华大新高考联盟2023届高三下学期3月教学质量测评理科数学试题

华大新高考联盟2023届高三下学期3月教学质量测评理科数
学试题
一、单选题 1．若集合{}2
10
A
x
x a x a =
-+-<，集合{}
11B x
x =-<，满足{}12A B x x ⋂
=
<<的
实数a 的取值范围是（ ） A ．3
a < B ．3a ≤ C ．3a
>
D ．3a
≥
2．已知复数z 满足()()3
42i i 1z z +=+-，其中z
表示z 的共轭复数，则复数z 的虚部是
（ ） A ．1
B ．i
C ．3-
D ．3i -
3．党的二十大于2022年10月16日在北京召开，二十大报告中提出：积极稳妥推进碳达峰碳中和，立足我国能源资源禀赋，坚持先立后破，有计划分步骤实施碳达峰行动，深入推进能源革命，加强煤炭清洁高效利用，加快规划建设新能源体系，积极参与应对气候变化全球治理．在碳达峰碳中和背景下，光伏发电作为我国能源转型的中坚力量发展迅速．某村计划安装总装机容量为200千瓦的光伏发电机，经测算每千瓦装机容量的发电机组年平均发电800度，若该村有村民300户，从中随机抽取50户，得到其年用电量情况如直方图所示，根据直方图可得下列说法正确的是（ ）
A ．全村年用电量的众数一定是500度
B ．抽取50户用电量的中位数小于其平均数
C ．根据50户用电量的平均值可以估计计划安装的光伏发电机组够全村用电
D ．全村用电量为[)400,600度的概率约为0.0015 4．如图，在已知直四棱柱1111
A B C D
A B C D -中，四边形A B C D 为平行四边形，,,,E M
N P
分别是111,,,B C B B A D A A 的中点，以下说法错误的是（ ）
A ．若1
B C
=，1
A A =1D P
B
C ^
B ．//M N
C
D C ．//M N 平面1C D
E D ．若A B
B C
=，则平面11A A C C
⊥
平面1A B D
5．将函数()2s in 21f x x =-图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2
倍，并沿x 轴向左平
移π06ϕ
ϕ⎛
⎫<< ⎪
⎝
⎭个单位长度，再向下平移1个单位长度得到()g x 的图象．若对于任意的
π,0
4x ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
，()g x 的最大值可能是（ ）
A ．3-
B ．2-
C ．1
D ．2
6．南宋数学家杨辉在《详解九章算术》中提出了高阶等差数列的问题，即一个数列{}n a 本身不是等差数列，但从{}n a 数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列{}n b （则称数列{}n a 为一阶等差数列），或者{}n b 仍旧不是等差数列，但从{}n b 数列中
的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列{}n c （则称数列{}n a 为二阶等差数列），依次类推，可以得到高阶等差数列．类比高阶等差数列的定义，我们亦可定义高阶等比数列，设数列1,1,2,8,64,⋅⋅⋅是一阶等比数列，则该数列的第8项是（ ） A ．52
B ．2
C ．212
D ．282
7．已知定义域为()0,∞+的函数()f x 满足
()1()1f x xf x x
'+=
+，()10
f '=，
()
1122
g
x a a x x
=+-
-
，若01
a <
<，则()()f x g
x -
的极值情况是（ ）
A ．有极大值，无极小值
B ．有极小值，无极大值
C ．既有极大值，又有极小值
D ．既无极小值，也无极大值
8．过抛物线()2
20x
p y
p =->的焦点F 且倾斜角为
5π6
的直线l 与抛物线在第三象限交
于点P ，过点P 的切线与y 轴交于点M ，则下列说法正确的是（ ） A
．直线MP B ．△
M P F
为等边三角形
C ．点P 的横坐标为定值12
-
D ．点M 与点F 关于x 轴对称
9．在三棱锥D A B C
-中，
A B C
是以AC 为底边的等腰直角三角形，D A C △是等边三
角形，A C
=BD 与平面ADC
2
，则三棱锥D
A B C
-外接
球的表面积是（ ） A ．8π
B ．12π
C ．14π
D ．16π
10．已知函数()41,0141,02x
x x f x x ⎧+-≤⎪
=⎨⎛⎫->⎪ ⎪⎝⎭
⎩，关于x 的方程
()()
()2
2110
f
x t f
x t
+-+-=有6个
不等实数根，则实数t 的取值范围是（ ） A
．7,52⎛⎫⎛
⎫-∞-
⋃-+∞ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
B ．73
,,52⎡⎫
⎛
⎫-
∞-
-+∞⎪⎢ ⎪⎪⎝
⎭
⎣
⎭
C
．7,5
2⎛
--
⎝
⎦
D ．73,,15
22⎛
⎛⎫
--
⎪
⎪⎝
⎭
⎝⎭
11．在正三棱柱111A B C
A B C -中，若A 点处有一只蚂蚁，随机的沿三棱柱的各棱或各侧
面的对角线向相邻的某个顶点移动，且向每个相邻顶点移动的概率相同，设蚂蚁移动n 次后还在底面A B C 的概率为n P ，有如下说法：①1
12
P =
；②2
1325
P =
；③12n
P ⎧
-
⎫⎨⎬⎩
⎭
为等
比数列；④1
1
111052
n n P -⎛⎫
=-⨯-+
⎪
⎝⎭
，其中说法正确的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
