2019高三数学文北师大版一轮教师用书：第8章 重点强化课4 直线与圆
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xy [对点训练 2] (2017·河北唐山二模)直线 l：4＋3＝1 与 x 轴、y 轴分别相交于点
A，B，O 为坐标原点，则△OAB 内切圆的方程为__________． (x－1)2＋(y－1)2＝1 [由题意，设△OAB 的内切圆的圆心为 M(m，m)，则半 径为|m|.
xy 直线 l 的方程4＋3＝1 可化为 3x＋4y－12＝0，
直线 l 的方程为 2x－y＋2＝0.
(2)当 m＝0 时，直线 l1，l2，l3 可以围成三角形，要使直线 l1，l2，l3 不能围成 三角形，则 m≠0.
记 l1，l2，l3 三条直线的斜率分别为 k1，k2，k3，
3
3
则 k1＝－m，k2＝2，k3＝－6.
3
1
若 l1∥l2，或 l1∥l3，则 k1＝k2＝2，或 k1＝k3＝－6，解得 m＝－2 或 m＝2；
2＋1.令 y＝0，解得 x＝－ 2－1，故所求截距为－ 2－1.]
角度 2 直线与圆相交的弦长问题
(2018·沈阳模拟)设 m，n∈R，若直线 l：mx＋ny－1＝0 与 x 轴相交于
点 A，与 y 轴相交于点 B，且 l 与圆 x2＋y2＝4 相交所得弦的长为 2，O 为坐
标原点，则△AOB 面积的最小值为__________．
12 分
[规律方法] 1.研究直线与圆的位置关系最常用的方法为几何法，将代数问题
几何化，利用数形结合思想解题．
2．(1)圆与直线 l 相切的情形：圆心到 l 的距离等于半径，圆心与切点的连线
垂直于 l.
(2)过圆内一点的所有弦中，最短的是垂直于过这点的直径的那条弦，最长的
是过这点的直径．
(3)与弦长有关的问题常用几何法，即利用圆的半径 r，圆心到直线的距离 d， l
2分
|2k－3＋1|
因为直线 l 与圆 C 交于两点，所以 1＋k2 <1，
4－ 7 4＋ 7
解得 3 <k< 3 .
( ) 4－ 7 4＋ 7
，
所以 k 的取值范围为 3
3.
5分
(2)设 M(x1，y1)，N(x2，y2)． 将 y＝kx＋1 代入方程(x－2)2＋(y－3)2＝1，
整理得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0.
若三条直线交于一点，由Error!得 Error!l2 与 l3 交于点(1，－1)，将点
1
(1，－1)代入 3x＋my－1＝0，得 m＝2.所以当 m＝±2 或2时，l1，l2，l3 不能围
成三角形．] [规律方法] 1.直线过定点问题，可将直线中的参数赋值，解方程组得交点坐
标．
2．直线方程常与直线垂直、平行、距离等知识交汇考查，考查直线方程的求
(2)设圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 则Error!解得Error! ∴圆的方程为 x2＋y2－2x＋4y－20＝0.令 x＝0，得 y＝－2＋2 6或 y＝－2－2
6，∴M(0，－2＋2 6)，N(0，－2－2 6)或 M(0，－2－2 6)，N(0，－2＋2 6)，∴|MN|＝4 6.] [规律方法] 求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程形式．一般来 说，求圆的方程有两种方法： (1)几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量．确定圆的方程时，常用 到的圆的三个性质：①圆心在过切点且垂直切线的直线上；②圆心在任一弦 的中垂线上；③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线． (2)代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解．
法以及直线间的位置关系等．注意数形结合思想、分类讨论思想的应用． [对点训练 1] (2017·福建龙岩二模)已知 m，n 为正数，且直线 2x＋(n－1)
y－2＝0 与直线 mx＋ny＋3＝0 互相平行，则 2m＋n 的最小值为( )
A．7
B．9
C．11
D．16
B [∵直线 2x＋(n－1)y－2＝0 与直线 mx＋ny＋3＝0 互相平行， 21
B．8 D．10
(1)C (2)C [(1)由圆 x2＋y2－ax＋2y＋1＝0 与圆 x2＋y2＝1 关于直线
y＝x－1 对称，可知两圆半径相等且两圆圆心连线的中点在直线 y＝x－1 上，
故可得 a＝2，即点 C(－2,2)． ∴过点 C(－2,2)且与 y 轴相切的圆的圆心的轨迹方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝x2， 整理得 y2＋4x－4y＋8＝0.
|3m＋4m－12| 由题意可得 32＋42 ＝|m|，解得 m＝1 或 m＝6(不符合题意，舍去) ．∴△OAB 内切圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1.]
