推荐-棠湖中学高2018级高考系列模拟训练数学试题(一)

棠湖中学高2018级高考系列模拟训练
数学试题（一）参考答案
一、选择题
1．C 2．C 3．D 4．B 5．C 6．A 7．A 8．B 9．C 10．B 11．D 12．B 二、填空题
13．①②③； 14．12π； 15．3
3
16．n 2+n+1. 三、解答题 17．解法一：
21)()(),1()(,1,09)()(),1()(,1,0611
,02cos 2)
2
,0(2),4,0(42cos 21sin 22cos 2)
1,sin 2
1
(),1,sin 4(),1,2(),2cos ,1(:21)()(,02cos 2,001)()(,02cos 2,00
2cos ),2
,0(2),4,0(82cos 2)sin (cos 2)()(cos 2|2cos 1|)(42cos 21sin 22cos 2)
1,sin 21
(),1,sin 4(),1,2(),2cos ,1(22222'
⋅<⋅∴+∞-=><'⋅>⋅∴+∞-=>>'
>⋅>⋅∴>⋅>=⋅-⋅∴∈∴∈'-=+=⋅+=⋅∴===='
⋅<⋅<<'⋅>⋅>>∴>∴∈∴∈'=-=⋅-⋅=+=⋅∴'
-=+=⋅+=⋅∴==== f f m m x x f x m f f m m x x f x m d c f b a f m m d c f b a f m m m m f f m m f 上递减在时则当若上递增在时则当若且解法二即时当即时当于是有θπ
θπθθθθθθθθθθπ
θπθθθθθ
θθθθ
θθθ
18．解法一：
（I ）由已知3
8
213131=⋅⋅⋅=⋅=
∆-PG GC BG PG S V BCG BGC P ∴PG=4…………2′
如图所示，以G 点为原点建立空间直角坐标系o —x yz ， 则
B （2，0，0），
C （0，2，0），P （0，0，4）
故E （1，1，0）
10102022
,cos 3)4,2,0(),0,1,1(=
⋅=
>=
<'-== ∴异面直线GE 与PC 所成的角为arccos
10
10
……………………4′ （II ）平面PBG 的单位法向量)0,1,0(0±=n
6)0,23
,23(45,22
3||43||'
-=∴=∠==
CGD
∴点D 到平面PBG 的距离为2
3
||0=⋅n ……………………8′ （III ）设F （0，y , z ）
2
3
0)2
3
(2)0,2,0()0,23,23(0,01)0,2,0()
,23
,23()0,23,23(),,0(=
∴=-=⋅-∴=⋅∴⊥'
=-=--=-=y y y GC z y z y OD OF DF 则
在平面PGC 内过F 点作FM ⊥GC ，M 为垂足，则2
1,23==
MC GM 3==∴
MC
GM
FC PF ……………………………………………………………………12′ 解法二：
（I ）由已知3
8213131=⋅⋅⋅=⋅=
∆-PG GC BG PG S V BCG BGC P ∴PG=4…………2′
在平面ABCD 内，过C 点作CH//EG 交AD 于H ，连结PH ，则
∠PCH （或其补角）就是异面直线GE 与PC 所成的角.………………3′ 在△PCH 中，18,20,2===
PH PC CH
由余弦定理得，cos ∠PCH=
10
10 ∴异面直线GE 与PC 所成的角为arccos
10
10
……………………4′ （II ）∵PG ⊥平面ABCD ，PG ⊂平面PBG ∴平面PBG ⊥平面ABCD
在平面ABCD 内，过D 作DK ⊥BG ，交BG 延长线于K ，则DK ⊥平面PBG ∴DK 的长就是点D 到平面PBG 的距离…………………………6′
22
3434322===
∴=BC AD GD BC 在△DKG ，DK=DGsin45°=23
∴点D 到平面PBG 的距离为2
3
……………………………………8′
（III ）在平面ABCD 内，过D 作DM ⊥GC ，M 为垂足，连结MF ，又因为DF ⊥GC ∴GC ⊥平面MFD ， ∴GC ⊥FM
由平面PGC ⊥平面ABCD ，∴FM ⊥平面ABCD ∴FM//PG 由GM ⊥MD 得：GM=GD ·cos45°=
2
3
…………………………10′ 332
1
23
=⊥∴===FC
PF
GC DF MC GM FC PF 可得
由 …………12′ 19．解：x x x x
x x f 2cos 322sin 2332sin 22
2cos 1322cos 135)(+-=--⋅++⋅
= =).3
2sin(433π
-
-x ……4分
].2
2,21[)32sin(,4326,2474∈-∴≤-≤∴≤
≤ππππππ
x x x
……6分
)(,247,432x f x x 时即当π
ππ==-∴取最小值.2233-……8分
]247,4[)32sin(πππ在-=x y 上递增，……10分 ]24
7,4[)(π
π在x f ∴上是减函数.…12分
