11 最优控制1
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J F[ x(t ), u (t ), t ]dt
t0 tf
这是一种积分型泛函，在变分法中这类 问题称为拉格朗日问题。
（2）终值型性能指标
J [ x(t f ), t f ]
在变分法中称为迈耶尔问题。
（3）复合型性能指标。
J [ x(t f ), t f ] F[ x(t ), u(t ), t ]dt
最优控制问题提法
最优控制的问题就是：从所有可供选择 的容许控制中寻找一个最优控制 u (t ) 使状态由x(t 0 )经过一定时间转移到目标集 S，并且沿此轨线转移时，使相应的性能 指标达到极值。
*
任何一个最优控制问题均应包 含以下内容
系统数学模型 边界条件与目标集 容许控制 性能指标
t0
tf
举例
已知人造地球卫星姿态控制系统的状态方程 为 (t ) 0 1 x(t ) 0u (t ) x 0 0 1
1 2 2 性能泛函取为 J 2 0 u (t )dt
边界条件
1 x(0) 1
0 x(2) 0
J ( x) F[ x(t ), x(t ), t ]dt
t0
tf
J ( x) F [ x(t ), x(t ), t ]dt
t0
tf
t * ( t f ) f
t0 t* f
F [ x * (t ) (t ), x * (t ) (t ), t ]dt
求使性能泛函取极值的极值轨线和极值控制
F [ x * (t ) (t ), x * (t ) (t ), t ]dt
t0
*
tf
t * ( t f ) f
F [ x * (t ) (t ), x * (t ) (t ), t ]dt
J ( x) F [ x * (t ) (t ), x * (t ) (t ), t ]dt F [ x * (t ), x * (t f ), t f ] (t f )
(t ) x * (t ) (t ) x
J ( x) F[ x * (t ) (t ), x * (t ) (t ), t ]dt
t0
tf
根据泛函极值的必要条件，应满足
dJ J d 0
0
dJ d
0
tf
t0
F [ x * , x * , t ] F [ x * , x * , t ] [ ]dt x x
性能指标取为表征燃料消耗量的登月舱着 陆时的质量
J m(t f )
最优控制任务
在满足控制约束条件下，寻求发动机推 力最优变化律 u * (t ) ，使登月舱由已知的 初始状态转移到末端状态，并使性能指 标为最大，从而使登月过程中燃料消耗 量最小。
§1.2 最优控制问题提法
设动态系统的状态方程：
了解无约束泛函极值的必要条件，对于 掌握变分法的基本概念是重要的。然而， 实际系统都有其自身的运动规律，这种 规律的数学描述就是系统的运动微分方 程式。
有等式约束的泛函极值问题
min J ( x) F[ x(t ), x(t ), t ]dt
x t0 tf
S.t.
f ( x, x, t ) 0
F [ x , x , t ] d F [ x , x , t ] [ ]0 x dt x
* * * *
这就是著名的欧拉一拉格朗日方程，简称欧拉方程。
举例1
设泛函
J ( x)
2
1
x 2 t 2 )dt (x
边界条件为
x(1) 1,
x(2) 2
1 起点固定、末端自由
欲使上述极值条件满足，必须同时满足
* , t ] d F [ x * , x * , t ] F [ x , x [ ]0 x dt x F [ x * , x * , t ] 0 x t*
*
f
* (t * ), t * ] F [ x (t ), x f f
{
t0
tf
F[ x , x , t ] d F[ x , x , t ] F[ x , x , t ] [ ]}dt x dt x x t
* * * * * *
tf
0
tf
t0
F [ x * , x * , t ] d F [ x * , x * , t ] { [ ]}dt 0 x dt x
x(t 0 ) x0 , x(t f ) x f
F ( x, x, t )及x(t )在[t 0 , t f ]上连续可微
定理
对于上述问题，在约束条件下，使泛函 取极值的必要条件，是轨线 x(t ) 满足下列 欧拉方程
L d L 0 x dt x
其中
L( x, x, , t ) F ( x, x, t ) T (t ) f ( x, x, t )
f
x(t f ) c(t f )
举例
求使泛函
J ( x) (1 x ) 2 dt
2 0
tf
1
x * (t ) 为最小的最优轨线 已知初态 x(0) 1
末态要求 x(t f ) c(t f ) 其中 c(t ) 2 t