12．已知,P Q 是双曲线
()
222
2
10,0x y a b a
b
-
=>>上关于原点对称的两点，过点P 作P M
x
⊥轴于点M ，M Q 交双曲线于点N ．设直线P Q 的斜率为k ．则下列说法错误的是（ ） A ．k 的取值范围是b b k a a
-
<<
且0
k
≠
B ．直线M N 的斜率为2
k
C ．直线P N 的斜率为
22
2b k a
D ．直线P N 与直线Q N 的斜率之和的最小值为b
a
二、填空题
13．若,x y 满足约束条件2030
630x y x y x y -+≥⎧⎪
+-≤⎨⎪+-≥⎩
，则23z x y =+-的最大值为______．
14．已知实数a ，b 满足423
a a +=
，2
2lo g 3
b =
，则32
a
b +
=
__________． 15．在
A B C
中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c
．若c =，2
b
=，π3
C
=，A D 是
B C
边上的高线，点D 为垂足．点E 为线段B D 上一点，点B 关于直线A E 的对称点为点M
．从四边形B A C M 中任取一点，该点来自
A B C
的概率记为()P A ，则()P A 的最小
值为______． 16．已知,A B 是圆2
2
:4
O
x y
+=上的两点，π3
A O B
∠=
，记O A
a
=，O B
b
=，向量
()c a b ⊥
+，若实数x 满足()()6a x c x c b +⋅-≤，则a x c
x
c b
++-的最大值为______．
三、解答题 17．已知
A B C
中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若5
c
=，22co s a
c B b
=+．
(1)求角C ；
(2)若点D 在AB 边上，且满足:3:2
A D
B D =，当
A B C
的面积最大时，求CD 的长．
18．某地区区域发展指数评价指标体系基于五大发展理念构建，包括创新发展、协调发展、绿色发展、开放发展和共享发展5个一级指标．该地区区域发展指数测算方法以2015年作为基期并设指数值为100，通过时序变化，观察创新发展、协调发展、绿色发展、开放发展和共享发展5个分领域指数值的变动趋势．分别计算创新发展、协调发展、绿色发展、开放发展和共享发展5个分指数，然后合成为该地区区域发展总指数，如下图所示．
若年份x （2015年记为1x =，2016年记为2
x
=，以此类推）与发展总指数y 存在线性
关系．
(1)求年份x 与发展总指数y 的回归方程；
(2)若规定发展总指数大于115的年份为和谐发展年，和谐发展年中发展总指数低于130的视为良好，记1分，发展总指数大于130的视为优秀，记2分，从和谐发展年中任取三年，用X 表示赋分之和，求X 的分布列和数学期望．
参考公式：回归方程y
b x a
=+$$$，其中a y b x =-$$，()()
()
1
2
1
n
i
i
i n
i
i x
x
y
y
b
x
x
==--=
-∑∑，
()()
8
1
228.9
i
i
i x
x
y
y =--=∑，119.05
y
=． 19．已知平行六面体1111
A B C D
A B C D -中，1A B
=，12
B C B C ==，π3
A B C
∠=
，侧面
11B B A A
是菱形，1π3
B B A
∠=
．
(1)求1B C 与底面A B C D 所成角的正切值； (2)点,E F 分别在1
B
A
和1B C 上，11E F
A C ∥，过点,,
B E F 的平面与1B D 交于G 点，确定
G 点位置，使得平面B E F ⊥
平面11B C D A ．
20．已知A ，B 为椭圆
222
2
1x y a
b
+
=左右两个顶点，动点D 是椭圆上异于A ，B 的一点，点F 是右焦点．当点D
的坐标为()1
-时，3
D F
=．
(1)求椭圆的方程．
(2)已知点C 的坐标为()4,0，直线CD 与椭圆交于另一点E ，判断直线AD 与直线BE 的交点P 是否在一定直线上，如果是，求出该直线方程；如果不是，请说明理由． 21．已知函数()()()22e
21ln 21x
f x a x x =-++．
(1)当2
a
=时，研究函数()f x 的单调性；
(2)当π0,
2x ⎡
⎤
∈⎢⎥⎣
⎦
时，()()2
2c o s 22f x x a x
≥--恒成立，求a 的取值范围．
22．已知曲线C 的参数方程为c o s s in x a y αα
=+⎧⎨
=⎩（a 为正数，α为参数），直线l
的极坐标方
程为πc o s 42
ρ
θ⎛
⎫+=
⎪⎝⎭
l 与曲线C 交于,A B 两点，A B
=
(1)求a 的值；
(2)若点M 的坐标为(，N
是曲线C 上的一点，求M O N △面积的最大值．
23．已知函数()
123
f x x x =-+-.
(1)求()f x 的单调递增区间及()f x 的最小值m ； (2)若,,a b c 均为非负数，且12a b c m
++=，求
1412
1
3
a b c +
+
+++的最小值及取得最小值
时,,a b c 的取值．
参考答案：
1．D
【分析】解不等式可求得集合B ，根据交集结果可确定集合A ，由此可构造不等式求得结果. 【详解】由11
x -<得：111x -<-<，解得：02x <<，即()0,2B =；
由2
10
x a x a -+-<得：()()110x a x -
+-<，
{}
12A B x x ⋂=
<<，{}
11A x x a ∴
=
<<-，12
a ∴-≥
，解得：3a ≥.
