微分几何测试题集锦(含答案)

微分几何测试题集锦(含答案)
《微分几何》测试题（一）
一．填空题：（每小题2分，共20分）
⒈向量r(t)??t,3t,a?具有固定方向，则a=___t__。

??? ⒉非零向量r(t)满足?r,r,r??0的充要条件是以该向量为切
方向的曲线为平面曲线
⒊设曲线在P点的切向量为?，主法向量为?，则过P由?,?
确定的平面
是曲线在P点的___密切平面__________。

⒋曲线r?r(t)在点r(t0)的单位切向量是?，则曲线在r(t0)点
的法平面方
程是__________________________。

⒌曲线r?r(t)在t = 1点处有??2?，则曲线在t = 1对
应的点处其挠率
?(1)。

⒍主法线与固定方向垂直的曲线是__ 一般螺线_ _ ⒎如果曲线的切向与一固定方向成固定角，则这曲线的曲
率与挠率的比是___常数_________________。

)y点(x0,y0,z0的⒐曲面z?(z,x在)法线方程是
_____________________。

1
二．选择填空题：（每小题3分，共30分）
11、若曲线的所有密切平面经过一定点，则此曲线是___C___。

A、直线
B、平面曲线
C、球面曲线
D、圆柱螺线
12、曲线r?r(t)在P(t)点的曲率为k , 挠率为?，则下列式子___A___不正确。

A、k?
13r??r??r?2 B、k?对于曲r??r??r?3 C、k?r D、??的第一基本?r?r??r???? 2?r??r???形式、面
I?Edu2?2Fdudv?Gdv2,EG?F2__D___。

A、?0
B、?0
C、?0
D、?0
三．计算与证明题：（22题14分，其余各9分）
21、已知圆柱螺线r??cost,sint,t?，试求
??0,1, ⑴在点???的切线和法平面。

?2? ⑵曲率和挠率。

22、对于圆柱面?:r???cos?,?sin?,u?，试求
⑴?的第一、第二基本形式；
2
⑵?在任意点处沿任意方向的法曲率；
⑶?在任意点的高斯曲率和平均曲率；
⑷试证?的坐标曲线是曲率线。

