
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知数列{}n a 是公差为2的等差数列，数列{}n b 满足2
1
,121==b b ，若*∈N n 时，n n n n nb b b a =-++11.
（1）求{}n b 的通项公式；
（2）设1
1
+=
n n n a a c ，求{}n c 的前n 项和n S . 18.如图：直三棱柱111C B A ABC -中，︒=∠90ACB ，D BC AC AA ,21===为AB 中点
.
（1）求证：1BC ∥平面CD A 1； （2）求二面角A CA D --1的正切值.
19.拖延症总是表现在各种小事上，但日积月累，特别影响个人发展，某校的一个社会实践调查小组，在对该校学生进行“是否有明显拖延症”的调查中，随机发放了110份问卷.对收回的100份有效问卷进行统计，得到如下22⨯列联表：
（1）按女生是否有明显拖延症进行分层，已经从40份女生问卷中抽取了8份问卷，现从这8份问卷中再随机抽取3份，并记其中无明显拖延症的问卷的份数为X ，试求随机变量X 的分布列和数学期望；
（2）若在犯错误的概率不超过P 的前提下认为无明显拖延症与性别有关，那么根据临界值表，最精确的P 的值应为多少？请说明理由.
附：独立性检验统计量()()()()()
d b c a d c b a bc ad n k ++++-=22
，d c b a n +++=
20.已知椭圆()01:22
22>>=+b a b y a x C 的左右焦点分别为12F F 、，椭圆C 过点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛22,1P ，直线1PF 交y 轴于点Q ，且QO PF 22=,O 为坐标原点.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）设M 是椭圆C 的上顶点，过点M 分别作直线MB MA ,交椭圆C 于B A ,两点，设这两条直线的斜率分别为21,k k ，且221=+k k ，证明：直线AB 过定点. 21.设函数()()R a x a x
x x f ∈--
=ln 1
. （1）讨论函数()x f 的单调性.
（2）若()x f 有两个极值点21,x x ，记过点()()()()2211,,,x f x B x f x A 的直线斜率为k ，问：是否存在a ，使得a k -=2？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.设函数()212--+=x x x f . （1）求不等式()2>x f 的解集；
（2）R x ∈∀，使()t t x f 2
11
2-
≥，求实数t 的取值范围. 23.若以直角坐标系xOy 的O 为极点，Ox 为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C 的极坐标方程是θ
θ
ρ2
sin cos 6=
. （1）若曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线是什么曲线； （2）若直线l 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧
=+=t
y t
x 323（t 为参数）
当直线l 与曲线C 相交于B A ,两点，求AB .
试卷答案
一、选择题
1-5:CADBC 6-10:DBCBB 11、12：AD
二、填空题
13. 12 14.
()
1
2231
2-++-n y n n
n
15. 063=++y x 16.①③
三、解答题
17.解（Ⅰ）n n n n nb b b a =-++11 ， 当1=n 时，1221a b b b -=. ∵121
1,2
b b ==， ∴13a =，
又∵{}n a 是公差为2的等比数列， ∴21n a n =+， 则()n n nb b n =++112， 化简，得n n b b =+12，即
2
1
1=+n n b b ， 所以数列{}n b 是以1为首项，以21为公比的等比数列，所以1
21-⎪
⎭⎫
⎝⎛=n n b
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，12+=n a n ，所以()()⎪⎭
⎫
⎝⎛+-+=++==
+321121213212111n n n n a a C n n n ， 所以⎪⎭
⎫
⎝⎛+-++⋯⋯+-+-=⋯⋯+++=3211n 217151513121321n c c c c S n n
⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=3213121n 9
6+=
n n
. 18.（Ⅰ）证明：连接1AC 交C A 1于O 点，连接DO ，则O 为1AC 的中点， ∵D 为AB 中点，∴1DO BC ∥，
又∵DO ⊂平面⊄11,BC CD A 平面1ACD ， ∴1BC ∥平面CD A 1.
（Ⅱ）解：以CA 为x 轴，CB 为y 轴，1CC 为z 轴，建立空间直角坐标系，
∵直三棱柱111C B A ABC -中，D BC AC AA ACB ,2,901====∠︒为AB 中点. ()12,2,2AB =-.
设二面角A CA D --1的大小为θ，则 ∵平面1ACA 的法向量是()0,1,0= ∴
2,2,20,1,0cos θ
-⋅=
=
，∴tan θ=∴二面角A CA D --1的正切值是2.
