福建龙岩市2024届数学高一下期末检测试题含解析

福建龙岩市2024届数学高一下期末检测试题
请考生注意：
1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．ABC ∆中，,,a b c 分别是内角,,A B C 的对边，且()cos23cos 20B A C +++=，
3b =，则:sin c C 等于（ ）
A ．3:1
B ．3:1
C ．2:1
D ．2:1
2．某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150，120，180，150个销售点．公司为了调查产品销售情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本．记这项调查为①；在丙地区有20个大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务等情况，记这项调查为②，则完成①，②这两项调查宜采用的抽样方法依次是( ) A ．分层抽样法，系统抽样法 B ．分层抽样法，简单随机抽样法 C ．系统抽样法，分层抽样法
D ．简单随机抽样法，分层抽样法
3．若直线y x b =+与曲线234y x x =--有公共点，则b 的取值范围是（ ） A ．[122,122]-+ B ．[3,122]+ C ．[1,122]-+
D ．[122,3]-
4．已知圆C 的圆心与点(1,0)关于直线y x =对称，直线4320x y --=与圆C 相交于
A ，
B 两点，且6AB =，则圆
C 的半径长为( )
A ．10
B ．22
C ．3
D ．13
5．直线()
2140x m y +++=与直线 320mx y +-=平行，则m =（ ） A ．2
B ．2或3-
C ．3-
D ．2-或3-
6．已知等比数列{}n a 中，12a =，且有2
4674a a a =，则3a =( )
A ．1
B ．2
C ．14
D ．
12
7．已知变量，满足约束条件则
的最大值为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．6
8．不等式
2
23
x x -≤+的解集是（ ） A ．(,8]-∞-
B ．[8,)-+∞
C ．(,8][3,)-∞-⋃-+∞
D ．(,8](3,)-∞-⋃-+∞
9．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3S A =，6S B =，9S C =，则（ ） A ．2A+C =B B ．2AC B =
C ．2
A C
B B +-=
D ．22()A B A B C +=+
10．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知下列条件，ABC 只有一个解的是( )
A ．6a =，8b =，30A ︒=
B ．6a =，8b =，60A ︒=
C ．6a =，8b =，120A ︒=
D ．6a =，8b =，10c =
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11．已知{}n a 是等比数列，且0n a >，243546225a a a a a a ++=，那么
35a a +=________________．
12．向边长为2的正方形内随机投10000粒豆子，其中1968粒豆子落在到正方形的顶点A 的距离不大于1的区域内（图中阴影区域），由此可估计π的近似值为______.（保留四位有效数字）
13．数列{}n a 满足1211,3,(2)(1,2,)n n a a a n a n λ+===-=，则3a 等于______.
14．在等比数列{}n a 中，11a =，54a =，则3a =______________.
15．经过点(1,1)A 且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的直线方程是________.
16．已知直线6
x π
=
是函数()sin 3f x x πω⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
（其中6ω<）图象的一条对称轴，则ω的值为________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步
骤。