20．解：（1）令x=－1，y=0，得f （－1）[1－f （0）]=0，
因f （－1）＞0，所以f （0）=1
（2）由递推公式可知，f （a n+1）f （－2－a n ）=1，
即f （a n+1－2－a n ）=f （0），由函数的单调性可知， a n+1－a n =2，（n ∈N +），又a 1=1，故a n =2n －1
（3）S n =
32（1－n 4
1）T n =21（11a －11+n a ）=12+n n ，欲比较S n 与34T n 的大小，只需
比较4n 与2n+1大小，因4n =（1+3）n ＞1+3n ＞2n+1，从而S n ＞
3
4
T n
21．（I ）解法一：设P(x 0,y 0), Q(x ,y )
7)3(5,1)3(1:)2()1(2)2(1)
1(1,),0,(),0,(422224
222222
22222222
222220000
00
0000
'=--='=-∴=-=-⋅-⨯'⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-⋅--=+⋅+∴⊥⊥- a y b x a a a x y b a b a x y b y a x a
x y a x y a
x y a x y a x y a x y PA QA PB QB a B a A 即得代入得由 经检验点)0,(),0,(a a -不合
因此Q 点的轨迹方程为a 2x 2－b 2y 2=a 4（除点（－a ,0）,(a ,0)外）…………8′ （I ）解法二：设P(x 0,y 0), Q(x ,y), ∵A(－a , 0), B(a , 0), QB ⊥PB, QA ⊥PA
8))0,(),0,((70
,,1
)(:1)4)(3(5)4())(())((:)2()3()
3(22)2()1()
2()()
1()(2114222242222222
222222
2202202200002
002000000
'
-=-∴'
=-∴≠-∴±==--=-'
-=-+=---=-=∴-=-⎪⎩⎪⎨⎧-=+---=++∴'⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-⋅--=+⋅+∴ 外除点点轨迹方程为不合题意时当得代入把解得代入把得由a a a y b x a Q a y b x a a x a x b
y a x a x b y a x y
a x y a x a x y a x a x y x x ax ax a ax yy x a x a ax yy x a x a
x y a x y a x y a x y
（I ）解法三：设P(x 0,y 0), Q(x ,y), ∵PA ⊥QA ∴
100-=-⋅-a
x y a x y ……（1）…………………………………………1′
连接PQ ，取PQ 中点R
21211121
)2(112
011
11111
)(:)(8))0,(),0,((7:0
,,1)(,1)3)(2(5)3(1
:)1()2(3)2(,02
|,|||||2
1
|||,|21||,,2
2212
2222222
42
22
42
22
24222242222222
22
22222202202
20022000'
≤<∴'
=-+
≤∴≥'-+=-+=+=+==-'-=-∴'
=-≠-∴±==--=-'
-=∴-=-'-==+∴
∴=∴==∴⊥⊥ e e e e a c a b a a b a a e b a
y a x C I II a a a y b x a Q a y b x a a x a x b
y a x a x b y a x y a x y x
a y
y x x x
x y R RB RA PQ RB PQ RA PB QB QA PA 的方程为得由解外除去点点轨迹方程为整理得不合题意时得代入把得代入把即轴上
点在
22．解：（1）如图，∵|PC|=|PB|，所以P 在BC 线段的垂直平分线上，又∵|PB|－|PA|=4，所以P 在以A 、B 为焦点的双曲线的右支上，以AB 中点为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系，
则A （3，0），B （－3，0），C （－5，23），
所以双曲线方程为
42x －5
2
y
=1，x ＞0， BC 的垂直平分线方程为x －3y+7=0
联立两方程解得x=8，∴P （8，53）， k PA =tan ∠PAx=3，∠PAx=60°
所以P 点在A 点的北偏东30°处。

x
（2）如图，设|PQ|=h ，|PB|=x ，|PA|=y ， ∵
1||QB －1
||QA =22h x +－2
2h y + =（x －y ）2
222h y h x y
x ++++，
又
2
2
2
2
h
y h x y
x ++++＜1
∴1||QB －1||QA ＜1||PB －1
||PA ，
故A 、B 收到信号时间差变小，
B 、
C 两救援中心收到信号的时间少于4秒。

A
B C P
Q。