2012届嘉定区高三一模数学理

2011学年嘉定区高三年级第一次质量调研
数学试卷（理）
考生注意：
1．答题前，务必在答题纸上将学校、班级、姓名等信息填写清楚，并贴好条形码．
2．解答试卷必须在答题纸规定的相应位置书写，超出答题纸规定位置或写在试卷上的答案一律无效．
3．本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟．
一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．若C z ∈，且i z i 2)1(=⋅-，则=z ____________．
2．在等差数列}{n a 中，35=a ，26-=a ，则}{n a 的前10项和=10S ___________． 3．函数x
x x f 1
1)(=
（0≥x ）的反函数=-)(1
x f
___________________．
4．方程1)21(log 2-=-x 的解=x __________．
5．在直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，点)1,2(A ，),5(y B ，
若AB OA ⊥，则=y _____． 6．已知集合}3||{<=x x A ，}023{2>+-=x x x B ，则集合A x x ∈{且}B A x ∉= ___________________．
7．若某校老、中、青教师的人数分别为80、160、240，现要用分层抽样的方法抽取容量为60的样本参加普通话测试，则应抽取的中年教师的人数为_____________． 8．若双曲线12
2
=-
k
y
x 的焦点到渐近线的距离为22
则实数k 的值为____________．
9．书架上有3本不同的数学书，2本不同的语文书， 2本不同的英语书，将它们任意地排成一排，则左边
3本都是数学书的概率为________（结果用分数表示）．
10．如图所示的算法框图，若输出S 的值是90， 那么在判断框（1）处应填写的条件是___________．
11．已知三个球的半径1R ，2R ，3R 满足
32132R R R =+，则它们的体积1V ，2V ，3V 满足的
等量关系是_______________________． 12．已知函数x x x f cos )(2-=，⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡
-
∈2,
2
ππ
x ，则满足⎪⎭
⎫
⎝⎛>3)(πf x f 的x 的取值范围是____________________．
13．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆
122
22
=+b
y
a x
（0>>b a ）被围于由4条直线a x ±=，b y ±=所围成的
矩形ABCD 内，任取椭圆上一点P ，若OB n OA m OP ⋅+⋅= （m 、R n ∈），则m 、n 满足的一个等式是_______________
14．将正奇数排成下图所示的三角形数表：
1
3，
5 7，9，11 13
，15，17，19
……
其中第i 行第j 个数记为ij a （
i 、*N j ∈），例如1542=a ，若2
011=ij a ，则=+j i ____．
二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 15．若集合}4,3,2,1{=P ，},50{R x x x Q ∈<<=，则“P x ∈”是“Q x ∈”的（ ）
A ．充分非必要条件
B ．必要非充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件 16．若n m <，q p <，且0))((<--n p m p ，0))((<--n q m q ，则（ ） A ．q n p m <<< B ．n q m p <<< C ．n q p m <<< D ．q n m p <<<
17．设b a <<0，则函数)(||b x a x y --=的图像大致形状是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
18．若直线04=++by ax 和圆42
2
=+y x 没有公共点，则过点),(b a 的直线与椭圆
14
92
2
=+
y
x
的公共点个数为（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．需根据a ，b 的取值来确定
三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分． 如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，2=AB ，41==AA AC ，︒=∠90ABC ． （1）求三棱柱111C B A ABC -的表面积S ；
（2）求异面直线B A 1与AC 所成角的大小（结果用反三角函数表示）．
20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 已知函数2
cos
32cos
2sin
)(2
x x x x f +
=．
（1）求方程0)(=x f 的解集；
（2）如果△ABC 的三边a ，b ，c 满足ac b =2
，且边b 所对的角为x ，求角x 的取值范围及此时函数)(x f 的值域．
21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 已知双曲线C 的方程为14
2
2
=-
y
x ，点)2,(m m A 和点)2,(n n B -（其中m 和n 均为正
A
C
A 1