17．如图1，ABCD 为菱形，∠ABC ＝60°，△PAB 是边长为2的等边三角形，点M 为AB 的中点，将△PAB 沿AB 边折起，使平面PAB ⊥平面ABCD ，连接PC 、PD ，如图2，
（1）证明：AB ⊥PC ；
（2）求PD 与平面ABCD 所成角的正弦值
（3）在线段PD 上是否存在点N ，使得PB ∥平面MC ？若存在，请找出N 点的位置；若不存在，请说明理由 18．已知函数2()sin(
)sin 3cos 2
f x x x x π
=--.
(1)求()f x 的最小正周期和最大值； (2)求()f x 在2[
,]63
ππ
上的单调区间
19．如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，1AA ⊥平面ABCD ，AC 与BD 交于点O ，60BAD ∠=︒，2AB =，16AA = ．
（1）证明：平面1A BD ⊥平面11ACC A ； （2）求二面角1A A C B --的大小.
20．已知函数()2
x x
e e
f x -+=
. （1）判断函数奇偶性；
（2）讨论函数()f x 的单调性； （3）比较
()1f x +与()f x 的大小.
21．设2
()(1)2f x ax a x a =+-+-．
（1）若不等式()2f x ≥-对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围； （2）解关于x 的不等式()1f x a <-（a ∈R ）．
参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1、D 【解题分析】
试题分析：由已知()cos23cos 20B A C +++=得22cos -1-3cos 20B B +=，解得
cos =1B （舍）或1cos =2B ，又因为0B π<<，所以sin 2
B =
，由正弦定理得:sin =b:sin =2:1c C B .
考点：1、倍角公式；2、正弦定理. 2、B 【解题分析】
此题为抽样方法的选取问题．当总体中个体较少时宜采用简单随机抽样法；当总体中的个体差异较大时，宜采用分层抽样；当总体中个体较多时，宜采用系统抽样． 【题目详解】
依据题意，第①项调查中，总体中的个体差异较大，应采用分层抽样法；第②项调查总体中个体较少，应采用简单随机抽样法． 故选B ． 【题目点拨】
本题考查随机抽样知识，属基本题型、基本概念的考查． 3、D
【解题分析】
将本题转化为直线与半圆的交点问题，数形结合，求出b 的取值范围 【题目详解】
将曲线的方程234y x x =--化简为()()()2
2
23413,04x y y x -+-=≤≤≤≤
即表示以()23A ，
为圆心，以2为半径的一个半圆，如图所示：
由圆心到直线y x b =+ 的距离等于半径22322
b
-+=
解得122b =+或122b =-结合图象可得1223b -≤≤ 故选D 【题目点拨】
本题主要考查了直线与圆的位置关系，考查了转化能力，在解题时运用点到直线的距离公式来计算，数形结合求出结果，本题属于中档题 4、A 【解题分析】
根据题干画出简图，在直角ACD ∆中，通过弦心距和半径关系通过勾股定理求解即可。

【题目详解】
圆C 的圆心与点()1,0关于直线y x =对称， 所以，()0,1C ，设圆C 的半径为R ， 如下图，圆心C 到直线的距离为：2
2
032CD 134
--=
=+，
1
AD AB 32
=
=，22 3110R +=
【题目点拨】
直线和圆相交问题一般两种方法：第一，通过弦心距d 和半径r 的关系，通过勾股定理求解即可。