重点 3 直线与圆的综合问题
角度 1 圆的切线 如图 1，已知圆 C 与 x 轴相切于点 T(1,0)，与 y 轴正半轴交
于两点 A，B(B 在 A 的上方)，且|AB|＝2. (1)圆 C 的标准方程为________________； (2)圆 C 在点 B 处的切线在 x 轴上的截距为______．
过点 C(－a，a)的圆 P 与 y 轴相切，则圆心 P 的轨迹方程为( )
A．y2－4x＋4y＋8＝0
B．y2＋2x－2y＋2＝0
C．y2＋4x－4y＋8＝0
D．y2－2x－y－1＝0
(2)(2015·全国卷Ⅱ)过三点 A(1,3)，B(4,2)，C(1，－7)的圆交 y 轴于 M，N 两
点，则|MN|＝( ) A．2 6 C．4 6
【导学号：00090283】
( ) ( ) 1
1
，0 0，
3 [由题意知 A m ，B n ，圆的半径为 2，且 l 与圆的相交弦长为 2，则
圆心到弦所在直线的距离为 3.
1
1
∴ mห้องสมุดไป่ตู้＋n2＝ 3⇒m2＋n2＝3，
| | | | | 1 1 1 1
1
S△AOB＝2 m n ＝ 2mn ≥m2＋n2＝3，即三角形面积的最小值为 3.]
及半弦长2，构成直角三角形的三边，利用其关系来处理．
重点强化课(四) 直线与圆
(对应学生用书第 119 页) [复习导读] 1.本部分的主要内容是直线方程和两条直线的位置关系、圆的方程、
直线与圆的位置关系.2.高考对本部分的考查主要涉及直线的倾斜角与斜率的关
系、两直线的位置关系的判断，距离公式的应用、圆的方程的求法以及直线与
圆的位置关系，常与向量、椭圆、双曲线、抛物线的几何性质相结合考查.3.另
外，应认真体会数形结合思想的应用，充分利用直线、圆的几何性质简化运
算．
重点 1 直线方程与两直线的位置关系
(1)(2018·武汉模拟)已知直线 l 将圆 C：x2＋y2＋x－2y＋1＝0 平分，且与
直线 x＋2y＋3＝0 垂直，则直线 l 的方程为________．
(2)若三条直线 l1：3x＋my－1＝0，l2：3x－2y＋5＝0，l3：6x＋y－5＝0 不能 围成三角形，则 m 的取值集合为________. 【导学号：00090282】
41＋k
7
所以 x1＋x2＝ 1＋k2 ，x1x2＝1＋k2.
8分
所以O→M·O→N＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝4k1＋1＋k2k＋8.
4k1＋k
由题设可得 1＋k2 ＋8＝12，解得 k＝1，
所以直线 l 的方程为 y＝x＋1.
故圆心 C 在直线 l 上，所以|MN|＝2.
( ) 1
1
1
x＋
(1)2x－y＋2＝0 (2){－2，2，2} [(1)圆 C： 2 2＋(y－1)2＝4，由题意知圆
( )1
－ ，1 心 2 在直线 l 上，因为直线 l 与直线 x＋2y＋3＝0 垂直，所以设直线 l 的
( ) ( ) 1
1
－ ，1
－
方程为 2x－y＋c＝0，把 2 代入得 2× 2 －1＋c＝0，解得 c＝2，所以
图1 (1)(x－1)2＋(y－ 2)2＝2 (2)－ 2－1 [(1)由题意知点 C 的坐标为(1， 2)， 圆的半径 r＝ 2. 所以圆的方程为(x－1)2＋(y－ 2)2＝2. (2)在(x－1)2＋(y－ 2)2＝2 中， 令 x＝0，解得 y＝ 2±1，故 B(0， 2＋1)．
2＋1－ 2 直线 BC 的斜率为 0－1 ＝－1，故切线的斜率为 1，切线方程为 y＝x＋
∴2n＝m(n－1)，∴m＋2n＝mn，得m＋n＝1.
( )2 1
2n 2m
2n 2m
＋
·
又 m>0，n>0，∴2m＋n＝(2m＋n) m n ＝5＋ m ＋ n ≥5＋2 m n ＝9.当且
2n 2m 仅当 m ＝ n 时取等号．∴2m＋n 的最小值为 9.]
重点 2 圆的方程
(1)若圆 x2＋y2－ax＋2y＋1＝0 与圆 x2＋y2＝1 关于直线 y＝x－1 对称，
角度 3 直线、圆与相关知识的交汇
(2015·全国卷Ⅰ)已知过点 A(0,1)且斜率为 k 的直线 l 与圆 C：(x－2) 2＋(y－3)2＝1 交于 M，N 两点． (1)求 k 的取值范围；
O→M O→N (2)若 · ＝12，其中 O 为坐标原点，求|MN|.
