复变函数考试卷试题及答案

复变函数试卷
一、单项选择题（15分，每小题3分）
1． 设()2
,00,0z z f z z z ⎧≠⎪
=⎨⎪=⎩
，则()f
z 的连续点集合为（ ）。

（A ）单连通区域 （B ）多连通区域 （C ）开集非区域 （D ）闭集非闭区
域
2． 设()(,)(,)f z u x y iv x y =+，那么(,)u x y 与(,)v x y 在点()00,x y 可微是()
f z 在点000z x iy =+可微的（ ）。

()()()()A B C D 充分但非必要条件必要但非充分条件充分必要条件
既非充分也非必要条件
3． 下列命题中，不正确的是（ ）。

()()()()()()()()()0R e s ,0I m 1.
z
z A f z f z B f z D z f z D C e i D z e i
ω
πω∞∞
=-=<<<+如果无穷远点是的可去奇点,那么若在区域
内任一点的邻域内展开成泰勒级数,则
在
内解析.
幂级数的和函数在收敛圆内是解析函数.
函数将带形域0()映射为单位圆
4． 设c 是()1z i t =+，t 从1到2的线段，则arg d c
z z ⎰（ ）。

()
()
()
()()114
4
4
A B i
C i
D i π
π
π
++
5． 设()f z 在01z <<内解析且()0
lim 1z zf z →=，那么()()Res ,0f z =（ ）。

()()()()2211A i
B i
C D
ππ
-- 二、填空题（15分，每空3分） 1．()Ln 1i -的主值为 。

2．函数()()Re Im f z z z z ()=+仅在点z = 处可导。

3．罗朗级数的()
()
1
1
211133n
n
n
n
n n z z ∞
∞
==⎛⎫
⎛
⎫-+-- ⎪ ⎪-⎝⎭
⎝
⎭∑∑收敛域为 。

4． 映射1w z
=，将圆域11z -<映射为 。

5．
1
1cos z dz z
==⎰。

三．(10分)求解析函数f z u iv ()=+，已知22,()1u x y xy f i i =-+=-+。

四．(20分)求下列积分的值 1．
()
2
2
41z
z e dz z
z =-⎰
2．()2
sin 0x x dx a x a
+∞>+⎰
五．(15分)若函数()z ϕ在点0z 解析，试分析在下列情形： 1．0z 为函数()f z 的m 阶零点； 2．0z 为函数()f z 的m 阶极点； 求()
()()0R es ,f z z z f z ϕ⎡
⎤
'⎢⎥⎣⎦。

六．（15分）写出函数
2
cos z
e
z
的幂级数展开式至含项为止，并指出其收敛范围。

七．（10分）求函数()()()13sin 2f t tu t t t δ=++-+傅氏变换。

复变函数试卷答案
一、单项选择题（15分，每小题3分） 1．A 。

2． B 。

3． A 。

4． C 。

5．C 。

二、填空题（15分，每空3分） 1
．ln
4
i π
-。

2． i - 。

3． 233z <-<。

4． 半平面()1R e 2
w >
R 。

5．0。

三．(10分)解:容易验证u 是全平面的调和函数。

利用C-R 条件，先求出v 的两个偏
导数。

()()(
)
()
()(),0,00
2
2
2,
2(,)2221122
2
x y x y v u v u y x x y
x
y
y
x
v x y y x dx x y dy C
x dx x y dy C
x xy y C
∂∂∂∂=-
=-=
=+∂∂∂∂=
-+++=
-+++=-
++
+⎰⎰⎰则
四．(20分)求下列积分的值 1．()23e i π-
2．这里m=2，n=1，m-n=1，R(z)在实轴上无孤立奇点，因而所求的积分是存在的
2
2
e d 2πR es[()e ,]
ix
iz
x x i R z ai x a
+∞-∞
=+⎰
e
2lim
2ππ2
iz
a
a
z ia
ze
i i ie
z ia
π--→==⋅
=+
2
2
2
2
sin 1
1d Im (
).
2
2
ix
a
x x
x x e dx e
x a
x a
π+∞
+∞--∞
==
++⎰
⎰因此
五．(15分)
()()()()()()
()
()
()()()()
()()00000000000!
(1)0,n n
m
z z z z z z z z z z z n z f
z m z f z z z z z z z z ϕϕ
ϕϕϕψψ
ψ'=+-++-+=-≠
解:函数在点解析等价于在的一个邻域内
为的阶零点等价于在的一个邻域内其中在点解析,于是在的去心领域
()
()()
()()
()()
()()()()()()()()
()()
()()
()
()()10010
0000!,R es ,2R es ,n n f z m z z m z m z z z z m z z z f
z z z z z z n z f z z z m z f z f z z z m z f z ϕψϕϕψϕϕϕψψϕϕϕϕ∞-=⎧⎫'''⎪⎪=+=
+-+⎨⎬
--⎪⎪⎩⎭
⎡⎤'=⎢⎥⎣
⎦⎡
⎤
'=-⎢⎥⎣
⎦
∑由此可知与上面类似
六
．
()()
()
()2
2
2
2
2
4
2
4
2
012
21
1,cos 2
11,.1,
2
2
2!
!
111cos 12!
4!
2!cos 2cos ,z
z
n
n
n
z
z
n e
z
R z e
z z z
z n z z z
z
z n e
c c z c z z z e z z c c π
π
π
π+±
<=++
++
+<∞-=-+
+++<∞⎛⎫=+++< ⎪⎝
⎭= 函数距原点最近的奇点其距离就是函数在幂级数展开式的收敛半径,
即=
收敛范围为由及幂级数的除法,可设
注意到与均为偶函数,其展开式中不含项可知()()()2
324
22242020242
4
11111112!
!
2!4!2!3291,,,2
24
329
1cos 2
242n
n
n
z
z z z
c c z z z z n n c c c e
z z z z
π==⎛⎫-++
++
+=++⨯-++++ ⎪
⎪⎝⎭
===
⎛⎫=+
+
+< ⎪⎝
⎭
于是比较同次系数得故
七．（10分）
证明：()[1]2πδω=F 2
1
[()]()
t u t i πδωω
'=
-+F ()3[3]i
t e
ωδ--=F ()()[s i n 2]22t i πδωδω=+
--⎡⎤⎣⎦F
从而 ()()
()()32
1
[]2()2
2i
f t e
i ωπδωπδωδ
ωδωω
-'=
-+++++--⎡⎤⎣⎦
F。