第二，直线方程和圆的方程联立，则0∆>。

两种思路，此题属于中档题型。

5、B 【解题分析】
两直线平行，斜率相等；按10m +=，0m =和10,0m m +≠≠三类求解. 【题目详解】
当10m +=即1m =-时，
两直线为240x +=，320x y -+-=， 两直线不平行，不符合题意； 当0m =时，
两直线为240x y ++= ，320y -= 两直线不平行，不符合题意；
当10,0m m +≠≠即1,0m m ≠-≠时， 直线2(1)40x m y +++=的斜率为2
1
m -+ ， 直线320mx y +-=的斜率为3m -
， 因为两直线平行，所以213
m
m -
=-+， 解得2m =或3-， 故选B. 【题目点拨】
本题考查直线平行的斜率关系，注意斜率不存在和斜率为零的情况. 6、A 【解题分析】
222467574,4a a a a a ==，572a a =，所以2
2311
, 1.2
q a a q =
==选A 7、D 【解题分析】 试题分析：把函数转化为
表示斜率为
截距为平行直线系，
当截距最大时，
最大，由题意知当直线过
和
两条直线交点
时
考点：线性规划的应用. 【题目详解】 请在此输入详解！ 8、D 【解题分析】 把不等式
223x x -≤+，化简为不等式8
03
x x +≥+，即可求解，得到答案. 【题目详解】 由题意，不等式223x x -≤+，可化为2(2)(26)8
20333
x x x x x x x ---+---==≤+++， 即
8
03
x x +≥+，解得8x ≤-或3x >-， 所以不等式的解集为(,8](3,)-∞-⋃-+∞. 故选：D. 【题目点拨】
本题主要考查了分式不等式的求解，其中解答中熟记分式不等式的解法，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 9、D 【解题分析】
根据等比数列前n 项和的性质可知A 、B A -、C B -成等比数列,即可得关于,,A B C 的等式,化简即可得解. 【题目详解】
等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若3S A =,6S B =,9S C = 根据等比数列前n 项和性质可知,A 、B A -、C B -满足：
()
()2
B A A
C B -=-
化简可得22()A B A B C +=+ 故选：D 【题目点拨】
本题考查了等比数列前n 项和的性质及简单应用,属于基础题. 10、D 【解题分析】
首先根据正弦定理得到sin b A ，比较sin b A 与,a b 的大小关系即可判定A ，B 错误，再根据大边对大角即可判定C 错误，根据勾股定理即可判定D 正确. 【题目详解】
对于A ，因为1
sin 842
b A =⨯
=，6a =， 所以sin b A a b <<，ABC 有两个解，故A 错误.
对于B ，因为sin 8b A ==，6a =， 所以sin a b A <，ABC 无解，故B 错误.
对于C ，因为a b <，所以A B <，即120B >，180A B +>， 所以ABC 无解，故C 错误.
对于D ，222+=a b c ，ABC 为直角三角形，故D 正确. 故选：D 【题目点拨】
本题主要考查三角形个数的判断，利用正弦定理判断为解题的关键，属于简单题.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11、5
先根据等比数列性质化简方程，再根据平方性质得结果. 【题目详解】
∵{}n a 是等比数列，且0n a >，243546225a a a a a a ++=，∴22
3355225a a a a ++=，
即2
35()25a a +=，则355a a +=．
【题目点拨】
本题考查等比数列性质，考查基本求解能力. 12、3.1 【解题分析】
根据已知条件求出满足条件的正方形ABCD 的面积，及到顶点A 的距离不大于1的区域（图中阴影区域）的面积比值等于频率即可求出答案． 【题目详解】
依题意得，正方形的面积4S =正方形，阴影部分的面积
4
π， 故落在到正方形的顶点A 的距离不大于1的区域内（图中阴影区域）的概率
4416
P π
π==
，
随机投10000粒豆子，其中1968粒豆子落在到正方形的顶点A 的距离不大于1的区域内（图中阴影区域）的频率为：1968
10000
，
即有：1968
16
10000
p π
=
=
，解得： 3.1488π=，故答案为3.1．
【题目点拨】
几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．解决的步骤均为：求出满足条件A 的基本事件对应的“几何度量” N （A ），再求出总的基本事件对应的“几何度量” N ，最后根据()
N A P N
求解．利用频率约等于概率，即可求解。

13、15 【解题分析】 先由1211,
3,(2)(1,2,)n n a a a n a n λ+===-=，可求出λ，然后由2n =，代入
已知递推公式即可求解。

111221321,3,,,(2)(2)2,
31,(21)515
n n n n a a a a n a a a n a a a λλλλ++=-=--∴=-==∴∴=+∴===
故答案为15. 【题目点拨】
本题考查是递推公式的应用，是一道基础题。

