非线性动态电路的分析

t
O
tk
t k 1
xk 1 xk hf ( xk 1 , tk 1 )
后向欧拉法
后向欧拉法 迭代公式
3．梯形法(trapezoidal method)
如图所示，本法梯形面积近似代替曲边梯形面积 S k ，即令
S K 0.5(tk 1 tk ) [ f ( xk , tk ) f ( xk 1 , tk 1 )] 0.5h[ f ( xk , tk ) f ( xk 1 , tk 1 )]
C
au bu 2 ，求 t 0 时的电压uC。
S (t 0 )
t 0 时的电流为
du 2 i C C au bu 2 auC buC dt
两边除以-C

uC
u
duC a b 2 uC uC dt C C
2 两边除以 uC
伯努利 方程
图12.4 例题12.1
非线性状态方程的标准形式
推广到一般情况
u1 [ f 2 (Ψ 2 ) f 4 (u1 ) iS ]/ C Ψ 2 u1 R3 f 2 (Ψ 2 )
(t ) F{ X (t ) ,V (t )} X
直流激励或零输入
(t ) G{ X (t )} X
V(t)是常量s equation)：方程中不明显地含有时间t的微分方程组。 自治网络(autonomous network)：可用自治方程描述的电网络。 (t ) 0 的解。对应的电路状 平衡点(equilibrium)：自治方程的稳态解，即 X 态称为平衡状态。在平衡点处状态变量 G{ X (t )} 0
~ u hf (u ) u k 1 k k
~ )] u k 1 u k 0.5h[ f (u k ) f (u k 1
f (u k ) 0.1u k 0.01(u k ) 2 ~ ) 0.1u ~ 0.01(u ~ )2 f (u k 1 k 1 k 1
O
tk
tk 1
梯形法
•梯形法迭 代公式
4．预报—校正法(prediction correction method)
对梯形法稍加改造，以减小计算量而又保持较高的计算精度：先用前向欧拉 法求出 ~ xk 1 作为预报值，然后把它代入梯形法迭代公式的 xk 1 作校正。其迭代
公式为：
~ xk 1 xk hf ( xk , t k )
iR
C
du du 1 iR dt dt
C
代入非线性电阻特性得

u
S (t 0 )
uR
du (0.1u 0.01u 2 ) f (u, t ) f (u) dt
根据预报－校正法迭代公式得：
f (u k ) 0.1u k 0.01(u k ) 2 ~ ) 0.1u ~ 0.01(u ~ )2 f (u k 1 k 1 k 1
1 du a 1 b ( 2) C ( ) C uC C uC dt
或

d 1 a 1 b ( ) ( ) dt uC C uC C
d 1 a 1 b ( ) ( ) dt uC C uC C
其通解为
由已知条件得 1 1 b 1 K uC (0 ) uC (0 ) a U0 解得
xk 1 xk 0.5h[ f ( xk , t k f ( ~ xk 1 , t k 1 )]
例
电路如图所示，设 u(0 ) 10 V, C 1F，非线性电阻特性为 iR 0.1u R 0.01u R
解
2
(单位：A,V)。试用预报－校正法求出0到1s(步长取h=0.2s)各时刻的响应值 u 。 由图列出t>0时的电路方程：
q q(uC )
uC uC ( q )
uC uC (q) q q(uC )
q
iC q
电荷与电压关系
uC
O
(d)
uC
回线型非线性电容 ( 例如用钛酸钡作介 质的电容)
非线性电容
电荷与电压关系不 能用显函数表示
非线性电容
f (q, uC ) 0
非线性电感：穿过线圈的磁链与流过的电流不是正比关系 。
非线性动态电路的分析
提要
描述线性动态电路的方程是线性微分方程。工程上还广泛存在用非线 性微分方程来描述的电路，称为非线性动态电路。本章简要介绍一些 常用的非线性动态电路计算方法，包括数值分析法、分段线性分析法、 小信号分析法和状态平面分析法。结合具体电路讨论平衡状态稳定性 的判断方法、介绍跳变与振荡现象。

x ( t k 1 ) x (tk )
dx
t k 1 tk
f ( x, t )dt
x(t k 1 ) x(tk )
t k 1 tk
f ( x, t )dt x(tk ) S k
xk x(t k )
xk 1 xk
t k 1 tk
xk 1 x(t k 1 )
外加激励是时间函数
非自治方程
G{ X (t ), t} X
非自治网络
数值分析法
基本要求：了解数值分析法的原理和特点。 数值分析法：根据响应的初始值和 t>0 时的激励，逐步递推响应在离散时刻 的近似值。以一阶电路为例介绍如下。
两边乘以dt d x 一阶电路状态方程 f ( x, t ) dt 再取定积分
目次
1 非线性电容与非线性电感 2 非线性动态电路的状态方程 5 小信号分析法 6 状态平面分析法
3 数值分析法
4 分段线性分析法
7 平衡状态的稳定性
非线性电容与非线性电感
基本要求：了解非线性电容与非线性电感的特性。 非线性电容：电容器所储存的电荷与极板间电压不成正比关系。
q
iC q uC
解
i4 f 4 (。列出状态方程。 u4 )
选电容电压 u1 和电感磁链 2 为状 态变量。
①
i2 u2
i1

i3
u3
iS
i4
u4
C1
u1
l
R3
对节点①列KCL方程
1 i2 i4 iS i1 C1u
对回路l列KVL方程
i2 f 2 (Ψ 2 )
面积 S k ，即令
f ( x, t )
f ( x k 1 , t k 1 )
Sk (tk 1 tk ) f ( xk 1 , tk 1 ) hf ( xk 1 , tk 1 )
代入 xk 1 xk t
t k 1
k
f ( x, t )dt xk S k 得
dΨ uL dt dΨ Ri L (Ψ ) uS dt
代入得 推广到一般
RL 非线性电路
一阶非线性动 态电路状态方 程的一般形式
dx f ( x, t ) dt
状态变量
例
电路如图所示，设电容的初始电压为 u C (0 ) 系近似表示为 i
解
U 0 ，二极管的电压电流关
i
表示为
流控型
Ψ Ψ (iL ) iL iL (Ψ ) Ψ Ψ (iL ) iL iL (Ψ )
波形为
iL
O

