上海市17区县2013届高三一模(数学文科)分类汇编专题十五复数Word版含答案

专题十五 复数
汇编2013年3月
（闵行区2013届高三一模 文科）1．已知复数z 满足(1)4i z i +=(i 为虚数单位)，则
z =_________________. 1．22i +；
（静安区2013届高三一模 文科）14．（文）设复数i a a z )sin 2()cos (θθ-++=（i 为虚数单位），若对任意实数θ，2≤z ，则实数a 的取值范围为 .
14．（（文）]5
5
,55[-
. （嘉定区2013届高三一模 文科）1．若i i
i
z +=11（i 为虚数单位），则
=z ___________．1．i -2
（静安区2013届高三一模 文科）15．（文）若复数021≠z z ，则2121z z z z =是12z z =成立的（ ）
(A) 充要条件 (B) 既不充分又不必要条件 (C) 充分不必要条件 (D) 必要不充分条件 15．（文）D ； （黄浦区2013届高三一模 文科）16．已知1z =且z ∈C ，则|22i |z --（i 为虚数单位）的最小值是 （ ）
A ．22
B ．2
C ．122+
D ． 122-
16．D
（浦东新区2013届高三一模 文科）9．已知实数,x y 满足约束条件20
3501x y x y y -≤⎧⎪
-+≥⎨⎪≥⎩
，则
z x y =+的最小值等于 1- .
（青浦区2013届高三一模）17．已知复数i z 210+=在复平面上对应点为0P ，则0P 关于直
线
z
i z l =--22:的对称点的复数表示
是……………………………………………………………………………（ .B ）．
A .i - .
B i
C .i -1
D .i +1
（杨浦区2013届高三一模 文科）2．若复数i
i
z -=1 (i 为虚数单位) ，则=z . 2．2；
（崇明县2013届高三一模）16、下面是关于复数2
1z i
=
-+的四个命题： ①2z =； ②22z i =； ③z 的共轭复数为1i +； ④z 的虚部为1-．
其中正确的命题……………………………………………………………………………（ ）
A ．②③
B ．①②
C ．②④
D ．③④
16、C
（金山区2013届高三一模）6．若复数(1+2i)(1+a i)是纯虚数，(i 为虚数单位)，则实数a 的值是 ．6．2
1
（崇明县2013届高三一模）1、设复数(2)117z i i -=+（i 为虚数单位），则z =
.
1、3+5i
（宝山区2013届期末）1.在复数范围内，方程210x x ++=的根是 ．12-
（宝山区2013届期末）4.已知复数(2)x yi -+(,x y R ∈)的模为,则
y
x
的最大值是 . 3
（长宁区2013届高三一模）6. (文)已知z 为复数，且(2)1i z i +=，则z= （文）i 3-
（嘉定区2013届高三一模 文科）19．（本题满分12分）
设复数i a z ⋅++-=)cos 1(2)sin 4(2
2
θθ，其中R ∈a ，),0(πθ∈，i 为虚数单位．若
A B 1
B
C
z 是方程0222=+-x x 的一个根，且z 在复平面内对应的点在第一象限，求θ与a 的值．
19．（本题满分12分）
方程0222=+-x x 的根为i x ±=1．………………（3分）
因为z 在复平面内对应的点在第一象限，所以i z +=1，………………（5分）
所以⎩
⎨⎧=+=-1)cos 1(21sin 422θθa ，解得21cos -=θ，因为),0(πθ∈，所以32πθ=，……（8分）
所以43
sin 2=θ，所以4sin 4122=+=θa ，故2±=a ．…………（11分）
所以3
π
θ2=，2±=a ．…………（12分）
（浦东新区2013届高三一模 文科）19．（本小题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分）
如图，直三棱柱111ABC A B C -中，12AB AC AA ===,45ABC ︒∠=. （1）求直三棱柱111ABC A B C -的体积；
（2）若D 是AC 的中点，求异面直线BD 与1AC 所成的角.
解：（1）122242
V =⋅⋅⋅=；…………………………………6分
（2）设M 是1AA 的中点，连结,DM BM ，1//DM AC ∴,
BDM ∴∠
是异面直线BD 与1AC
所成的角.………8分
在BDM ∆中，BD BM MD ===，
cos BDM ∠=
=
.…………………………………10分
即BDM ∠=.∴异面直线BD 与1AC 所成的角为.…………12分
（浦东新区2013届高三一模 文科）20．（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
已知复数[]122sin ,1(2cos ),0,z z i θθθπ==+∈. （1）若12z z R ⋅∈，求角θ；
（2）复数12,z z 对应的向量分别是12,OZ OZ ,其中O 为坐标原点，求12OZ OZ ⋅的取值
范围. 解
：
（
1
）
[]i i z z )cos 2(1)3sin 2(21θθ+-=⋅
=R i ∈-++)32sin 2()cos 32sin 2(θθθ……2分 2
3
2sin =
∴θ…………………………4分 又 πθ220≤≤ ，ππ
θ3232或=
∴， 3
6π
πθ或=∴…………………6分 （2）)cos 2,1OZ 3sin 2(OZ 21θθ（），，=-= θθcos 32sin 2OZ OZ 21-=⋅ )3
sin(4π
θ-=………………………10分
3
23
3
π
π
θπ
≤
-
≤-
，
4)3
sin(432≤-
≤-∴π
θ[]
4,32OZ OZ 21-∈⋅∴………14分
（松江区2013届高三一模 文科）20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分
已知z C ∈，且满足2
()52z z z i i ++=+． （1）求z ；
（2）若m R ∈，w zi m =+，求证：1w ≥．
20．解：（1）设(,)z a bi a b R =+∈，则2
22z a b =+，()2z z i ai += ………… 2分 由22252a b ai i ++=+
得22522a b a ⎧+=⎨=⎩ ……………………………4分 解得12a b =⎧⎨=⎩
或
1
2a b =⎧⎨=-⎩
……………………………… 5分 ∴12z i =+或12z i =-……………………………… 7分
（2）当12z i =+时，
(12)2w zi m i i m i m =+=++=-++=1≥…………………… 10分
当12z i =-时，
(12)2w zi m i i m i m =+=-+=++=1≥……………………… 13分
………………………………14分∴w1。