14、1 【解题分析】
根据已知两项求出数列的公比，然后根据等比数列的通项公式进行求解即可． 【题目详解】 ∵a 1＝1，a 5＝4 ∴公比44q = ∴22q =
∴该等比数列的通项公式a 3＝1⨯1＝1 故答案为：1． 【题目点拨】
本题主要考查了等比数列的通项公式，一般利用基本量的思想，属于基础题． 15、2x y +=或0x y -= 【解题分析】
当直线不过原点时，设直线的方程为x y a +=，把点(1,1)A 代入求得a 的值，即可求得直线方程，当直线过原点时，直线的方程为y x =，综合可得答案. 【题目详解】
当直线不过原点时，设直线的方程为x y a +=， 把点(1,1)A 代入可得：11a +=，即2a = 此时直线的方程为：2x y +=
当直线过原点时，直线的方程为y x =，即0x y -= 综上可得：满足条件的直线方程为：2x y +=或0x y -=
故答案为：2x y +=或0x y -= 【题目点拨】
过原点的直线横纵截距都为0，在解题的时候容易漏掉. 16、{5,1}- 【解题分析】
根据正弦函数图象的对称性可得,6
3
2
k k Z π
π
π
ωπ⋅+
=+
∈，由此可得答案.
【题目详解】
依题意得()sin()16
63
f ππ
π
ω=⋅
+=±， 所以,6
3
2
k k Z π
π
π
ωπ⋅
+
=+
∈，
即61,k k Z ω=+∈，
因为6ω<，所以1ω=或5ω=-， 故答案为：{5,1}- 【题目点拨】
本题考查了正弦函数图象的对称轴，属于基础题.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、 (1)证明见解析 (2)．(3)存在，PN 13PD =．
【解题分析】
（1）只需证明AB ⊥面PMC ，即可证明AB ⊥PC ；
（2）由PM ⊥面ABCD 得∠PDM 为PD 与平面ABCD 所成角，解△PDM 即可求得PD 与平面ABCD 所成角的正弦值．
（3）设DB ∩MC ＝E ，连接NE ，可得PB ∥NE ，1
2
BE PN ED ND ==．即可． 【题目详解】
（1）证明：∵△PAB 是边长为2的等边三角形，点M 为AB 的中点， ∴PM ⊥AB ．
∵ABCD 为菱形，∠ABC ＝60°．∴CM ⊥AB ，且PM ∩MC ＝M ， ∴AB ⊥面PMC ，
∵PC ⊂面PMC ，∴AB ⊥PC ；
（2）∵平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ∩平面ABCD ＝AB ，PM ⊥AB ． ∴PM ⊥面ABCD ，
∴∠PDM 为PD 与平面ABCD 所成角．
PM 3=，MD 220122121207cos =+-⨯⨯⨯=，PD 2210PM MD =+=
sin ∠PMD 330
1010
PM PD =
==
， 即PD 与平面ABCD 所成角的正弦值为30
10
． （3）设DB ∩MC ＝E ，连接NE ， 则有面PBD ∩面MNC ＝NE ， ∵PB ∥平面MNC ，∴PB ∥NE ． ∴
1
2
BE PN ED ND ==． 线段PD 上存在点N ，使得PB ∥平面MNC ，且PN 1
3
PD =
．
【题目点拨】
本题考查了面面垂直的性质定理、线面垂直的判定定理、线面角，利用线面平行的性质定理确定点N 的位置是关键，属于中档题．． 18、（1）f (x )的最小正周期为π，最大值为
23
2
-； （2）f (x )在5[
,
]612ππ
上单调递增；在52[
,]123
ππ
上单调递减． 【解题分析】
（1）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性和最值求得()f x 的最小正周期和最大值． （2）根据[]20,3
x π
π-∈，利用正弦函数的单调性，即可求得()f x 在2[,
]6
3
ππ
上的单调
区间． 【题目详解】
解：（1）函数23
()sin()sin 3cos sin cos2)2f x x x x x x x π=-=+
1333
sin 2cos 2sin(2)22232
x x x π=--=--
， 即()3
sin(2)32
f x x π=--
故函数的周期为22T ππ=
=，最大值为3
12
-． （2）当2[,
]63
x ππ
∈ 时，[]20,3
x π
π-∈，
故当023
2
x ππ
-
时，即5[
,]612x ππ
∈时，()f x 为增函数；
当223x ππ
π-时，即52[,]123
x ππ∈时，()f x 为减函数； 即函数()f x 在5[,
]612ππ
上单调递增；在52[
,]123
ππ
上单调递减． 【题目点拨】
本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性和最值，正弦函数的单调性，属于中档题．
19、 (1)证明见解析；(2) 45︒﹒ 【解题分析】
(1) 证面面垂直只需证一个平面内有一条直线和另一个平面垂直 (2) 通过作图需找二面角的平面角即可 【题目详解】