表示为
链控型
iL

(b)
uL
分类

表示为
单调型
波形为
O
iL
（a)
非线性电感 非线性电感
(c)

表示为
回线型
f (Ψ , iL ) 0
无显函数表达
波形为
O
iL
(d)
非线性电路的状态方程
-1.7763 -1.6793 -1.5897 -1.5067
uk+1
u(tk+1)
0.0 0.2
0.4 0.6 0.8 1.0
0 -2.0000
-1.8851 -1.7794 -1.6821 -1.5922
10.0000 9.6118
9.2457 8.8998 8.5727 8.2628
10.0000 9.6117
q
q
电压电荷 关系曲线
O
uC
O
uC
O
uC
(a)
(b)
(c)
非线性电容
压控型 : 电荷是电压 的单值函数,而电压 是电荷的多值函数 须以电压 为控制量
荷控型:电压是电荷的 单值函数,而电荷是电 压的多值函数 须以电荷 为控制量
单调型 : 电荷与电压之间 是严格单调关系 , 电压与 电荷均可作为控制量 可记作
代入
xk 1 xk
t k 1 tk
f ( x, t )dt xk S k 得
f ( x, t )
f ( x k 1 , t k 1 )
f ( xk , t k )
t
xk 1 xk 0.5h[ f ( xk , t k ) f ( xk 1 , t k 1 )]
9.2454 8.8994 8.5721 8.2621
分段线性分析法
基本要求：掌握分段线性分析法的基本原理和计算步骤。 以下图为例：
C uC S (t 0)
i
i

R上u，i关系近似为
I1
I2 P2
A P1
P0
u 记作 i=f(u)
a t 将K值代入 1 b 1 b a bU 0 Ke C K uC a U0 a aU 0
a bU 0 C t 1 b ( )e uC a aU 0
两边取倒数
a
uC [
b a
a a bU 0 C t 1 ( )e ]
aU 0
(t 0)
例
电路如图所示，非线性电感是链控型，即 i2 f 2 (Ψ 2 )，非线性电阻是压控的， 即
% 例题12.3的MATLAB语言程序 uk=10;h=0.2; for t=h:h:1
~ u hf (u ) u k 1 k k
~ )] u k 1 u k 0.5h[ f (u k ) f (u k 1
% 赋初值、设定步长。 % 循环体控制。起始时刻：步长：终止时刻。
fk=(-0.1*uk-0.01*uk^2); uk1=uk+h*fk; % 用前向欧拉法进行预报。
基本要求：了解非线性动态电路状态方程的列写、一般形式和分类。 非线性动态电路：含有非线性元件(独立电源除 外) 的动态电路。以右为例，列写非线性动态电 路的状态方程，过程如下： 由KVL得
uR
R

iR
iL
u R u L uS
uS
非线性RL电路
uL
iL iL (Ψ )
u R Ri R Ri L (Ψ )
i4 f 4 (u4 ) f 4 (u1 )
u u u2 Ψ 2 1 3
i2 f 2 (Ψ 2 )
u3 R3i2 R3 f 2 (Ψ 2 )
u1 [ f 2 (Ψ 2 ) f 4 (u1 ) iS ]/ C Ψ 2 u1 R3 f 2 (Ψ 2 )
步长： h
t k 1 t k
O
tk
t k 1
代入 xk 1 xk
t k 1 tk
f ( x, t )dt xk S k 得
前向欧拉法
xk 1 xk hf ( xk , t k )
•前向欧拉法 迭代公式
2．后向欧拉法(Backward Euler method) 如图所示，本法用高度为 f ( xk 1 , tk 1 ) 矩形面积近似代替曲边梯形
f ( x, t )dt xk S k
基本迭 代公式
1．前向欧拉法(Forward Euler method) 如图所示，本法用高度为 f ( xk , t k ) 矩形面积近似代替曲边梯形面 积 S k ，即令
f ( x, t )
f ( xk , t k )
t
Sk (tk 1 tk ) f ( xk , tk ) hf ( xk , tk )
~ u hf (u ) u k 1 k k
~ )] u k 1 u k 0.5h[ f (u k ) f (u k 1
具体迭代过程如下
时间(s)
f (uk)
uk 1
10.0000 9.6000
9.2348 8.8898 8.5634 8.2542
f (uk 1 )
0 -1.8816
fk1=(-0.1*uk1-0.01*uk1^2); uk=uk+0.5*h*(fk+fk1); %用梯形法进行校正。 [t, uk] end % 显示迭代计算值。 % 循环结束。
f (u k ) 0.1u k 0.01(u k ) 2 ~ ) 0.1u ~ 0.01(u ~ )2 f (u k 1 k 1 k 1