#第5讲 等差数列、等比数列

第五讲 等差数列、等比数列

真题试做►———————————————————

1．(2013·高考课标全国卷Ⅰ)设首项为1，公比为23

的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则( )

A ．S n ＝2a n －1

B ．S n ＝3a n －2

C ．S n ＝4－3a n

D ．S n ＝3－2a n

2．(2013·高考重庆卷)已知{a n }是等差数列，a 1＝1，公差d ≠0，S n 为其前n 项和，若a 1，a 2，a 5成等比数列，则S 8＝________．

3．(2013·高考江西卷)正项数列{a n }满足：a 2n －(2n －1)a n －2n ＝0.

(1)求数列{a n }的通项公式a n ；

(2)令b n ＝1（n ＋1）a n

，求数列{b n }的前n 项和T n . 考情分析►———————————————————

等差数列与等比数列是最重要也是最基本的数列模型，因而也是高考中重点考查的内容．客观题突出“小而巧”，主要考查等差(比)数列的性质，利用方程思想求a 1、d 、q 、S n 、n 、a n 等一些基本元素；主观题一般“大而全”，常与函数、不等式、解析几何等知识相结合，注重考查题目的综合性与新颖性，属于中档题，主要考查考生灵活运用两种数列分析问题、解决问题的能力．

考点一 等差(比)数列的基本运算

等差数列和等比数列在公式和性质上有许多相似性，是高考必考内容，着重考查等差、等比数列的基本运算、基本技能和基本思想方法，题型不仅有选择题、填空题，还有解答题，题目难度中等．

(2013·高考重庆卷)设数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝3a n ，n ∈N ＋.

(1)求{a n }的通项公式及前n 项和S n ；

(2)已知{b n }是等差数列，T n 为其前n 项和，且b 1＝a 2，b 3＝a 1＋a 2＋a 3，求T 20.

【思路点拨】 根据等比、等差数列的通项公式及前n 项和公式直接运算求解．

关于等差(等比)数列的基本运算，一般通过其通项公式和前n 项和公式构

造关于a 1和d (或q )的方程或方程组解决，如果在求解过程中能够灵活运用等差(等比)数列的性质，不仅可以快速获解，而且有助于加深对等差(等比)数列问题的认识．

强化训练1 (2012·高考重庆卷)已知{a n }为等差数列，且a 1＋a 3＝8，a 2＋a 4＝12.

(1)求{a n }的通项公式；

(2)记{a n }的前n 项和为S n ，若a 1，a k ，S k ＋2成等比数列，求正整数k 的值．

考点二 等差(比)数列的判定与证明

等差(比)数列的判定与证明，以及在此基础上延伸出来的一些新数列是历年高考数列问题的一大热点．主要以解答题的形式进行考查，考查的目的是：考生对基本数列的理解和利用，对已知信息进行转化和变通的能力．在解决此类问题时，要注意S n 与a n 关系的应用．

(2013·高考陕西卷)设S n 表示数列{a n }的前n 项和．

(1)若{a n }是等差数列， 推导S n 的计算公式；

(2)若a 1＝1，q ≠0，且对所有正整数n ，有S n ＝1－q n

1－q

，判断{a n }是否为等比数列，并证明你的结论.

【思路点拨】 利用等差数列的性质倒序相加求和；等比数列的证明通过定义进行．

判定或证明{a n }为等差数列或等比数列时也常用以下方法：

(1)通项公式法：a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数，n ∈N *)⇔{a n }为等差数列；

a n ＝cq n (c ，q 为非零常数，n ∈N *)⇔{a n }为等比数列．

(2)前n 项和公式法：

S n ＝an 2＋bn ＋c (a ，b ，c 都是常数)，c ＝0⇔{a n }为等差数列；

S n ＝k (q n －1)，k 为常数，且q ≠0，1⇔{a n }为等比数列．

强化训练2 (2013·东北三校高三第一次联合模拟考试)已知数列{a n }的前n 项和S n 满足

S n ＝2a n ＋(－1)n (n ∈N *)．

(1)求数列{a n }的前三项a 1，a 2，a 3；

(2)求证：数列{a n ＋23

(－1)n }为等比数列，并求出{a n }的通项公式． 考点三 等差数列与等比数列的综合应用

从近几年的考题看，对于等差与等比数列的综合考查也频频出现．考查的目的在于测试考生灵活运用知识的能力，这个“灵活”就集中在“转化”的水平上．

(2013·高考湖北卷)已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，S 4，S 2，S 3成等差数列，且a 2＋a 3＋a 4＝－18.

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)是否存在正整数n ，使得S n ≥2 013？若存在，求出符合条件的所有n 的集合；若不存在，说明理由．

【思路点拨】 首先由S 4，S 2，S 3成等差数列，且a 2＋a 3＋a 4＝－18，求得a 1和公比q ，进而得通项公式；然后根据等比数列的前n 项和公式列出关于n 的不等式，通过解不等式进而做出判断．

对于等差数列与等比数列综合性的问题，要找准其结合点，弄清哪些是

等差数列中的量，哪些是等比数列中的量，注意它们的区别，避免用错公式．

强化训练3 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝2，S 1、2S 2、3S 3成等差数列．

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)数列{b n －a n }是首项为－6，公差为2的等差数列，求数列{b n }的前n 项和．

结构创新型试题的解题技巧

——函数与数列的珠联璧合

数列是定义在正整数集上的一类特殊的函数，以函数为背景的数列问题通常有两种：一是数列由函数关系给出；二是利用函数的有关方法求解数列的有关问题．数列与函数的这种关系也是数列解答题命题的重点之一．

(2012·高考四川卷)设函数f (x )＝2x －cos x ，{a n }是公差为π8

的等差数列，f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a 5)＝5π，则[f (a 3)]2－a 1a 5＝( )

A ．0 B.116

π2 C.18π2 D.1316

π2 (1)给出以等差数列前5项为自变量的函数值之和．

(2)根据等差数列性质和三角函数性质把f (a 1)＋f (a 2)＋f (a 3)＋f (a 4)＋f (a 5)的结构用a 3表