[解] (1)由题设可知直线 l 的方程为 y＝kx＋1.
A，B，O 为坐标原点，则△OAB 内切圆的方程为__________． (x－1)2＋(y－1)2＝1 [由题意，设△OAB 的内切圆的圆心为 M(m，m)，则半 径为|m|.
xy 直线 l 的方程4＋3＝1 可化为 3x＋4y－12＝0，
直线 l 的方程为 2x－y＋2＝0.
(2)当 m＝0 时，直线 l1，l2，l3 可以围成三角形，要使直线 l1，l2，l3 不能围成 三角形，则 m≠0.
记 l1，l2，l3 三条直线的斜率分别为 k1，k2，k3，
3
3
则 k1＝－m，k2＝2，k3＝－6.
3
1
若 l1∥l2，或 l1∥l3，则 k1＝k2＝2，或 k1＝k3＝－6，解得 m＝－2 或 m＝2；
2＋1.令 y＝0，解得 x＝－ 2－1，故所求截距为－ 2－1.]
角度 2 直线与圆相交的弦长问题
(2018·沈阳模拟)设 m，n∈R，若直线 l：mx＋ny－1＝0 与 x 轴相交于
点 A，与 y 轴相交于点 B，且 l 与圆 x2＋y2＝4 相交所得弦的长为 2，O 为坐
标原点，则△AOB 面积的最小值为__________．
12 分
[规律方法] 1.研究直线与圆的位置关系最常用的方法为几何法，将代数问题
几何化，利用数形结合思想解题．
2．(1)圆与直线 l 相切的情形：圆心到 l 的距离等于半径，圆心与切点的连线
垂直于 l.
(2)过圆内一点的所有弦中，最短的是垂直于过这点的直径的那条弦，最长的
是过这点的直径．
(3)与弦长有关的问题常用几何法，即利用圆的半径 r，圆心到直线的距离 d， l
2分
|2k－3＋1|
因为直线 l 与圆 C 交于两点，所以 1＋k2 <1，
4－ 7 4＋ 7
解得 3 <k< 3 .
( ) 4－ 7 4＋ 7
，
所以 k 的取值范围为 3
3.
5分
(2)设 M(x1，y1)，N(x2，y2)． 将 y＝kx＋1 代入方程(x－2)2＋(y－3)2＝1，
整理得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0.
若三条直线交于一点，由Error!得 Error!l2 与 l3 交于点(1，－1)，将点
1
(1，－1)代入 3x＋my－1＝0，得 m＝2.所以当 m＝±2 或2时，l1，l2，l3 不能围
成三角形．] [规律方法] 1.直线过定点问题，可将直线中的参数赋值，解方程组得交点坐
标．
2．直线方程常与直线垂直、平行、距离等知识交汇考查，考查直线方程的求
(2)设圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 则Error!解得Error! ∴圆的方程为 x2＋y2－2x＋4y－20＝0.令 x＝0，得 y＝－2＋2 6或 y＝－2－2
6，∴M(0，－2＋2 6)，N(0，－2－2 6)或 M(0，－2－2 6)，N(0，－2＋2 6)，∴|MN|＝4 6.] [规律方法] 求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程形式．一般来 说，求圆的方程有两种方法： (1)几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量．确定圆的方程时，常用 到的圆的三个性质：①圆心在过切点且垂直切线的直线上；②圆心在任一弦 的中垂线上；③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线． (2)代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解．
法以及直线间的位置关系等．注意数形结合思想、分类讨论思想的应用． [对点训练 1] (2017·福建龙岩二模)已知 m，n 为正数，且直线 2x＋(n－1)
y－2＝0 与直线 mx＋ny＋3＝0 互相平行，则 2m＋n 的最小值为( )
A．7
B．9
C．11
D．16
B [∵直线 2x＋(n－1)y－2＝0 与直线 mx＋ny＋3＝0 互相平行， 21
B．8 D．10
(1)C (2)C [(1)由圆 x2＋y2－ax＋2y＋1＝0 与圆 x2＋y2＝1 关于直线
y＝x－1 对称，可知两圆半径相等且两圆圆心连线的中点在直线 y＝x－1 上，
故可得 a＝2，即点 C(－2,2)． ∴过点 C(－2,2)且与 y 轴相切的圆的圆心的轨迹方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝x2， 整理得 y2＋4x－4y＋8＝0.
|3m＋4m－12| 由题意可得 32＋42 ＝|m|，解得 m＝1 或 m＝6(不符合题意，舍去) ．∴△OAB 内切圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1.]