19.解：（1）从40份女生问卷中抽取了8份问卷，有明显拖延症6人.无明显拖延症2人.
则随机变量,2,1,0=X ∴()36384015C P X C ===；()28151381226===C C C X P ,()283
23
8
2
216===C C C X P 分布列为
()4
32832281511450=⨯+⨯+⨯
=X E . （2）()930.240
603565253010351002
2
≈⨯⨯⨯⨯-⨯=k
由表可知840.393.2706.2<<； ∴0.10.P =
20.解：（1）∵椭圆C
过点P ⎛ ⎝⎭
，∴221112a b +=①， ∵22PF QO =,∴212PF F F ⊥，则1=c ， ∴221a b -=，② 由①②得222,1a b ==， ∴椭圆C 的方程为12
22
=+y x .
（2）当直线AB 的斜率不存在时，设()00,y x A ，则()00,y x B -，由221=+k k 得21
10
000=--+-x y x y ， 得10-=x .
当直线AB 的斜率存在时，设AB 的方程为()1≠+=m m kx y ，()11,y x A ，()22,y x B ，
()
0224211
2
22222
=-++⎪⎩⎪⎨⎧+⇒+==+m kmx x k m
kx y y x . 得2
21214k
km x x +-=+，22212122k m x x +-=⋅， 1212121122y y k k x x --+=⇒+=()()2112
12112
=-++-+⇒x x x m kx x m kx .
即()()()()()
222212221212--⇒+-=-m k x x m x x k ()()km m 41--=. 由1≠m ，()()111+=⇒-=+-m k km m k ， 即()m x m m kx y ++=+=1⇒()x y x -=+1， 故直线AB 过定点()1,1--.
21.解：（Ⅰ）()x f 定义域为()+∞,0， ()2
221
11'x
ax x x a x x f +-=-+=， 令()4,122-=∆+-=a ax x x g ，
①当22≤≤-a 时，0≤∆，()0'≥x f ，故()x f 在()+∞,0上单调递增， ②当2-<a 时，0>∆，()0=x g 的两根都小于零，在()+∞,0上，()0'>x f ，
故()x f 在()+∞,0上单调递增，
③当2>a 时，0>∆，()0=x g 的两根为2
4
,242221-+=--=a a x a a x ， 当10x x <<时，()0'>x f ；当12x x x <<时，()'0f x <；当2x x >时，()0'>x f ； 故()x f 分别在()()+∞,,,021x x 上单调递增，在()21,x x 上单调递减. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，2>a ， 因为()()()()212
12
12121ln ln x x a x x x x x x x f x f ---+
-=-. 所以()()121212
1212
ln ln 11f x f x x x k a x x x x x x --==+
⋅--, 又由（1）知，121x x =，于是2
12
1ln ln 2x x x x a k ---=，
若存在a ，使得a k -=2，则1ln ln 2
12
1=--x x x x ，即2121ln ln x x x x -=-，
亦即()10ln 21
222
2>=--
x x x x （*） 再由（Ⅰ）知，函数()t t
t t h ln 21
--=在()+∞,0上单调递增，
而12>x ，所以01ln 211ln 21
222=-->--x x x ，这与（*）式矛盾，
故不存在a ，使得a k -=2. 22.解：（1）()⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪⎪⎨⎧
≥+<≤---<--=2,3221,1321,3x x x x x x x f
当1
2x <-，32,5x x --><-∴5x <-
当1
22x -≤<，312,1x x ->>，∴ 12x <<
当2x ≥，32,1x x +>>-，∴2x ≥ 综上所述{}
51-<>x x x 或.
（2）由（1）得()min 52f x =-，若()t t x f R x 211
,2-≥∈∀恒成立，
则只需()2min 51122t f x t =-≥-52
1
051122≤≤⇒≤+-⇒t t t ，
综上所述
52
1
≤≤t . 23.解：（1）∵26cos sin p θθ
=
，∴
22
sin 6cos ρθρθ=， ∴曲线C 的直角坐标系方程为x y 62=，曲线为以⎪⎭⎫
⎝⎛0,23为焦点，开口向右的抛物线.
（2）直线l 的参数方程可化为⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+=t y t x 232123，代入x y 62=得01242=--t t . 解得6,221=-=t t . ∴128AB t t =-=.。