故选：D. 2．A 【分析】设()i ,z
a b a b =+∈R
，根据共轭复数定义、复数乘法运算和复数相等可构造方程组
求得,a b ，根据虚部定义得到结果. 【详解】设()i ,z
a b a b =+∈R
，则i
z
a b =-，
4i 44i 53i z z a b a b a b ∴+=++-=-，又()()()()3
2i i 12i 1i 13i +-=+--=--， 53i 13i a b ∴-=--，则5133a b =-⎧⎨-=-⎩，解得：151
a b ⎧
=-
⎪⎨
⎪=⎩
，1i
5
z ∴
=-
+，z ∴的虚部为1.
故选：A. 3．C
【分析】由频率分布直方图求样本数据的众数，中位数，平均数，样本数据在区间[)400,600内的频率，由此判断各选项.
【详解】因为抽取50户的年用电众数为500，所以全村年用电众数的估计值为500， 所以全村年用电众数不一定等于500，所以A 错误．
由图可知从左至右各组用电频率分别为0.14，0.16，0.30，0.26，0.14， 则中位数为216004002003
3
+⨯=
，
而平均数1000.143000.165000.37000.269000.14520
x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，
因为
1600520
3
>，
所以抽取50户用电量的中位数大于其平均数，所以B 错误． 全村估计年用电量为300520156000
⨯=度，
年发电量约为200800
160000
⨯=度156000>度，所以C 正确．
由频率分布直方图可得，抽取的50户中，用电量为[)400,600度的户数的频率为0.30， 所以全村用电量为[)400,600度的户数的概率约为0.30，D 错误． 故选：C. 4．B
【分析】利用正切值相等可说明11A D A A P D
∠=∠，由此可得1
A D D P
⊥，结合平行关系可知
A 正确；由//C D M P ，M P M N M
⋂=可知B 错误；通过证明四边形D E M N 为平行四边形可
得//
M N D E
，由线面平行判定可知C 正确；根据B D A C
⊥，1B D
A A ⊥，由线面垂直和面面
垂直的判定可知D 正确. 【详解】对于A ，连接1A D ，
111111
ta n A A A A A D A A D B C
∠=
=
=
，
1
ta n 12A D B C A P D A P
A A ∠=
=
=
11A D A A P D ∴∠=∠，又1111
π2
A D A D A A ∠+∠=
，11π2
A P D
D A A ∴∠+∠=
，即1
A D D P
⊥；
11////C D C D A B ，11C D A C D B
==，∴四边形11A B C D 为平行四边形，11
//B C A D ∴，
1D P B C ∴⊥，A
正确；
对于B ，连接,M P C M ，
,M P
分别为11,B B A A 中点，M P //A B ∴，又//A B C D ，//M P C D ∴，
M N M P M
⋂=，M N ∴与C D 不平行，B 错误；
对于C ，连接1,E M B C
，
,M E
分别为1,B B B C 中点，1//E M B C
∴
，112
E M
B C
=
；
11//A B C D
，1
1A
B C D
=，∴四边形11A B C D 为平行四边形，11//A D B C
∴
，11A D
B C
=，
N
Q 为1A D 中点，112N D A D
∴
=
，//N D E M
∴
，N D E M
=，
∴
四边形D E M N 为平行四边形，//D E M N
∴
，
又D E
⊂
平面1C D E ，M N ⊄平面1C D E ，//M N ∴平面1C D E ，C 正确；
对于D ，连接1A B ，
A B B C =，四边形A B C D 为平行四边形，∴四边形A B C D 为菱形，B D A C
∴
⊥；
1A A ⊥
平面A B C D ，B D
⊂
平面A B C D ，1A A B D
∴
⊥，
又1
A A A C A
=，1,A A A C
⊂
平面11A A C C ，B D ∴
⊥
平面11A A C C ，
B D ⊂
Q 平面1A B D ，∴平面11A A C C ⊥
平面1A B D ，D 正确.
故选：B.
5．B
【分析】根据三角函数伸缩和平移变换可得()g x ，根据正弦型函数单调性判断方法可确定
()
g x 在π,0
4
⎡
⎤-
⎢⎥⎣
⎦
上单调递增，由此可得()m a x g x ，结合ϕ的范围可确定()m a x g x 的范围，由此
可得结果.
【详解】由三角函数伸缩和平移变换得：()()()214s in 223g x f
x x ϕϕ=+-=
+-，
当π,04x ⎡⎤∈
-⎢⎥⎣⎦
时，π222,22x ϕϕϕ
⎡⎤+∈-+⎢⎥⎣⎦
，又π0
6ϕ<<，
π20,3ϕ⎛
⎫∴∈ ⎪
⎝⎭，π
π
π2,22
6ϕ⎛⎫-
+∈-- ⎪⎝⎭，()g
x ∴
在π,0
4
⎡
⎤
-
⎢⎥⎣
⎦
上单调递增，
()()m a x
04s in 23g
x g ϕ∴==-，
又s in 20,2ϕ
⎛∈ ⎪⎝⎭
，(
)4sin 233,3
ϕ∴-∈-，则()g x 的最大值可能为2-.
故选：B. 6．C
【分析】根据数列特征可知数列{}n b 为等比数列，进而得到n b ，利用累乘法可求得n a ，代入8
n
=即可.