《微分几何》测试题（二）
一．单项选择题（2×10=20分）
1．若向量函数r?r(t)的终点在通过原点的一条直线上，则
( )
A．r?(t)是定长的； B. r?(t)是定向的；
C．r?(t)?1； D. r'(t)?2.
2．对于向量函数r(t)，若r(t)?r?(t)，则( )
A．r(t)是定长向量； B.r?(t)定长向量；
C．r(t)是定向向量； D.r?(t)是定向向量.
3．设a,b均为非零向量，且ab?0，则（）
Ａ.a,b线性相关；Ｂ.a,b线性无关；Ｃ.a可以由b线性表示；
D.b可以a由线性表示.
4．挠率??0,曲率k?2的曲线是( )
A．半径为4的圆； B.半径为的圆；1
4
3
C．半径为2的圆； D.半径为的圆.
5．空间曲线的形状由( )决定
A．由曲率和挠率； B. 仅由曲率；
C．仅由挠率； D. 由参数的选取.
6．曲率是常数的曲线( )
A．一定是直线； B. 一定是圆；
C．一定是球面上的曲线；.答案A,B,C都不
对.
7．设S 是球面，则( )
A．S上每一点是双曲点； B. S上每一点是抛物点；
C．S上的圆的?指向球心； D. S上的测地线的?指
向球心.
8．若曲面S在每一点的高斯曲率为，则它可以与半径为( ) 的球面贴合
A．； B. 2； C. ； D. 4.
9．圆柱螺线r?{acost,asint,bt} 在任一点的切线与z轴的夹角?( ) 12141214
A．为；90? B. 0?； C. 与t有关； D. 与b
有关.
4
10．设非直线的曲线C是曲面S: r?r(u,v)上的测地线，则有
( )
A. C在每一点?∥n;
B. C在每一点??n;
C. C在每一点?∥n;
D. C在每一点???n.
一．判断题（2×10=20分）
1．向量函数r?r?t?满足??r?t?dt,r?t?,r??t???0，则必有一常向量a，满足a⊥r?t?.
2．如果曲线C: r?r?t?的所有向径共面，则r??t?必与某一固
定向量垂直.
3．曲线的形状只由曲率和挠率决定.
( )
4．直纹面上的直母线一定是曲率线. （）5．若曲面S与一个半径为R的球面沿一个半径为r?0?r?R?的圆C相切，则C是S上的测地线.
6．如果两个曲面S1与S2之间的一个对应关系，使得它们在对应点有相同的高斯曲率，则S1与S2 等距等价.
7．设曲面S：r=r?u,v?, 如果L:E?M:F,则v—线是曲率线.
5
（）
8．设曲面S：r=r?u,v?，如果L:M:N?E:F:G，则曲面上的
所有曲线都是曲率线.
9．曲面上任意两点的连线中，测地线段最短.
（）
10．球面上的曲率线是大圆.
（）
二．计算题（10×4=40分）
1．求曲线C：r=?at,bt2,ct3?｝上在t?0处的密切面方程. 2．已知曲线C：r=r?s?（s是弧长参数）的曲率和挠率分别是? 和?,且?是不为零的常数，求曲线C：r=?(s)???(s)ds的?1
曲率和挠率.
3．求曲面z?xy2上的渐近线.
4．求圆环面S：r={ (b+acos?)cos? , (b+acos?)sin? , a
sin? }
?0???2?,0???2?? 上的椭圆点，双曲点和抛物点.
6
三．证明题（10×2=20分）
1．证明：如果曲线的所有?都经过一个固定点，则曲线是以固定点为圆心的圆.
2．设C是半径为R的球面上半径为r?0?r?R?的圆，?g是曲率.证明：
κg?211?. r2R2
B
一．单项选择题（2×10=20分）
1．设a?{1,0?3},b?{?2,x,6}，若a∥b 则( )
A．x??； B. x??2；C. x?0； D. x为任意实数.
2．设曲线C: 满足r?(t)?1 则( )
A. C是单位球面上的曲线；
B. t是C的弧长参数；
C. 变向量r(t)具有固定方向；
D. 变向量r(t)具有固定长度. 3．若向量函数r?r(t)对于任意t 都有r(t)?1. 则
( )
A. r(t)是定向的向量；
B. r(t)是定长的向7 12 量；
C. r?t??r??t??0；
D. r??t??r???t??0. 4．可展曲面上每一点都是( )
A. 椭圆点；
B. 抛物点；
C. 圆点；
D. 平点.
5．若曲线C的曲率k?2,??0 则( )
A. C是半径为2的圆;
B. C是半径为的圆;
C. C是半径为2的圆;
D. C是半径为
圆.
6．曲面上与u线正交的曲线满足( )
A. Ldu?Mdv?0;
B. Edu?Fdv?0;
C. Ldu?Ndv?0;
D. Edu?Gdv?0.
7．设曲面S上一条非直线的曲线C是S上的测地线，则( )
A．C在每一点，?∥n； B. C在每一点,???n；C．C在每一点，?∥n； D. C在每一点，??n. 8．在曲面S: r?r(u,v)上，u线的微分方程是( ) A．dudv?0； B. du?0；
C．dv?0； D. du?dv.
8 1212的
9．若两个曲面等距等价，则( )
A.它们有相同的第一基本形式；
B.它们有相同的第二基本形式；
C．它们有相同的第三基本形式；
D.把其中一个经过连续的弯曲变形，就能和另一个贴合. 10．若曲面S:r?r(u,v)上任一点，都有F?M?0，则( )
A．参数曲线网是渐近线网； B.参数曲线网是曲率线网；
C．参数曲线网是测地线网； D.答案A,B,C都不对.
二．判断题（2×10=20分）
1.向量函数r?r?t?满足?r?t?,r??t?,r???t???0, 则必有一常向量a，满足a⊥r?t?.（)
2．如果曲线C: r?r?t?的所有向径共面，则C就在通过原点的一个平面上.（）
3. 曲线C：r=r?s?与曲线C：r=??s?在s?s0处有相同的
曲
率
.
9
（
）
4. 曲率是常数2的曲线一定是半径为的圆. （）
5. 设S是平面，则S上每一点，都有?1=?2=0.
( )
6.
( )
7. 可展曲面上没有双曲点球面上的圆的?12指向球心. .
( )
8. 高斯曲率K≡0的曲面一定是某一条曲线的切线曲面.
( )
9. 若曲面S与一个半径为R的球面沿一个半径为
r?0?r?R?的圆C相切，则S在C上每一点，沿着C的方向，都有，?n =r. ( )
10. 两个常高斯曲率曲面一定等距等价. （）
10
三．计算题（10×4=40分）
1. 求曲线C：r=｛
挠率.
2. 设曲线C：r=?acost,asint,?f?t?dt?是平面曲线，求f(x).
3. 求圆柱面r=?Rcosu,Rsinu,v?在?u0,v0?处的切平面方程，
并说明，沿任意一条直母线，只有一个切平面.
4. 求曲面S：r=?a?u?v?,b?u-v?,uv??a?0,b?0?的高斯曲率.
四．证明题（10×2=20分）
1．证明：如果一条曲线C：r=r(s) (s是弧长参数)的所
有从切面都经过一个固定点，则C 的挠率和曲率之比是s的一次函数.
2．?1?证明：可展曲面上的直母线是曲率线. 5812cost, ?sint, cost｝的曲率和131313
?2?证明：如果可展曲面Ｓ上有两族直母线，则Ｓ是平
面.
《微分几何》测试题（三）
一．填空题：（每小题2分，共20分）
⒈r(t)具有固定方向的充要条件是______________________。