§2.2 有约束条件的泛函极值问题
t0
t* f
J F [ x , x , t ] d F [ x , x , t ] F [ x , x , t ] { [ ]}dt t0 x dt x x t
t* f * * * * * *
t* f
0
f f F [ x * (t * ), x * (t * ), t * ] (t f ) f 0
* * * * * *
0
tf
F[ x * , x * , t ] 0 或 x t
f
F[ x * , x * , t ] 0 x t
0
三、末端时刻自由时的泛函极值
末端时刻自由问题的实质是，末端时刻 不固定，末端状态或自由，或受约束， 属于变动端点问题。
泛函为积分型
*
* f
t* f
0
2 起点固定、末端受约束
设末端约束为
x(t f ) c(t f )
x * [t * (t f )] [t * (t f )] c[t * (t f )] f f f
f f x * (t * ) (t f ) (t * ) c(t * ) (t f ) f
h(t ) v(t ) u (t ) g v(t ) m(t ) m(t ) ku(t )
初始条 0
m ( 0) M F
h(t f ) 0 v(t f ) 0
控制约束条件
0 u (t ) u max
f f (t * ) [c(t * ) x * (t * )] (t f ) f
2 起点固定、末端受约束
欲使上述极值条件满足，必须同时满足
*
* , t ] d F [ x * , x * , t ] F [ x , x [ ]0 x dt x F [ x * , x * , t ] * * * f f [c(t f ) x (t f )] F [ x * (t * ), x * (t * ), t * ] 0 f x t*
证明
构造广义泛函
J a ( x) {F[ x(t ), x(t ), t ] T (t ) f ( x, x, t )}dt
t0 tf
令拉格朗日函数
, , t ) F ( x, x, t ) T (t ) f ( x, x, t ) L( x, x
J a ( x) L( x, x, , t )dt
t0 tf
在变分法中称为波尔札问题。
第二章 变分法在最优控制中 的应用
本章将分别介绍无约束条件及有约束条 件的泛函极值问题及用变分法解最优控 制问题。
§2.1 无约束条件的泛函极值 问题
在无约束条件下，泛函极值问题一般可 以由经典变分法来解决。
一、固定边界的泛函极值
J ( x) F[ x(t ), x(t ), t ]dt
t0 tf
x(t 0 ) x0 ,
x(t f ) x f
要求确定使 J (x)达极小的 x(t ) 轨线
一、固定边界的泛函极值
x(t ) x * (t ) (t )
(t 0 ) (t f ) 0
x(t 0 ) x * (t 0 ) x0 , x(t f ) x * (t f ) x f
§1.3 性能指标类型
性能指标J是我们事先规定的一个衡量控 制过程性能好坏的指标函数。所谓过程 “最优”，从数学上讲就是要使这个指 标函数达到极值（极大或极小）。 性能指标函数又称价值函数、目标函数、 性能泛函等，它一般是一个泛函，因此 最优控制问题可归结为求泛函的极值问 题。
（1）积分型性能指标
积分号内第二项作分部积分后可得
tf
t0
tf F[ x , x , t ] F[ x , x , t ] d F[ x * , x * , t ] dt [ ]dt t0 x x dt x t * * * *
0
tf
dJ d
0
x * (t ) 求使J达到极值时的最优轨线
举例2
设泛函
J ( x) 2 ( x 2 x 2 )dt
0
边界条件为
x(0) 0,
x( ) 2 2
求使J达到极值时的最优轨线 x * (t )
二、可动边界的泛函极值
tf
t0
F[ x , x , t ] d F[ x , x , t ] F[ x , x , t ] { [ ]}dt 0 x dt x x t
x(t ) f [ x(t ), u(t ), t ]
初始状态 x(t 0 ) x0 目标集 x(t f ) S u (t ) U R m 控制域 t 性能指标： J [ x(t f ), t f ] t
f
F[ x(t ), u(t ), t ]dt
0
第二篇 最优控制
§1.1 最优控制问题实例
最小燃耗问题 为了使宇宙飞船登月舱在月球表面实现 软着陆，即登月舱到达月球表面时的速 度为零，要寻求登月舱发动机推力的最 优变化律，使燃料消耗最少，以便在完 成登月考察任务后，登月舱有足够燃料 离开月球与母船会合，从而返回地球。
登月舱软着陆示意图