【详解】记数列1,1,2,8,64,⋅⋅⋅为{}n a ，设1n n n
a b a +=，
则1
1b =，22b =，3
4
b =，4
8
b =，⋅⋅⋅，
∴
数列{}n b 是以1为首项，2为公比的等比数列，1
2
n n
b -∴=，
()
()()
1212322
123112
2
n n n n n n n a b b b b a --+++⋅⋅⋅+----∴=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅==，7621
2
82
2
a ⨯∴
==.
故选：C. 7．C
【分析】结合导数运算公式由条件求()f x ，由此可得()()f x g
x -，再根据极值与导数的关
系，利用导数求函数()()f x g
x -
的极值即可.
【详解】∵()()()11x f x f
x x f x x
'
'=+=
+⎡⎤⎣⎦
，∴()
ln x f
x x x c
=++．
取1x =可得，()11f c =+，
由()1()1f x x f x x
'+=
+，令1x =，得()(1)12f f '+=，
因为()10f '=，可得()12
f =，
∴1c
=，则()
ln 11x f
x x x
=
++， ∴()()
()ln 2112
x f x g
x a x a x x
-
=
+
+
-+．
令()()ln 2112
x h x a x a x
x
=
+
+
-+，则
()()
2
2
1ln 1
201x a x h x a x
-+
-'=
<<；
令()2
1ln 12
m x x a x =
-+
-，()2
1a x m x x
-'=
，
易知0
x <<
()0m x '<，()m
x
在0⎛
⎝上单调递减；
x >
()
m x '
>，()m x
在⎛
⎫
+∞
⎪
⎪⎝
⎭
上单调递增，
所以当x
=
()m
x
取最小值()1
ln 12m a ⎛
=-
⎝
， 又()1
ln 102
a
-<，当0
x
→时，
()m
x →+∞
，x →
+∞
时，()m x →
+∞
，
∴存在1x ，2x ，使得()()
12
m x m x ==．
不妨设1
2x x <，则当10x x <<时，()0m x >，当1
2
x
x x <<时，()0
m x <
，当2
x
x >时，()0m x >．
∴()h x 在()10,x 上单调递增，在()12,x x 上单调递减，在()2,x +∞上单调递增． ∴()h x 既有极大值，又有极小值． 故选：C. 8．B
【分析】联立抛物线和直线l 求P 的坐标，利用导数几何意义求切线方程，进而逐项判断正误即可.
【详解】如图，抛物线2
2x p y
=-的焦点0,2p F
⎛
⎫- ⎪
⎝
⎭，过焦点倾斜角
5π6
的直线l
为
32
p y =-
-
，
联立2
232x p y p
y x ⎧=-⎪⎨=--⎪⎩
，化简得2
2
3
x p x p
-
=且0P
x <
，可得3
6P P x p p y ⎧=-
⎪⎪⎨
⎪
=-⎪⎩
.
∵2
12y x
p
=-
，则1y x
p
'=
-
，故|
3
x y ='=
，
∴3
M P
k =
，故A 、C 错误．
∴
切线方程为36
p y x =
+
，则0|6
x p y
==
，
点0,6p M
⎛
⎫ ⎪⎝
⎭不与焦点F 关于x 轴对称，故D 错误．
而23M P
M F p
==
，直线l 倾斜角为
5π6
，故π3
MFP
∠=
，
△M P F
为等边三角形，故B 正确．
故选：B 9．B
【分析】根据线面角算出点B 到平面ADC 的距离，从而找到球心的位置，利用几何关系算出球的半径即可.
【详解】取AC 的中点E ，连接BE ，DE ，则B E A C ⊥，D E A C
⊥，可得A C
⊥
平面DEB ．
又A C ⊂平面ADC ，故平面A D C ⊥
平面DEB ，且平面A D C 平面B D E D E
=．
在平面DEB 中，过点B 作B H
D E
⊥于点H ，则B H
⊥
平面ADC ，
∴B D H ∠是直线BD 与平面ADC 所成角的平面角． 设B H
x
=
，则D H
=
，易求D E
=
，B E
=
，则E H
=． 由勾股定理可得2
2
2
B E B H E H
=+，
即)
2
2
2
x =+
，
解得3
x
=
，
于是3
E H
=
点H 恰好是正D A C △的中心（外心），故球心O 必在BH 上，
R t B A C
的外心为E ，连接OE ,则O E ⊥
平面ABC ，O E
B E
⊥,设三棱锥D
A B C
-外接球的半
径B O
R
=，
在
R t B E O △中，由射影定理可得2B E B H B O =⨯，即23
=
，解得R
=
∴三棱锥D A B C
-外接球的表面积2
4π12π
S
R
==．
故选：B. 10．D
【分析】采用数形结合的方式可将问题转化为()2
2110x
t x t +-+-=在()1,3-上有两个不同
的实数根，根据一元二次方程根的分布可构造不等式组求得结果. 【详解】作出函数()f x 的图象如图所示，
∴
函数()f x 的图象与函数()y
c c =∈R 的图象最多三个交点，且()
f x c
=有3个实数根时，
13
c -<<，
()()()2
2110
f
x t f
x t
∴+-+-=有6个不等实数根等价于一元二次方程
()2
2110
x t x t +-+-=在()1,3-上有两个不同的实数根，
()()()()2
Δ2141021132
12110
932110
t t t t t t t ⎧=--->⎪
-⎪
-<-
<⎪∴⎨⎪--+->⎪+-+->⎪⎩
，解得：75
2
t -
<<-
12
t <<，
即实数t
的取值范围为73,,1522⎛⎛⎫
-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
.