⒉挠率______________________的曲线其副法向量是常矢。

⒊曲线r?r(t)在P(t0)点的主法向量是?，则曲线在P点的从切面方程是11 。

⒋如果一曲线的主法线与一固定方向垂直，则这曲线的副法线与这固定方向。

⒌曲面上的曲纹坐标网是渐近网的充要条件是________________。

6．曲面上一曲线，如果它每一点的切方向都是主方向，则称该曲线为____________。

7．半径为R的球面的高斯曲率K= .
8. 一个曲面为可展曲面的充分必要条件是它的______________恒等于零。

9. 曲面上坐标网是平面上极坐标网在曲面上的推广。

10．在可展曲面上，测地三角形的三内角之和?。

二．选择填空题：（每小题3分，共30分）
1、圆柱螺线x?cost,y?sint,z?t在点?1,0,0?的切线为______。

x?1yz?? B、y?z?0 011
x?1yz?? D、y?z?0 C、100A、
2、曲面的三个基本形式之间的关系为______。

A、Ⅲ+2HⅡ+KⅠ=0
B、Ⅲ-2HⅡ+KⅠ=0
C、Ⅲ-2KⅡ+HⅠ=0
D、Ⅲ-2HⅡ-KⅠ=0
3、在直纹面r?a(u)?vb(u)（b(u)为单位向量）中，导线a(u)是腰曲线的
充要条件是_____。

A、a??b??0
B、a?//b?
C、a?b?0
D、a//b
4、曲面的坐标网是正交网的充要条件是_____。

A、M = 0
B、L = N = 0
C、M = F = 0
D、F = 0
5、下列曲面中_____不是可展曲面。

A、柱面
B、锥面
C、一条曲线的切线曲面
D、正螺面
6、曲面上，不是曲面的内蕴量。

A、两曲线的夹角
B、曲线的弧长
C、曲面域的面积
D、在一点沿一方向的法曲率
7、曲面r?r(s,t)，n是其单位法向量，是不正确的。

A、N = rtt?n
B、N = ?rt?nt
C、N = rt?nt
D、N = n?rtt
9、球面r?(Rcos?cos?,Rcos?sin?,Rsin?)的坐标曲线构不成。

12
A、正交的渐近网
B、共轭网
C、曲率线网
D、半测地坐标网
10、曲线r?r(s)在P点的基本向量是?,?,?,曲率为k(s) ,挠率为?(s)，则?(s)。

A、??
B、??
C、??
D、???
三．计算题：（1、2题各10分，3题8分，共26 分）
1、求螺线x?cost,y?sint,z?t上点?1,0,0?的曲率和挠率。

