第十一章 分离变量法

u x, t
x at x at
行波法，适用范围会受到一定限制．本章介绍的分 离变量法（又称为本征函数展开法）是解偏微分方程定 解问题最常用的重要方法．基本思想是把偏微分方程分 解为几个常微分方程，其中有的常微分方程带有附加条 件从而构成本征值问题．
数学物理方法
l
E.解的物理意义（i）特解的物理意义
引入新的常数 En , n 代替 An , Bn
Bn 令 An En sin n , Bn En cos n ，即 En A B ,n tan An n x 则有 un ( x, t ) En cos(nt n )sin l
X (0) 0 和 X (l ) 0.
数学物理方法
复习: 二阶常系数微分方程
2
y'' py' qy 0
特征方程： r pr q 0 p p 2 4q 0, r1 r2 , r1,2 2 p 0, r1 r2 根的三种情况： 2 p p 2 4q 0, r1,2 i 2 得常系数微分 方程的通解：
utt a 2u xx f ( x, t ) 对于定解问题： u | x 0 0, u | x l 0 u | ( x), u | ( x) t t 0 t 0
（1）、根据方程的线性，将解设为分离变量形式的解：
u( x, t ) X n ( x )Tn (t )
X (0) 0
C1 0
X (l ) 0. C2 sin l 0 n 2 2 非零解 C2 0 sin l 0 2 l
n 1,2,3
数学物理方法
X ( x) C2 sin
n 2 2 2 ：本征值 l X ' 'X 0; ：本征值方程 nx X ( x) C2 sin l ：本征函数 n 2 2 a 2 C. T ' ' 2 T 0; l nat nat T (t ) A cos B sin , A、B 是积分常数。 l l
固定
2 -0.5
4
6
8
2.5 -0.5
5
7.5
10
12.5
15
-1
-1
x0
xl
固定
自由
x0
xl
固定
数学ห้องสมุดไป่ตู้理方法 固定
二、非齐次方程及齐次边界条件的定解问题 前面讨论的波动问题：除了在端点以外弦不受外力 的作用，振动纯粹是由位移和初速度引起的，现在研究 有外力作用的情况，本征函数展开法基本思路：
l 1 2 n B0 ( )d , B ( ) cos d . n l0 na 0 l

数学物理方法
一、二类边界条件决定的驻波
1 1 0.5 0.5 3 -0.5 -0.5 -1 -1 4 5 6 7 8
4
6
8
x0
xl
x0
xl
自由
1 0.5
自由
自由
1 0.5
2 n 2 n 1
数学物理方法
可见 un ( x, t ) 代表一个注波，对弦上一点 x，给出一个简谐
n x n a 振动：振幅为 N n ( x) En sin ，角频率为n ，初相 l l
位 n 波节（振幅的零点）的位置为： n x l 2l n 1
sin l 0 x 0, , , n n n l
f n ( t ) sin n x l

n 1

nx nx 2 n 2 a ( ) Tn (t ) sin ] = [ T "n ( t ) sin l l l n 1
u ( x, t ) ( An cos
n 1
X (0)T (t ) 0
nat nat nx Bn sin ) sin . l l l
注意：边界值等于零（齐次边界条件）是确定本 征函数的根本。
数学物理方法
例1 磁致伸缩换能器－两端自由得均匀细杆。
自由：振动传递给外界 utt a 2uxx 0
n 1

n x l
（ii）解的物理意义:各种不同频率、不同振幅、不同 初位相的驻波的叠加。 u( x, t ) X ( x)T (t ) XT ' 'a 2 X ' ' T 0 小结 分离变量：
X (l )T (t ) 0 nat nat nx Bn sin ) sin . 边值确定本征值函数：un ( x, t ) ( An cos l l l l l 2 n 2 n 初值确定叠加系数： An ( ) sin d ; Bn ( ) sin d . l 0 l na 0 l
这是解的分离变量
-1
带入波动方程、边界条件： XT ' 'a 2 X ' ' T 0 X (0)T (t ) 0 X (l )T (t ) 0 即 X (0) 0 和 X (l ) 0
T '' X '' 0 ( XT ' 'a X ' 'T ) / a XT 0 2 aT X T ' ' (t ) X ' ' ( x) a 2T (t ) X ( x)
问题的引入
第十一章 分离变量法
x , t 0 x x
(3) 行波法 达朗贝尔公式
2 1 x at d 2a x at
utt a 2u xx u x,0 x ut x,0 x
ux ( x, t )
0
x 0
0
ux ( x, t ) xl 0
u( x, t ) X ( x)T (t ) A. 分离变量：
T ' 'a 2T 0;
l
x
u t 0 ( x)
ut ( x) t 0 ( x)
XT ' 'a 2 X ' ' T 0
X ' (0)T (t ) 0 X ' (l )T (t ) 0
数学物理方法
nat nat nx un ( x, t ) ( An cos Bn sin ) cos . l l l
D.
u ( x, t ) A0 B0t
n 1