故选：D. 11．C
【分析】根据古典概型概率公式可确定①错误；记1n P -为第n
1
-次移动后在底面A B C 上的
概率，可确定n P 与1n P -满足的递推关系式，得到②正确；根据递推关系式和等比数列定义可证得③正确；结合等比数列通项公式推导可得④正确.
【详解】
对于①，第一次移动后，可移动到111,,,,B C A B C 点，其中位于底面A B C 上的点有,B C ，
∴
当1
n
=时，1
25
P =
，①错误；
对于②，当2
n ≥时，记1n P -为第n 1
-次移动后在底面A B C 上的概率，则11n P --表示第n 1-次
移动后在平面111A B C 上的概率，
在底面A B C 上移动的概率为2
5，由平面111A B C 移动到底面的概率为3
5
，
()111231315
5
5
5
n n n n P P P P ---∴=
+
-
=-
+
，2113123135
5
5
5
5
25
P P ∴
=-
+
=-
⨯
+
=
，②正确；
对于③，由1135
5
n
n P P -=-
+
得：1111252n
n P P -⎛⎫
-
=-
- ⎪⎝⎭
，又111
2
10
P -
=-
，
∴
数列12n
P ⎧
-
⎫
⎨⎬⎩
⎭
是以110
-
为首项，15
-
为公比的等比数列，③正确；
对于④，由③知：1
11
12105n n P -⎛⎫
-=-⨯- ⎪
⎝⎭
，1
1
111052
n n P -⎛⎫
∴=-⨯-+
⎪
⎝⎭
，④正确.
故选：C. 12．D
【分析】根据直线与双曲线两支各有一个交点可确定k 的范围，知A 正确；利用两点连线斜率公式可知B 正确；根据22
N P N Q b k k a
⋅=
可推导知C 正确；根据基本不等式取等条件不成立可
知D 错误.
【详解】
对于A ，
,P Q
是双曲线上关于原点对称的两点，∴直线P Q 与双曲线两支各有一个交点，
∴
直线P Q 的斜率k 在两条渐近线斜率之间，即b b k a a -
<<
，
由题意知：,P M 不重合，0
k ∴≠，k ∴的取值范围为b b k a
a
-<<
且0
k
≠，A 正确；
对于B ，设()00,P x y ，则()00,Q x y --，()0,0M x ，
00
y k x =
，00
22
M N M Q y k k k x ∴==
=
，B 正确；
对于C ，设(),N s t ，则2
2
2
21s t
b a ⎛⎫
=- ⎪
⎝⎭
，又2
2
2
00
21x y b a ⎛⎫
=- ⎪
⎝⎭
，
22
2
022*******
2
22
2
0000N P N Q x s b a
a y t y t y t
b k k x s
x s
x s
x s
a
⎛⎫
- ⎪
----⎝⎭∴⋅=
⋅
=
=
=
-----，
由B 知：2
N Q
M N k k k ==
，22
2N P
b k k a
∴=
，C 正确；
对于D
，22
22
N P
N Q b k b k k k a
a
+=
+
≥
=
，
22
22
b k k a
=
，即2b k
a
=±
不成立，N P
N Q b k k a
∴+>
，D 错误.
故选：D.
【点睛】思路点睛：本题考查直线与双曲线的综合应用问题，解题的基本思路是灵活应用斜
率公式及双曲线第三定义来构造两直线斜率之间的等量关系，从而利用变量k 表示出直线
,P N Q N
的斜率.
13．5
2
【分析】由约束条件作出可行域，将问题转化为直线132
2
z y x +=-
+
在y 轴截距最大问题的
求解，采用数形结合的方式可求得结果.
【详解】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示，
当23z x y =+-取得最大值时，直线132
2
z y x +=-
+
在y 轴截距最大，
平移直线12
y
x
=-可知：当132
2
z y
x +=-+
过点A 时，在y 轴截距最大，
由2030x y x y -+=⎧⎨+-=⎩得：12
5
2x y ⎧=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
，即1
5,
22A ⎛⎫
⎪⎝⎭
，m a x 15
5322z ∴=+-=.
故答案为：5
2
.
14．1
【分析】由2
2lo g 3
b =
可变形为()
()lo g 3122
lo g 313b b +++=，故考虑构造函数
()
2x
f
x x
=+，判断函数的单调性，利用单调性化简等式，由此可求,a b .