设飞船登月舱质量为m（t），高度为h(t)， 垂直速度为v(t)，发动机推力为u(t)，月球 重力加速度为常数g，飞船登月舱不含燃料 时的质量为M，登月舱所载燃料质量为F，
t0 tf
这是一种积分型泛函，在变分法中这类 问题称为拉格朗日问题。
（2）终值型性能指标
J [ x(t f ), t f ]
在变分法中称为迈耶尔问题。
（3）复合型性能指标。
J [ x(t f ), t f ] F[ x(t ), u(t ), t ]dt
最优控制问题提法
最优控制的问题就是：从所有可供选择 的容许控制中寻找一个最优控制 u (t ) 使状态由x(t 0 )经过一定时间转移到目标集 S，并且沿此轨线转移时，使相应的性能 指标达到极值。
*
任何一个最优控制问题均应包 含以下内容
系统数学模型 边界条件与目标集 容许控制 性能指标
t0
tf
举例
已知人造地球卫星姿态控制系统的状态方程 为 (t ) 0 1 x(t ) 0u (t ) x 0 0 1
1 2 2 性能泛函取为 J 2 0 u (t )dt
边界条件
1 x(0) 1
0 x(2) 0
J ( x) F[ x(t ), x(t ), t ]dt
t0
tf
J ( x) F [ x(t ), x(t ), t ]dt
t0
tf
t * ( t f ) f
t0 t* f
F [ x * (t ) (t ), x * (t ) (t ), t ]dt
求使性能泛函取极值的极值轨线和极值控制
F [ x * (t ) (t ), x * (t ) (t ), t ]dt
t0
*
tf
t * ( t f ) f
F [ x * (t ) (t ), x * (t ) (t ), t ]dt
J ( x) F [ x * (t ) (t ), x * (t ) (t ), t ]dt F [ x * (t ), x * (t f ), t f ] (t f )
(t ) x * (t ) (t ) x
J ( x) F[ x * (t ) (t ), x * (t ) (t ), t ]dt
t0
tf
根据泛函极值的必要条件，应满足
dJ J d 0
0
dJ d
0
tf
t0
F [ x * , x * , t ] F [ x * , x * , t ] [ ]dt x x
性能指标取为表征燃料消耗量的登月舱着 陆时的质量
J m(t f )
最优控制任务
在满足控制约束条件下，寻求发动机推 力最优变化律 u * (t ) ，使登月舱由已知的 初始状态转移到末端状态，并使性能指 标为最大，从而使登月过程中燃料消耗 量最小。
§1.2 最优控制问题提法
设动态系统的状态方程：
了解无约束泛函极值的必要条件，对于 掌握变分法的基本概念是重要的。然而， 实际系统都有其自身的运动规律，这种 规律的数学描述就是系统的运动微分方 程式。
有等式约束的泛函极值问题
min J ( x) F[ x(t ), x(t ), t ]dt
x t0 tf
S.t.
f ( x, x, t ) 0
F [ x , x , t ] d F [ x , x , t ] [ ]0 x dt x
* * * *
这就是著名的欧拉一拉格朗日方程，简称欧拉方程。
举例1
设泛函
J ( x)
2
1
x 2 t 2 )dt (x
边界条件为
x(1) 1,
x(2) 2
1 起点固定、末端自由
欲使上述极值条件满足，必须同时满足
* , t ] d F [ x * , x * , t ] F [ x , x [ ]0 x dt x F [ x * , x * , t ] 0 x t*
*
f
* (t * ), t * ] F [ x (t ), x f f
{
t0
tf
F[ x , x , t ] d F[ x , x , t ] F[ x , x , t ] [ ]}dt x dt x x t
* * * * * *
tf
0
tf
t0
F [ x * , x * , t ] d F [ x * , x * , t ] { [ ]}dt 0 x dt x
x(t 0 ) x0 , x(t f ) x f
F ( x, x, t )及x(t )在[t 0 , t f ]上连续可微
定理
对于上述问题，在约束条件下，使泛函 取极值的必要条件，是轨线 x(t ) 满足下列 欧拉方程
L d L 0 x dt x
其中
L( x, x, , t ) F ( x, x, t ) T (t ) f ( x, x, t )
f
x(t f ) c(t f )
举例
求使泛函
J ( x) (1 x ) 2 dt
2 0
tf
1
x * (t ) 为最小的最优轨线 已知初态 x(0) 1
末态要求 x(t f ) c(t f ) 其中 c(t ) 2 t
§2.2 有约束条件的泛函极值问题
t0
t* f