（1）证明：由1AA ⊥平面ABCD ，有1AA BD ⊥; 由四边形ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD ：
又因为1AC AA A =∩，所以BD ⊥平面11ACC A ， 因为BD ⊂平面1A BD ，所以平面1A BD ⊥平面11ACC A ， （2）过O 作1OE A C ⊥于E ，连结BE ，
由（1）知BD ⊥平面11ACC A ，所以1BD A C ⊥，
又因为1OE A C ⊥，OE
BD O =，
所以1A C ⊥平面BDE ，从而1A C BE ⊥； 由1OE A C ⊥，1BE A C ⊥，
所以∠OEB 为二面角1A A C B --的平面角. 由ABD △为等边三角形且O 为BD 中点，有12OB =
，1AB =
，OA OC ==
，AB =由1AA AC ⊥
，有1AC ==
由1A AC OEC ∽，有
11OE OC AA A C =
，从而11
1OC AA OE AC ⋅=
==. 在OEB 中，BO OE ⊥，所以tan 1OB
OEB OE
∠==，即45OEB ∠=︒. 综上，二面角1A A C B --的大小为45︒﹒ 【题目点拨】
面面垂直可通过线面垂直进行证明，二面角的平面角有正有负，解题时要注意结合题设关系进行正确判断
20、（1）()f x 是偶函数（2）见解析（3）()1f x +<()f x
【解题分析】
（1）由奇偶函数的定义判断； （2）由单调性的定义证明；
（3）由于函数为偶函数，因此只要比较()1f x +与()f x 的大小，因此先确定1
x +与x 的大小，这就得到分类标准． 【题目详解】
（1）,()(),()2
x x e e x R f x f x f x -+∈-==∴是偶函数
（2）当(0,)x ∈+∞时，()f x 是增函数；当(,0)x ∈-∞时，()f x 是减函数；先证明当(0,)x ∈+∞时，()f x 是增函数 证明：任取12,(0,)x x ∈+∞，且12x x <，则
()()()22112121
21111222x x x x x x x x e e e e f x f x e e e
--+++⎡⎤
⎛
⎫-=-=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
12,(0,)x x ∈+∞，且2112
121,0,10x x x x x x e e e
+<∴->-
>，
()()21f x f x ∴>，即：当(0,)x ∈+∞时，()f x 是增函数
∵()f x 是偶函数，∴当(,0)x ∈-∞时，()f x 是减函数. （3）要比较
()1f x +与()f x 的大小，∵()f x 是偶函数，∴只要比较()1f x +与
()f x 大小即可.
当1x x +≥时，即2
1
x ≥-时，∵当(0,)x ∈+∞时，()f x 是增函数， ∴()1f
x +≥()f x
当1x x +<时，即当2
1
x <-时，∵当(0,)x ∈+∞时，()f x 是增函数， ∴()1f
x +<()f x
【题目点拨】
本题考查函数的奇偶性与单调性，掌握奇偶性与单调性的定义是解题基础． 21、（1）1
3
a ≥
（2）见解析 【解题分析】
（1）由不等式()2f x ≥-对于一切实数x 恒成立等价于2
(1)0ax a x a +-+≥对于一切
实数x 恒成立，利用二次函数的性质，即可求解，得到答案．
（2）不等式()1f x a <-化为2
(1)10ax a x +--<，根据一元二次不等式的解法，分
类讨论，即可求解． 【题目详解】
（1）由题意，不等式()2f x ≥-对于一切实数x 恒成立，等价于2
(1)0ax a x a +-+≥对
于一切实数x 恒成立．
当0a =时，不等式可化为0x ≥，不满足题意；
当0a ≠时，满足00a >⎧⎨∆≤⎩，即()22
0140
a a a >⎧⎪⎨--≤⎪⎩，解得1
3a ≥． （2）不等式()1f x a <-等价于2
(1)10ax a x +--<．
当0a =时，不等式可化为1x <，所以不等式的解集为{|1}<x x ； 当0a >时，不等式可化为(1)(1)0ax x +-<，此时1
1a
-<， 所以不等式的解集为1
{|1}x x a
-
<<； 当0a <时，不等式可化为(1)(1)0ax x +-<， ①当1a =-时，1
1a
-
=，不等式的解集为{|1}x x ≠； ②当10a -<<时，1
1a -
>，不等式的解集为11x x x a ⎧⎫>-<⎨⎬⎩⎭
或；
③当1a <-时，1
1a -<，不等式的解集为11x x x a ⎧⎫><-⎨⎬⎩
⎭或．
【题目点拨】
本题主要考查了不等式的恒成立问题，以及含参数的一元二次不等式的解法，其中解答中熟记一元二次不等式的解法，以及一元二次方程的性质是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于中档试题．。