【详解】因为22lo g 3
b =
，化简得()()
2lo g 31313
b b +++=．
所以()
()lo g 3122
lo g 313
b b +++=，又2422
23
a
a
a a +=+=，
构造函数()
2x
f x x
=+，
因为函数2
x
y
=，y
x
=在(),-∞+∞上都为增函数，
所以函数()f x 在(),-∞+∞上为单调递增函数， 由()13f =，∴()22lo g 311a b =+=，
解得12
a =，13
b
=
，
∴312
a
b +=．
故答案为：1. 15．1
2
##0.5
【分析】利用余弦定理和勾股定理可知A B A C
⊥，作MG
BC
⊥，可知当M G 最大时，()
P A
最小；设D E A
θ
∠=，结合三角形相似和三角恒等变换可表示出πin 26M G θ⎛
⎫=--
⎪⎝
⎭由此可得m in M G ，进而求得()P A 最小值. 【详解】由余弦定理知：2
22
2c o s a b a b C c
+-=，即2
4212
a a +-=，解得：4
a
=，
2
2
2
b c a
∴+=，A B C
∴
为直角三角形，A B A C
⊥
，
设B M
A E F
=，作M G B C
⊥于点G ，
b c A D a
=
=，1
C D
∴==，13B D a =-=，
要使得()P A 最小，则B M C △面积最大，即点M 到B C 的距离M G 最大． 设D E A
θ
∠=，则F E B
θ
∠=，
3
A D =
，3
B D =，ta n D E θ
∴
=
，3ta n B E
θ
=-
，
c o s 3c o s ta n E F B E θθθ⎛∴==-
⎝⎭
，
M G B
∽E F B △，M G M B E F
B E
∴
=
，
2
2s in 23c o s s in 3s in 2o s ta n M G E F θθθθθ
θ⎛∴==-
=- ⎝
⎭
π3s in 2o s 2in 26θθθ⎛
⎫=-
-=--
⎪⎝
⎭
则当ππ26
2
θ
-=
，即π3
θ
=
时，s in 26πθ
⎛
⎫-
⎪⎝
⎭
取得最大值1，
m a x M G ∴=
M B C A B C
S S =△△，()m in
12
A B C
A B C
M B C
S P
A S
S
∴=
=
+.
故答案为：1
2. 16
．【分析】利用余弦定理可求得B C
，设O D
xc
=，根据向量线性运算和数量积运算的定义可
求得2
c o s 6
C D B
D C D
C D B ⋅=
∠≤，结合余弦定理可得C D ≤.
【详解】
π3
A O
B ∠=
，2π3
C O
B
∴∠=
，
由圆的方程知：圆O 的半径2
r =，B C ∴
==
设O D
x c
=，则()O D
a b ⊥
+，
O D ∴为线段B C 的中垂线，C D B D
∴
=，
()()6a O D O D b +⋅-≤，即()()6O D O C O D O B -⋅-≤，
2
c o s c o s 6
C D B D C D B D C D B C D
C D B ∴⋅=⋅∠=∠≤；
2
2
212
c o s 2C D
C D B C D
-∠
=
，2
66
C D
B D
C
D ∴⋅=
-≤，解得：23
C D
≤
2
a x c x c
b C D B D C D ∴++-=+=≤故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量中的最值问题的求解，解题关键是能够根据几何关系，利用向量线性运算和数量积运算的定义，结合图形关系和已知不等关系将问题转化为求解线段C D 长度最值的问题. 17．(1)π3
C =
(2)C D =
【分析】（1）由正弦定理结合两角和的正弦公式可得1c o s 2
C =
，即可求出角C ； （2）由余弦定理结合均值不等式可得25
a b ≤，可求出当
A B C
的面积最大值时3A D
=，再
由余弦定理即可求出CD 的长. 【详解】（1）依题意，22co s a c B b
=+，
由正弦定理可得2sin 2sin co s sin A C B B
=+，
∴()
2s in 2s in c o s s in B C
C B B
+=+，
所以2sin
co s 2co s sin 2sin co s sin B C B C C B B
+=+，
则2s in c o s s in B C B
=，因为()0,π,s in
B B ∈≠，
化简得1c o s 2
C =
．
∵()0,πC
∈，∴π3
C =．
（2）由余弦定理得222
1c o s 22
a b c
C a b
+-=
=
，
∴2
2
2
2
2a b
a b c a b c
=+-≥-，∴25
a b
≤，当且仅当a b
=时，等号成立．
此时1s in 2
4
4
A B C
S a b C b ==
≤
． 若
A B C
的面积取到最大，则5
a
b ==，
A B C
为等边三角形，
∴3A D =，由余弦定理得2
2
2
π2c o s
19
3C D
A C A D A C A D =+-⋅⋅=，
∴C D
=
18．(1) 5.4594.525
y
x =+
(2)分布列见解析，() 4.2
E X =
【分析】（1）利用已知数据求x ，()
2
8
1
i
i x
x
=-∑
，利用公式和参考数据求b ，a ，由此可得回
归方程；
（2）由条件确定随机变量X 的可能取值，再求取各值的概率，由此可得其分布列，再由均值公式求均值. 【详解】（1）由已知1234568
8
47.5
x
+++++=+=
+，
所以()
()
()()()()()()()2
8
2
2
2
22222
1
3.5 2.5 1.50.50.5 1.5 2.5 3.542
i
i x
x
=-=
-+-+-+-++++=∑
又()()
8
1
228.9
i
i
i x
x
y
y =--=∑
所以()()
()
8
1
8
2
1
5.45
i
i
i i
i x
x
y
y
b
x
x
==--=
=-∑∑，