J F [ x , x , t ] d F [ x , x , t ] F [ x , x , t ] { [ ]}dt t0 x dt x x t
t* f * * * * * *
t* f
0
f f F [ x * (t * ), x * (t * ), t * ] (t f ) f 0
* * * * * *
0
tf
F[ x * , x * , t ] 0 或 x t
f
F[ x * , x * , t ] 0 x t
0
三、末端时刻自由时的泛函极值
末端时刻自由问题的实质是，末端时刻 不固定，末端状态或自由，或受约束， 属于变动端点问题。
泛函为积分型
*
* f
t* f
0
2 起点固定、末端受约束
设末端约束为
x(t f ) c(t f )
x * [t * (t f )] [t * (t f )] c[t * (t f )] f f f
f f x * (t * ) (t f ) (t * ) c(t * ) (t f ) f
h(t ) v(t ) u (t ) g v(t ) m(t ) m(t ) ku(t )
初始条 0
m ( 0) M F
h(t f ) 0 v(t f ) 0
控制约束条件
0 u (t ) u max
f f (t * ) [c(t * ) x * (t * )] (t f ) f
2 起点固定、末端受约束
欲使上述极值条件满足，必须同时满足
*
* , t ] d F [ x * , x * , t ] F [ x , x [ ]0 x dt x F [ x * , x * , t ] * * * f f [c(t f ) x (t f )] F [ x * (t * ), x * (t * ), t * ] 0 f x t*
证明
构造广义泛函
J a ( x) {F[ x(t ), x(t ), t ] T (t ) f ( x, x, t )}dt
t0 tf
令拉格朗日函数
, , t ) F ( x, x, t ) T (t ) f ( x, x, t ) L( x, x
J a ( x) L( x, x, , t )dt
t0 tf
在变分法中称为波尔札问题。
第二章 变分法在最优控制中 的应用
本章将分别介绍无约束条件及有约束条 件的泛函极值问题及用变分法解最优控 制问题。
§2.1 无约束条件的泛函极值 问题
在无约束条件下，泛函极值问题一般可 以由经典变分法来解决。
一、固定边界的泛函极值
J ( x) F[ x(t ), x(t ), t ]dt
t0 tf
x(t 0 ) x0 ,
x(t f ) x f
要求确定使 J (x)达极小的 x(t ) 轨线
一、固定边界的泛函极值
x(t ) x * (t ) (t )
(t 0 ) (t f ) 0
x(t 0 ) x * (t 0 ) x0 , x(t f ) x * (t f ) x f
§1.3 性能指标类型
性能指标J是我们事先规定的一个衡量控 制过程性能好坏的指标函数。所谓过程 “最优”，从数学上讲就是要使这个指 标函数达到极值（极大或极小）。 性能指标函数又称价值函数、目标函数、 性能泛函等，它一般是一个泛函，因此 最优控制问题可归结为求泛函的极值问 题。
（1）积分型性能指标
积分号内第二项作分部积分后可得
tf
t0
tf F[ x , x , t ] F[ x , x , t ] d F[ x * , x * , t ] dt [ ]dt t0 x x dt x t * * * *
0
tf
dJ d
0
x * (t ) 求使J达到极值时的最优轨线
举例2
设泛函
J ( x) 2 ( x 2 x 2 )dt
0
边界条件为
x(0) 0,
x( ) 2 2
求使J达到极值时的最优轨线 x * (t )
二、可动边界的泛函极值
tf
t0
F[ x , x , t ] d F[ x , x , t ] F[ x , x , t ] { [ ]}dt 0 x dt x x t
x(t ) f [ x(t ), u(t ), t ]
初始状态 x(t 0 ) x0 目标集 x(t f ) S u (t ) U R m 控制域 t 性能指标： J [ x(t f ), t f ] t
f
F[ x(t ), u(t ), t ]dt
0
第二篇 最优控制
§1.1 最优控制问题实例
最小燃耗问题 为了使宇宙飞船登月舱在月球表面实现 软着陆，即登月舱到达月球表面时的速 度为零，要寻求登月舱发动机推力的最 优变化律，使燃料消耗最少，以便在完 成登月考察任务后，登月舱有足够燃料 离开月球与母船会合，从而返回地球。
登月舱软着陆示意图
设飞船登月舱质量为m（t），高度为h(t)， 垂直速度为v(t)，发动机推力为u(t)，月球 重力加速度为常数g，飞船登月舱不含燃料 时的质量为M，登月舱所载燃料质量为F，