2020-2021学年辽宁省沈阳市第二十高级中学高二数学文下学期期末试卷含解析

2020-2021学年辽宁省沈阳市第二十高级中学高二数学文下学期期末试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. （择）将9个数排成如下图所示的数表，若每行3个数按从左至右的顺序构成等差数列，每列的3个数按从上到下的顺序也构成等差数列，且表正中间一个数a22＝2，则表中所有数之和为（）
A．20 B．512 C． 18 D．不确定的数
参考答案：
C
2. 下列命题中，假命题是（）
A．B．
C．D．
参考答案：
B
3. 设，，，则
A. B. C. D.
参考答案：
D
4. 在极坐标系中，圆的圆心的极坐标是
A. B. C. D.
参考答案：
C
5. 如图是2016年某学生进行舞蹈比赛环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶统计图，去掉一
个最高分和一个最低分，所剩数据的平均数和众数依次是（）
A．85.84 B．84.85 C．85.87 D．84.86
参考答案：
A
【考点】众数、中位数、平均数．
【分析】去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据为84，84，86，84，87，由此能求出所剩数据的平均数和众数．
【解答】解：去掉一个最高分和一个最低分，
所剩数据为84，84，86，84，87，
∴所剩数据的平均数为：
=（84+84+86+84+87）=85，
所剩数据众数为：84．
故选：A．
6. 已知函数，若函数恰有四个不同的零点，则实数的取值范
围
是
（）
A.B. C.D.
参考答案：
C
略
7. 抛物线y2=4x的焦点为F，点A（3，2），P为抛物线上一点，且P不在直线AF上，则△PAF周长的最小值为（）
A. 4
B. 5
C.
D.
参考答案：
C
【分析】
求周长的最小值，即求的最小值，设点在准线上的射影为点，则根据抛物线的定义，可知，因此问题转化为求的最小值，根据平面几何知识，当、、三点共线时，最小，即可求出的最小值，得到答案。

【详解】由抛物线为可得焦点坐标，准线方程为：，
由题可知求周长的最小值，即求的最小值，
设点在准线上的射影为点，则根据抛物线的定义，可知，
因此求的最小值即求的最小值，
根据平面几何知识，当、、三点共线时，最小，
所以
又因为，
所以周长的最小值为，
故答案选C
【点睛】本题考查抛物线的定义，简单性质的应用，判断出、、三点共线时最小，是解题的关键，属于中档题。

8. 在同一坐标系中，将曲线y＝2sin 3x变为曲线y＝sin x的伸缩变换是( )．
A．B．C．D．
参考答案：
B
9. 如图直三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为V，点P、Q分别在侧棱AA1和CC1上，AP=C1Q，则四棱锥B﹣APQC 的体积为（）
A．B．C．D．
参考答案：
B
【考点】组合几何体的面积、体积问题．
【分析】把问题给理想化，认为三棱柱是正三棱柱，设底面边长a和侧棱长h均为1，P、Q分别为侧棱AA′，CC′上的中点
求出底面面积高，即可求出四棱锥B﹣APQC的体积．
【解答】解：不妨设三棱柱是正三棱柱，设底面边长a和侧棱长h均为1
则V=S ABC?h=?1?1??1=认为P、Q分别为侧棱AA′，CC′上的中点
则V B﹣APQC=S APQC?=（其中表示的是三角形ABC边AC上的高）
所以V B﹣APQC=V
故选B
10. 函数的定义域是（）
A. B. C.
D.
参考答案：
B
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在平面直角坐标系xOy中，直线x+2y﹣3=0被圆（x﹣2）2+（y+1）2=4截得的弦长为．
参考答案：
【考点】直线与圆的位置关系． 【专题】直线与圆．
【分析】求出已知圆的圆心为C （2，﹣1），半径r=2．利用点到直线的距离公式，算出点C 到直线直线l 的距离d ，由垂径定理加以计算，可得直线x+2y ﹣3=0被圆截得的弦长． 【解答】解：圆（x ﹣2）2+（y+1）2=4的圆心为C （2，﹣1），半径r=2，
∵点C 到直线直线x+2y ﹣3=0的距离d=
=，
∴根据垂径定理，得直线x+2y ﹣3=0被圆（x ﹣2）2
+（y+1）2
=4截得的弦长为2
=2
=
故答案为：
． 【点评】本题给出直线与圆的方程，求直线被圆截得的弦长，着重考查点到直线的距离公式、圆的方程和直线与圆的位置关系等知识，属于基础题． 12. 若△ABC 的面积为
，BC=2，C=60°，则边AB 的长度等于 ．
参考答案：
2
考点： 正弦定理．
专题： 解三角形．
分析： 利用三角形面积公式列出关系式，把已知面积，
a
，sinC 的值代入求出b 的值，再利用余弦定理求出c 的值即可． 解答： 解：∵△ABC 的面积为
，BC=a=2，C=60°，
∴absinC=
，即b=2，
由余弦定理得：c 2=a 2+b 2﹣2abcosC=4+4﹣4=4，
则AB=c=2， 故答案为：2
点评： 此题考查了余弦定理，三角形面积公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．
13. 不等式> x – 1的解集是 。