因为119.05
y =，
所以94.525
a y
b x =-=，
∴ 5.4594.525
y
x =+．
（2）由题可知，和谐发展年有5个，其中计分为1分的年份有3个，计分为2分的年份有2个． ∴()3
5
113C 10
P X
==
=
，()21
32
3
5
C C 34C 5
P X ⋅==
=
，()12
32
3
5
C C 35C 10
P X ⋅==
=
．
所以X 的分布列为
数学期望为()133345 4.2
10
5
10
E X =⨯
+⨯
+⨯
=．
19．(1)
13
(2)点G 在线段1B D 靠近1B 的三等分点处
【分析】（1）证明1M B ⊥
平面ABCD ，从而找到1B C 与底面A B C D 所成角，解三角形，即可
求得答案；
（2）证明当,E F 分别为线段1
B
A
和1B C 的中点时，平面B E F
⊥
平面11B C D A ，说明1B D 与平
面BEF 的交点G 在线段BN 上，结合三角形相似即可确定G 点位置. 【详解】（1）取A B 的中点M ，连接1M B ，,M C A C ，1
B
A
．
∵侧面11B B A A 为菱形，1π3
B B A ∠=
， ∴
1A B B 为等边三角形，11A B B B ==
，1
1,2
M B A B M B ⊥∴=
∵1A B =，2
B C =，π3
A B C
∠=
，由余弦定理知A C ==，
∴2
2
2
B C A B A C
=+，∴A C
A B
⊥．
在1A B C V 中，11A B =，12B C =，有2
22
11B C
A B A C
=+，∴1A C A B ⊥．
又∵11,,A B A B A A B A B =⊂
∩平面11B B A A ，∴A C
⊥
平面11B B A A ．
又∵1M B ⊂
平面11B B A A ，∴1
A C M
B ⊥．
∵1
M B A B ⊥，,,A C
A B A A C A B ⋂=⊂
平面ABCD ，∴1
M B ⊥
平面ABCD ，
∴1B C M ∠为直线1B C 与底面A B C D 所成的角， 由A C
A B
⊥
，则2
C M
===
，
∴11ta n 13
2
M B B C M
C M
∠=
=
=
（2）当,E F 分别为线段1
B
A
和1B C 的中点时，平面B E F
⊥
平面11B C D A ．
证明如下：
连接1A B ，1B C ，EF ，11A C ．侧面11B B A A 是菱形，则11A B A B
⊥．
又∵11A C A C E F
∥∥，A C
⊥
平面11B B A A ， ∴E F
⊥
平面11B B A A ，1
A B ⊂
平面11B B A A ，故1E F
A B ⊥，
1
1,B A E F E B A E F =⊂
，平面BEF ，
∴1A B ⊥
平面BEF ，1A B ⊂
平面11B C D A ，∴平面11B C D A
⊥
平面BEF ．
连接1
1B
D 交11A C 于点N ，连接BN ，1B D ，BD ．∴平面11B D D B
平面B E F
B N
=，
∴1B D 与平面BEF 的交点G 在线段BN 上． ∵11B D B D
∥
，1B N G ∴△∽D B G △，∴
1112
B G B N D G
D B
=
=
，
即点G 在线段1B D 靠近1B 的三等分点处． 20．(1)
2
2
14
2
x
y
+
=
(2)直线AD 与直线BE 的交点在定直线1x =上
【分析】（1）由题意表示出D F ，1D F ，可得c ，再由椭圆的定义求出a ，即可求出椭圆的方程；
（2）设()11,D x y ，()22,E x y ，D E 的直线方程为()4y
k
x =-，与椭圆联立，由韦达定理得
12
x x +，12x x ，化积为和得()12
12542
x x x x =
+-，表示出直线AD 和直线BE 的方程的方程，
计算可得1P x =，即可证明直线AD 与直线BE 的交点P 是否在一定直线上
【详解】（1）设椭圆的右焦点为(),0F c ，左焦点为()1,0F c -，0
c
>，
3
D F =
=，解得c
=
∴11D F =
=，
∴
124
D F D F a +==，2
a
=，b
=，
∴椭圆的方程为
2
2
14
2
x
y
+
=．
（2）由题设，直线DE 斜率一定存在，设D E 的直线方程为()4y k
x =-．
联立椭圆方程，消去y 得()
2
222
21163240
k
x k x k
+-+-=．
设()11,D x y ，()22
,E
x y ，则2
122
1621
k x x k
+
=
+，212
2
32421
k x x k
-=
+．
∴()121254
2
x x x x =+-，
又()2,0A -，()2,0B ， ∴直线AD 的方程为()1122
y y x x =
++，直线BE 的方程为()2222
y y
x x =
--．
联立得
()
()1212222
2
y y x x x x +=
-+-，
∴()()()()
()()()()
12211212
2
11221242242262424238
P
x x x x x x x x x x x x x x x --+-+--=
=
-+-----．
又∵()12
12542
x x x x =
+-，∴()1212
212121586238138
38
P
x x x x x x x x x x x +-----=
=
=----．
∴直线AD 与直线BE 的交点在定直线1x =上．
21．(1)()f x 在定义域内单调递增 (2)3a ≤
【分析】（1）求函数()f x 的导函数可得()()24e
ln 211x
f x x '⎡⎤
=-+-⎣
⎦
，根据导数结构考虑构
造函数()
e 1x
F x x =--，利用导数证明e 1x x ≥+，取对数证明()
ln 1x x ≥+，由此证明
()0
f x '≥，由此可得函数()f x 的单调性；
（2）设2t x
=，[]0,πt ∈，由已知可得()()()2e
1ln 1c o s 210t