2、确定螺旋面x?ucosv,y?usinv,z?cv上的曲率线和在任一点的高斯曲率。

四．证明题：（每小题8分，共24分）
1．证明：如果曲线的所有密切平面垂直于某个固定直线，那么它是
平面曲线。

《微分几何》测试题（四）
一、填空题（每小题2分，共20分）
1、变矢(t)满足?'?的充要条件是______________________。

2、曲线（C）上P点处的三个基本向量为、、?，则过P点由和?确定的平面叫曲线（C）在P点的________________________。

3、若曲线在各点的曲率_________________，则曲线是直线。

4、曲线穿过__________和密切平面，但从不穿过_______________。

5、一般螺旋线的切线和一固定方向成固定角，而它的主法线与这个固定方向________________。

6、两个曲面间的变换是_________________的充要条件是适当选择参数后，它们有相同的第一基本形式。

7、曲面在非直线的渐近曲线上每点处的切平面一定是渐近曲线的
________________________。

9、曲面的高斯曲率为K，测地曲率为可kg ，G是单连通曲面域，G 的边界?G是一条光滑闭曲线，则??Kd??__________
G?2?。

二、选择题（每小题3分，共30分）
11、若曲面S上曲线（C）是平面曲线，则一定有_____恒等于零。

13
A、法曲率k n
B、挠率τ
C、测地曲率k g
D、曲率k
12、在圆柱面上，圆柱螺线是_____。

A、平面曲线
B、曲率线
C、测地线
D、渐近线
13在椭圆抛物面上，高斯曲率K_____。

A、大于零
B、小于零
C、等于零
D、不确定
14、设、、?是曲线（C）在一点的三个基本向量，则??=_____（k,τ分别表示曲线在该点的曲率和挠率）。

A、k
B、τ?
C、－τ
D、τ
15、曲面的曲纹坐标网是正交网的充分必要条件是_____。

A、F= 0
B、M = 0
C、F = M = 0
D、L = N = 0
16、曲面上的直线不一定是_____。

A、渐近线
B、曲率线
C、测地线
D、法截线
19、下列直纹曲面中，_____是可展曲面。

A、锥面
B、单叶双曲面
C、双曲抛物面
D、挠曲线的主法线曲面
三、解答与证明题(22题、24题各9分，其余各8分)
21、求曲线r(t) = { t , t , e } 在t = 0点的密切平面和主法线。

22、求曲线r(t) = {a (1－sint) , a (1－cost) ，b t } 的曲率和挠率。

23、证明：如果一条曲线的所有法平面包含常向量，那么这条曲线是直线或平面曲线。

2 2 24、求抛物面z = a ( x+ y) 在( 0 ,0 ) 点的高斯曲率和平均曲率。

25、证明挠曲线（C）的主法线曲面不是可展曲面。

2 t
《微分几何》试题（五）
一．填空题：（每小题2分，共20分）
⒈变矢r(t)具有固定方向的充要条件是__________________。

⒉设曲线（C）的参数表示是r?r(s)，s是弧长，则??r___________。

14 r叫作曲线(C)的
⒊如果曲线在各点的曲率____________，则曲线是直线。

⒋曲线r?r(t)在P点有挠率?=3，则曲线r?r(t)在P点附近的形状是
__________。

⒌一般螺线的切线和一固定方向成固定角，而它的副法线与这个固定方向__________。

⒍两个曲面之间的变换是_________的充要条件是适当选择参数后，它们有相同的第Ⅰ基本形式。

⒎曲面的第一类基本量是E、F、G，第二类基本量是L、M、N。

则曲面上曲率线的微分方程是。

⒏在曲面上非直线的测地线除了测地曲率为零的点以外，曲线的
________重合于曲面的法线。

⒐曲面上一点(非脐点)的主曲率是曲面在这点所有方向的法曲率中
的__________。

⒑曲面上连接两点P、Q的________是曲面上连接P、Q的曲线中弧长最短的曲线。

二．选择填空题：(每小题3分，共30分)
11、若曲面S上曲线(C)恒有法曲率?n=0，则曲线一定是曲面上的
_______。

A、渐近曲线
B、平面曲线
C、曲率线
D、测地线
12、在圆柱面上，圆柱螺线是______。

A、平面曲线
B、曲率线
C、测地线
D、渐近线
13、在曲面上的双曲点，LN?M_____。

A、大于零
B、小于零
C、等于零
D、不确定
14、设?,?,?是曲线(C)在一点的三个基本向量，则?=_____。

（k,?分别表示曲线在该点的曲率和挠率）
A、k?
B、??
C、???
D、??
15、正螺面r?{ucosv,usinv,bv}的第二基本形式是_____。

A
、?222 B
222?0 22C、du?(u?b)dv D、(u?b)du?dv
16、曲面的曲纹坐标网是渐近网的充要条件是_______。

15 2
A、M=0
B、F=M=0
C、F=0
D、L=N=0
17、若曲面在其上某点处的两个主曲率分别为2，1，则这点是曲面的_____。

2
A、椭圆点
B、双曲点
C、抛物点
D、脐点
18、曲面在一点的单位法向量是n，则在同一点的方向dr是主方向的充要条件是______。

A、dn?dr?0
B、存在方向?r使dn??r?0
C、存在方向?r使?n?dr?0
D、drdn‖dr
19、在下列直纹曲面中，_____是可展曲面。

A、双曲抛物面
B、挠曲线的副法线曲面
C、挠曲面的切线曲面
D、单叶双曲面
20、一条有拐点的曲线绕一直线旋转所得旋转曲面上的点是______。

A、椭圆点
B、抛物点
C、双曲点
D、A或B或C
三．解答与证明题（21、22各9分，23-26各8分）
21、求圆柱螺线x?acost,y?asint,z?t在点(a,0,0)处的密切平面和主法线。

22、求曲线r(t)??a(1?sint),a(1?cost),bt?的曲率和挠率。

23、证明：如果曲线的所有切线都经过一个定点，则此曲线是直线。

24、求抛物面z?a(x?y)在(0,0)点的高斯曲率和平均曲率。

25、证明曲线(C)的副法线曲面是可展曲面的充要条件是曲线(C)为平面曲线。

26、求证旋转曲面r???(u)cos?,?(u)sin?,?(u)?的径线是测地线。

（其
中?(u)?0）。

22
16。