参考答案：
x <
14. 将边长为1的正方形
沿对角线折起成直二面角， 则在这个直二面角
中点到直线的距离是 ．
参考答案：
15. 若函数f （x ）=x 3+x 2+ax+1既有极大值也有极小值，则实数a 的取值范围是 ．
参考答案：
（﹣∞，）
【考点】利用导数研究函数的极值．
【分析】先求导函数，根据函数在区间（﹣∞，+∞）内既有极大值，又有极小值，故导函数为0的
方程有不等的实数根，可求实数a 的取值范围． 【解答】解：求导函数：f′（x ）=3x 2+2x+a ， ∵函数f （x ）既有极大值又有极小值，
∴△=4﹣12a ＞0，∴a＜， 故答案为：（﹣∞，）． 16. 如图
是边长为的
为正方形的对角线，将
绕直线
旋转一周后形成的几何体
的体积等于 。

参考答案：
略
17. 已知a ，b 为正实数，直线与曲线
相切，则
的取值范围
是 ．
参考答案：
(0,1)
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知椭圆的两个焦点为
，点在椭圆上. （1
）求椭圆的方程；
（2）已知点
，设点
是椭圆
上任一点，求
的取值范围.
参考答案：
解：（1）设椭圆的方程为
由椭圆定义，
∴
.
故所求的椭圆方程为.
（2）设
∴
∵点
在椭圆上，∴
∴
∵
∴有最小值
；
，
有最大值
∴，∴的范围是
略
19. （12分）已知命题若非是的充分不必要条
件，求的取值范围． 参考答案： 解：
而，即
略
20. 设函数
，且，。

（I ）求的解析式； （II ）画出
的图象。

参考答案：
解：（I ）由f(－2) ＝3，f(－1) ＝f(1)得
，解得a ＝﹣1，b ＝1，所以
；
（II ）f(x)图像如图：
.
略
21. （2015秋?揭阳校级月考）在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域．点E正北55海里处有一个雷达观测站A．某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45°且与点A相距40海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45°+θ（其中
cosθ=，0°＜θ＜90°）且与点A相距10海里的位置C．
（1）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）；
（2）若该船不改变航行方向继续行驶，判断它是否会进入危险水域，并说明理由．
参考答案：
解：（1）如图，AB=40，AC=10，∠BAC=θ，cosθ=，
由余弦定理，BC2=AB2+AC2﹣2AB?ACcosθ，
∴BC==10，
∴该船的行驶速度为：=15（海里/小时）．（2）如图所示，设直线AE与BC的延长线相交于点O，
在△ABC中，由余弦定理，得cosB=
==，
从而sinB===，
在△ABQ中，由正弦定理，得：
==40，
∴AE=55＞40=AQ，且QE=AE﹣AQ=15，
过点E作EP⊥BC于点P，
在Rt△QPE中，PE=QE?sin∠PQE=QE?sin∠AQC=QE?sin（45°﹣∠B）
=15×=3，
∴船会进入危险水域．
考点：解三角形的实际应用．
专题：解三角形．
分析：（1）由余弦定理，BC==10，由此能求出该船的行驶速度．
（2）设直线AE与BC的延长线相交于点O，由余弦定理，得cosB=，从而sinB=，由正弦定理，得AQ=40，进而AE=55＞40=AQ，由此推导出船会进入危险水域．
解答：解：（1）如图，AB=40，AC=10，∠BAC=θ，cosθ=，
由余弦定理，BC2=AB2+AC2﹣2AB?ACcosθ，
∴BC==10，
∴该船的行驶速度为：=15（海里/小时）．
（2）如图所示，设直线AE与BC的延长线相交于点O，
在△ABC中，由余弦定理，得cosB=
==，
从而sinB===，
在△ABQ中，由正弦定理，得：
==40，
∴AE=55＞40=AQ，且QE=AE﹣AQ=15，
过点E作EP⊥BC于点P，
在Rt△QPE中，PE=QE?sin∠PQE=QE?sin∠AQC=QE?sin（45°﹣∠B）
=15×=3，
∴船会进入危险水域．
点评：本题考查船的行驶速度的求法，考查船是否会进入危险水域的判断，解题时要认真审题，注意正弦定理、余弦定理的合理运用．
22. 南航集团与波音公司2018年2月在广州签署协议，双方合作的客改货项目落户广州空港经济区．根据协议，双方将在维修技术转让、支持项目、管理培训等方面开展战略合作．现组织者对招募的100名服务志愿者培训后，组织一次知识竞赛，将所得成绩制成如下频率分布直方图（假定每个分数段内的成绩均匀分布），组织者计划对成绩前20名的参赛者进行奖励．
（1）试求受奖励的分数线；
（2）从受奖励的20人中利用分层抽样抽取5人，再从抽取的5人中抽取2人在主会场服务，试求2人成绩都在90分以上（含90分）的概率.
参考答案：
解：（1）由频率分布直方图知，竞赛成绩在分的人数为，
竞赛成绩在的人数为，
故受奖励分数线在之间，
设受奖励分数线为，则，
解得，故受奖励分数线为．
（2）由（Ⅰ）知，受奖励的20人中，分数在的人数为8，分数在的人数为12，
利用分层抽样，可知分数在的抽取2人，分数在的抽取3人，
设分数在的2人分别为，分数在的3人分别为，
所有的可能情况有，，，，，，，，，，满足条件的情况有，，，所求的概率为
．。