a t t t a t -++-+--≥恒成立，构
造函数()()()()2e 1ln 1c o s 21t
h t a t t t a t =-++-+--，讨论a ，利用导数求其最小值，可得
a
的取值范围． 【详解】（1）因为2
a
=，所以()
()()22e
221ln 21x
f x x x =-++，
所以函数()f x 的定义域为1,2⎛⎫
-+∞ ⎪⎝
⎭
，且
()()24e
ln 211x
f x x '⎡⎤
=-+-⎣
⎦
，
构造函数()e 1x
F x x =--，则()e 1x
F x '=-，
令()0
F x '=，得0
x
=，
∴当0
x >时，()0
F x '>
，()F x 在()0,∞+上单调递增；
当0
x
<时，()0
F x '<
，()F x 在(),0∞-上单调递减．
∴()()00
F x F ≥=，∴e 1
x x ≥+，
∴当1x
>-时，()
ln 1x x ≥+，
所以当12x >-
时，2e 21x x ≥+，当且仅当0
x =时等号成立，
所以当12
x >-
时，()2ln 21x
x ≥+，当且仅当0
x =时等号成立，
∴()()2e ln 2112ln 210x
x x x -+-≥-+≥，当且仅当0
x =时等号成立，
∴
()0f x '≥，当且仅当0
x
=时等号成立，
∴()f x 在1,2⎛
⎫-
+∞ ⎪⎝
⎭
上单调递增．
（2）∵()()2
2c o s 22f x x a x
≥
--，π0,
2x ⎡
⎤
∈⎢⎥⎣
⎦
，等价于
()()()()22e
21ln 21c o s 22210
x
a x x x a x -++-+--≥，
令2t
x
=，[]0,πt ∈，构造函数()()()()2e 1ln 1c o s 21t
h t a t t t a t =-++-+--，
∴()00
h =，()
()2e ln 1s in 2
t
h t a t t '=-++-，()
00h '=．
令()
()2e ln 1s in 2x
g x a x x =-++-，()2e c o s 1
x
a
g x x
x '=
-
++，[]0,πx ∈，
注意到()03g a
'=-． 当3a
>时，()00
g '<，
∴0
x ∃>，当[]00,x x ∈时，()0
g x <，即当[]00,t x ∈时，()0
h t '<
，
所以()h t 在[]00,x 上单调递减，所以()00
h x <，不符合题意．
当0
3
a ≤≤时，令()2e c o s 1
x
a m x x
x =
-
++，[]0,πx ∈，
()()
()
2
2
2e s in 2s in 0
11x
a
a
m x x x x x '=+
->+
->++，
∴()m x 单调递增，则()()030m x m a ≥=-≥，
当0
a
<时，则()2e c o s 2c o s 0
1
1
x
a
a m x x x x x =
-
+>+-
>++，
()0g x '≥，()g x 单调递增，()()00g x g ≥
=．
∴()0
h t '≥，()h t 单调递增，()()
00
h t h ≥=，符合题意．
综上所述3a
≤．
【点睛】方法点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用． 22．(1)2
a =
1
【分析】（1）将曲线C 的参数方程化为普通方程，直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程，利用垂径定理可构造方程求得a 的值；
（2）根据圆的几何性质可求得点N 到直线O M 的距离的最大值，利用三角形面积公式可求得结果.
【详解】（1）由曲线C 的参数方程得：()2
2
1
x a y
-+=，则曲线C 是以(),0a 为圆心，1为半
径的圆；
由πc o s 42
ρ
θ⎛
⎫+=
⎪⎝
⎭c o s s in 2
2
2
θθ-
=
，
∴
直线l 的直角坐标方程为10
x y -
-=；
∴
圆心(),0a 到直线l
的距离d =
A B ∴
==2
12
d
=
，
()2
112
2
a
-∴=
，又0
a
>，2
a
∴=.
（2）设点N 到直线O M 的距离为h ，则1122
2
M O N
S O M h h h
=⋅=⨯=，
又直线O M
方程为：y
=
，曲线C 的圆心为()2,0，半径为1，
m a x 11h ∴=
=
，M O N ∴△
1.
23．(1)单调递增区间为3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
，12
m
=
(2)m in 141
1642
1
3123
a b c ⎛
⎫
+
+
== ⎪
+++⎝⎭，此时1a =，5
b =，0
c
=
【分析】（1）分别在1x
≤、312
x <<
和32
x
≥
的情况下，去掉绝对值符号可得函数解析式，
进而确定单调性；根据单调性可确定最小值； （2）根据()()()21312
a
b c +++++=，利用柯西不等式可求得结果.
【详解】（1）当1x ≤时，()
13234
f x x x x =-+-=-+，此时()f x 单调递减；
当312
x <<时，()
1322f x x x x
=-+-=-，此时()f x 单调递减；
当32
x
≥
时，()
12334
f x x x x =-+-=-，此时()f x 单调递增；
()
f
x \
的单调递增区间为3,2⎡⎫
+∞⎪⎢
⎣⎭
；由单调性可知：3122m f ⎛⎫
==
⎪⎝⎭
.
（2）由（1）知：6
a b c ++=，()()()21312a b c ∴+++++=，
由柯西不等式得：()()()()21
4121312116213a
b c a b c ⎛⎫⎡⎤+++++⋅++≥++= ⎪⎣⎦
+++⎝⎭
（当且仅当1a =，5
b =，0
c
=时等号成立），
m in 1
411642
13123a b c ⎛⎫∴++== ⎪
+++⎝⎭，此时1a
=，5
b =，0
c
=.。