重点 3 直线与圆的综合问题
角度 1 圆的切线 如图 1，已知圆 C 与 x 轴相切于点 T(1,0)，与 y 轴正半轴交
于两点 A，B(B 在 A 的上方)，且|AB|＝2. (1)圆 C 的标准方程为________________； (2)圆 C 在点 B 处的切线在 x 轴上的截距为______．
过点 C(－a，a)的圆 P 与 y 轴相切，则圆心 P 的轨迹方程为( )
A．y2－4x＋4y＋8＝0
B．y2＋2x－2y＋2＝0
C．y2＋4x－4y＋8＝0
D．y2－2x－y－1＝0
(2)(2015·全国卷Ⅱ)过三点 A(1,3)，B(4,2)，C(1，－7)的圆交 y 轴于 M，N 两
点，则|MN|＝( ) A．2 6 C．4 6
【导学号：00090283】
( ) ( ) 1
1
，0 0，
3 [由题意知 A m ，B n ，圆的半径为 2，且 l 与圆的相交弦长为 2，则
圆心到弦所在直线的距离为 3.
1
1
∴ mห้องสมุดไป่ตู้＋n2＝ 3⇒m2＋n2＝3，
| | | | | 1 1 1 1
1
S△AOB＝2 m n ＝ 2mn ≥m2＋n2＝3，即三角形面积的最小值为 3.]
及半弦长2，构成直角三角形的三边，利用其关系来处理．
重点强化课(四) 直线与圆
(对应学生用书第 119 页) [复习导读] 1.本部分的主要内容是直线方程和两条直线的位置关系、圆的方程、
直线与圆的位置关系.2.高考对本部分的考查主要涉及直线的倾斜角与斜率的关
系、两直线的位置关系的判断，距离公式的应用、圆的方程的求法以及直线与
圆的位置关系，常与向量、椭圆、双曲线、抛物线的几何性质相结合考查.3.另
外，应认真体会数形结合思想的应用，充分利用直线、圆的几何性质简化运
算．
重点 1 直线方程与两直线的位置关系
(1)(2018·武汉模拟)已知直线 l 将圆 C：x2＋y2＋x－2y＋1＝0 平分，且与
直线 x＋2y＋3＝0 垂直，则直线 l 的方程为________．
(2)若三条直线 l1：3x＋my－1＝0，l2：3x－2y＋5＝0，l3：6x＋y－5＝0 不能 围成三角形，则 m 的取值集合为________. 【导学号：00090282】
41＋k
7
所以 x1＋x2＝ 1＋k2 ，x1x2＝1＋k2.
8分
所以O→M·O→N＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝4k1＋1＋k2k＋8.
4k1＋k
由题设可得 1＋k2 ＋8＝12，解得 k＝1，
所以直线 l 的方程为 y＝x＋1.
故圆心 C 在直线 l 上，所以|MN|＝2.
( ) 1
1
1
x＋
(1)2x－y＋2＝0 (2){－2，2，2} [(1)圆 C： 2 2＋(y－1)2＝4，由题意知圆
( )1
－ ，1 心 2 在直线 l 上，因为直线 l 与直线 x＋2y＋3＝0 垂直，所以设直线 l 的
( ) ( ) 1
1
－ ，1
－
方程为 2x－y＋c＝0，把 2 代入得 2× 2 －1＋c＝0，解得 c＝2，所以
图1 (1)(x－1)2＋(y－ 2)2＝2 (2)－ 2－1 [(1)由题意知点 C 的坐标为(1， 2)， 圆的半径 r＝ 2. 所以圆的方程为(x－1)2＋(y－ 2)2＝2. (2)在(x－1)2＋(y－ 2)2＝2 中， 令 x＝0，解得 y＝ 2±1，故 B(0， 2＋1)．
2＋1－ 2 直线 BC 的斜率为 0－1 ＝－1，故切线的斜率为 1，切线方程为 y＝x＋
∴2n＝m(n－1)，∴m＋2n＝mn，得m＋n＝1.
( )2 1
2n 2m
2n 2m
＋
·
又 m>0，n>0，∴2m＋n＝(2m＋n) m n ＝5＋ m ＋ n ≥5＋2 m n ＝9.当且
2n 2m 仅当 m ＝ n 时取等号．∴2m＋n 的最小值为 9.]
重点 2 圆的方程
(1)若圆 x2＋y2－ax＋2y＋1＝0 与圆 x2＋y2＝1 关于直线 y＝x－1 对称，
角度 3 直线、圆与相关知识的交汇
(2015·全国卷Ⅰ)已知过点 A(0,1)且斜率为 k 的直线 l 与圆 C：(x－2) 2＋(y－3)2＝1 交于 M，N 两点． (1)求 k 的取值范围；
O→M O→N (2)若 · ＝12，其中 O 为坐标原点，求|MN|.
[解] (1)由题设可知直线 l 的方程为 y＝kx＋1.