nat nat nx ( An cos Bn sin ) cos . l l l

由初始条件：
n 0
( 2 )、根据边界条件，将X(x)形式写成满足边界条件的函数形式 nx X ( x) sin l
数学物理方法
（3）、构成满足边界条件、给出需待定Tn (t ) 的级数解：
nx u( x, t ) X n ( x )Tn (t ) Tn (t ) sin l n 0 n 1
X (0) 0 C1 C2 0
C2e
0
x
X (l ) 0. C1e
l
C2e
l
C1 C2 0
(2) 0 X ( x) C1x C2 C2 0 C1l C2 0 C1 C2 0 (3) 0 X ( x) C1 cos x C2 sin x

( x ), ( x ) （4）、将级数解带入偏微分方程中，且将 f(x,t)、
展为同样级数形式
f ( x, t )
n 1

n x nx ( x) n sin f n (t )sin l n 1 l
( x ) n sin
n 1

nx l
y C1e r1x C2 e r2 x rx rx y C1e C2 xe y e x (C cos x C sin x) 1 2
数学物理方法
B.
X ' 'X 0; 的解：
x
(1) 0 X ' 'X 0 X ( x) C1e
中心内容 用分离变量法求解各种有界问题
基本要求 1掌握有界弦的自由振动解及其物理意义.
2掌握分离变量法的解题思路、 解题步 骤及其核心问题---本征值问题. 3掌握求解非齐次方程的本征函数展开法 4掌握将非齐次边界条件齐次化的方法
5掌握在柱、球坐标系中对 u u 0 和 u 0 分离变量会得到哪些特殊函数微分 方程
nat nat nx un ( x, t ) ( An cos Bn sin ) sin . l l l
nx l
C2是积分常数。
n 1,2,3
数学物理方法
D.
u ( x, t ) ( An cos
n 1


nat nat nx Bn sin ) sin . l l l
nx A0 An sin ( x), l n 1 l l 2 n 1 d ; A0 ( )d , An ( ) cos l 0 l l0
u t 0 ( x)
ut
t 0
( x).
l
B0
n 1

n a n x Bn sin ( x). l l
由初始条件：
nx An sin ( x), u t 0 ( x) l n 1 na nx ut t 0 ( x). l Bn sin l ( x). n 1
2 n An ( ) sin d ; l 0 l
l
2 n Bn ( ) sin d . na 0 l
2
1
对于确定的频率， 解是驻波：
波腹
0.5
波节
2.5 -0.5 5 7.5 10 12.5 15
-1
数学物理方法
对于确定的频率，解是驻波：
1 0.5
utt a 2uxx 0
2.5 -0.5
5
7.5
10
12.5
15
波腹 每一点绕平衡位置振动 T (t ) 振幅随位置变化 X ( x) 波节 u( x, t ) X ( x)T (t ) 驻波解：
n 2 2 a 2 C. T ' ' 2 T 0; l
T (t ) A cos t B sin t
T0 (t ) A0 B0t
Tn (t ) An cos nat nat Bn sin , l l
u0 ( x, t ) A0 B0t
n0
n 1,2,3
X ' 'X 0;
X ' (0) 0 和 X ' (l ) 0.
数学物理方法
B.
X ( x) C1 cos x C2 sin x
C2 0,
(C1 sin l C2 cos l ) 0

nx n 2 2 X ( x ) C cos 2 n 0,1,2,3 1 l l
数学物理方法
第一节 直角坐标系中的分离变量法 一 分离变量法 考虑长l两端固定的均匀弦的自由振动 A. （泛定方程）波动方程： utt a uxx 0 边界条件： u( x, t ) x0 0 u( x, t ) xl 0 初始条件： u t 0 ( x) ut t 0 ( x).
波腹（振幅为最大值的点）的位置为：
n x l 3l 2n 1 sin 1 x , , l l 2n 2n 2n n a n 1的项 un ( x, t ) 对角频率n : n 1的项 u1 ( x, t ) 为基波， l
为 n 次谐波
数学物理方法
u ( x, t ) En cos(nt n )sin
2 2
数学物理方法
x, t 是相互独立的变量，这个方程的两边互不统属， 而各自独立变化。故比只能为一常数！
T ' ' (t ) X ' ' ( x) 2 a T (t ) X ( x)
由分离变量，波动方程（偏微分方程）变为常微分 方程组：
T ' 'a 2T 0;
X ' 'X 0;