弦张角为直角的一组性质

例1、已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线l：y＝kx＋m与椭圆C相交于A、B两点(A、B 不是左右顶点)，且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．
.
变式：已知双曲线
22221x y -=的两个焦点为F 1，F 2，P 为动
点，若12PF PF +=.
（Ⅰ）求动点P 的轨迹E 的方程；
（Ⅱ）设点M （0，1），过点N （0，13-）作直线l 交轨迹E 于A 、
B 两点，判断AMB ∠的大小是否为定值？并证明你的结论.
例2、如图1，已知A 、B 、C 是长轴为4的椭圆上三点，点A 是长轴
的一个顶点，BC 过椭圆中心O ，且0AC BC ⋅= ，2BC AC = 。

（1）建立适当的坐标系，求椭圆方程；
（2）如果椭圆上两点P 、Q 使直线CP 、CQ
与x 轴围成底边在x 轴上的等腰三角形， 是否总存在实数λ使PQ AB λ=
？
请给出证明。

参考解答
例1、[解析] (1)设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)， 由已知得：a ＋
c ＝3，a －c ＝1，
∴a ＝2，c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝3.
∴椭圆的标准方程为x 24＋y 23
＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ＋m x 24＋y 23＝1
得， (3＋4k 2)x 2＋8mkx ＋4(m 2－3)＝0，
∴Δ＝64m 2k 2－16(3＋4k 2)(m 2－3)>0
即3＋4k 2－m 2>0
x 1＋x 2＝－8mk 3＋4k 2，x 1·x 2＝4(m 2－3)3＋4k 2
， 又y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )
＝k 2x 1x 2＋mk (x 1＋x 2)＋m 2＝3(m 2－4k 2
)3＋4k 2
， 因为以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点D (2,0)，
∴k AD k BD ＝－1，即y 1x 1－2·y 2x 2－2
＝－1. ∴y 1y 2＋x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＝0.
∴3(m 2－4k 2)3＋4k 2＋4(m 2－3)3＋4k 2＋16mk 3＋4k 2
＋4＝0. ∴7m 2＋16mk ＋4k 2＝0.
解得m 1＝－2k ，m 2＝－2k 7
，且均满足3＋4k 2－m 2>0. 当m 1＝－2k 时，l 的方程为y ＝k (x －2)，直线过定点(2,0)，与已知矛盾；
当m 2＝－2k 7时，l 的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －27，直线过定点⎝⎛⎭⎫27，0.所以，直线l 过定点，定点坐标为⎝⎛⎭⎫27，0. 变式：（Ⅰ）解：依题意双曲线方程可化为12
1
212
2=-y x 则221=F F
∴12PF PF +=>221=F F
∴点P 的轨迹是以21,F F 为焦点的椭圆，其方程可设为22
221(0)x y a b a b
+=>>∴
由22a c ==
得1a c ==2
211b ∴=-=则所求椭圆方程为2
212
x y +=， 故动点P 的轨迹E 的方程为2
212
x y +=；………………3分 （Ⅱ）当l 与y 轴重合时，构不成角AMB ，不合题意． 当l y ⊥轴时，直线l 的方程为13y =-，代入2212x y +=解得A 、B 的坐标分别为41,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭、41,33⎛⎫- ⎪⎝⎭
而43MN =，∴90AMB ∠= ，猜测90AMB ∠= 为定值．………8分 证明：设直线l 的方程为13y kx =-，由 221322y kx x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩
，得()2241612039k x kx +--= ∴()1224312k x x k +=+ ，()
12216912x x k =-+ ………10分
∴()()11221212(,1)(,1)11MA MB x y x y x x y y ⋅=--=+-- 12124433x x kx kx ⎛
⎫⎛⎫=+-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
21212416(1)()39k k x x x x =+-++ ()()()222164416139
912312k k k k k -=+⋅-⋅+++()()()22221611616120912k k k k -+-++==+
∴ 90AMB ∠=
为定值。

(AB 与点M 不重合) ……13分 例2、【解】（1）以O 为原点，OA 所在的直线为x 轴建立如图直角坐标系，则A （2，0）， 椭圆方程可设为22
21(02)4x y b b
+=<<。

而O 为椭圆中心，由对称性知|OC|=|OB| 又0AC BC ∙= ，所以AC ⊥BC 又2BC AC = ，所以|OC|＝|AC|，
所以△AOC 为等腰直角三角形，所以点C 坐标为（1，1）。

将（1，1）代入椭圆方程得243
b =，则椭圆方程为22
3144
x y +=。

（2）由直线CP 、CQ 与x 轴围成底边在x 轴上的等腰三角形，设直线CP 的斜率为k ，则直线CQ 的斜率为－k ，直线CP 的方程为y -1=k (x -1)，直线CQ 的方程为y -1=-k (x -1)。

由椭圆方程与直线CP 的方程联立，消去y 得
(1+3k 2)x 2-6k (k -1)x +3k 2-6k -1=0①
因为C （1，1）在椭圆上，所以x ＝1是方程①的一个根，于是
2236113P k k x k --=+ 同理22
36113Q k k x k +-=+ 这样，13
P Q PQ P Q y y k x x -==-， 又B （－1，－1），所以13AB k =， 即k AB =k PQ 。

所以PQ∥AB ，存在实数λ使PQ AB λ=。