B 1
C 1
数）是双曲线C 的两条渐近线上的的两个动点，双曲线C 上的点P 满足PB AP ⋅=λ（其中⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈3,21λ）．
（1）用λ的解析式表示mn ；
（2）求△AOB （O 为坐标原点）面积的取值范围．
22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．
定义1x ，2x ，…，n x 的“倒平均数”为n
x x x n
+++ 21（*N n ∈）．已知数列}{n a 前n
项的“倒平均数”为
4
21+n ，记1
+=
n a c n n （*N n ∈）．
（1）比较n c 与1+n c 的大小；
（2）设函数x x x f 4)(2+-=，对（1）中的数列}{n c ，是否存在实数λ，使得当λ≤x 时，
n c x f ≤)(对任意*N n ∈恒成立？若存在，求出最大的实数λ；若不存在，说明理由．
（3）设数列}{n b 满足11=b ，b b =2（R b ∈且0≠b ），21---=n n n b b b （*N n ∈且
3≥n ），且}{n b 是周期为3的周期数列，设n T 为}{n b 前n 项的“倒平均数”，求n n T ∞
→lim ．
23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
已知函数b ax ax x g ++-=12)(2
（0>a ）在区间]3,2[上有最大值4和最小值1．设
x
x g x f )()(=
．
（1）求a 、b 的值；
（2）若不等式02)2(≥⋅-x
x
k f 在]1,1[-∈x 上有解，求实数k 的取值范围；
（3）若()03|
12|2|12|=--⋅+-k k f x
x 有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围．
2011学年嘉定区高三年级第一次质量调研数学试卷（理）
参考答案与评分标准
一．填空题
1．i +-1；2．5；3．1+x （1-≥x ）；4．1-；5．5-；6．}21{≤≤x x ；7．20；
8．8；9．35
1；10．8≤k ，或8=k ，或9<k 等；11．33323132V V V ⋅=⋅+； 12．⎥⎦
⎤ ⎝⎛⎪⎭⎫
⎢⎣⎡
-
-
2,33,2
ππππ
；13．212
2=+n m ；14．61．
二．选择题
15．A ；16．C ；17．B ；18．C ．
三．解答题 19．（1）在△ABC 中，因为2=AB ，4=AC ，
︒=∠90ABC ，所以32=BC ．…………（1分） 322
1=⋅⋅=
∆BC AB S ABC ．………………（1分）
所以侧S S S ABC +=∆21)(2AA AC BC AB S ABC ⋅+++=∆
4)4322(34⋅+++=312
24+=．…………（3分）
（2）连结1BC ，因为AC ∥11C A ，所以11C BA ∠就是异面直线B A 1与AC 所成的角（或其补角）．…………（1分） 在△11BC A 中，521=B A ，721=BC ，411=C A ，…………（1分） 由余弦定理，10
52cos 1
112
1
2
112
111=
⋅⋅-+=∠C A B A BC C A B A C BA ，…………（3分）
所以10
5arccos
11=∠C BA ．…………（1分）
A
B
C
A 1
B 1
C 1
即异面直线B A 1与AC 所成角的大小为10
5arccos ．……（1分）
20．（1）解法一：由0)(=x f ，得02cos
32
sin
2cos =⎪⎭
⎫
⎝⎛+x x
x ，……（1分） 由02cos =x ，得2
2π
π+
=k x ，ππ+=k x 2（Z k ∈）．……（2分）
由02cos
32
sin
=+
x x ，得32
tan
-=x ，
3
2
π
π-
=k x ，3
22ππ-=k x （Z k ∈）．…………（2分）
所以方程0)(=x f 的解集为⎭
⎬⎫
⎩
⎨⎧
∈-
=+=Z k k x k x x ,3222π
πππ或．……（1分） 解法二：233sin )1(cos 23
sin 2
1)(+
⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+=++=
πx x x x f ，……（2分） 由0)(=x f ，得23
3sin -
=⎪⎭
⎫
⎝⎛
+
πx ，…………（1分） 3
)1(3πππk k x --=+，Z k ∈，…………（2分）
所以方程0)(=x f 的解集为⎭
⎬⎫
⎩
⎨⎧∈-
--=Z k k x x k
,33
)1(π
π
π．…………（1分） （2）由余弦定理，B ac c a b cos 2222-+=，
ac
ac
c a ac b
c a B 22cos 2
22
22-+=
-+=
21
≥
，…………（2分）
所以30π≤<B ，…………（1分）由题意，B x =，所以⎥⎦⎤ ⎝
⎛
∈3,0πx ．……（1分）
233sin )1(cos 23
sin 2
1)(+⎪⎭⎫ ⎝⎛
+=++
=
πx x x x f ，⎥⎦
⎤ ⎝⎛∈+32,33πππx ，……（2分） 所以此时函数)(x f 的值域为⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡
+123
,
3．…………（2分） 21．（1）由已知，)2,(m m A ，)2,(n n B -（0>m ，0>n ），设),(y x P
由PB AP ⋅=λ，得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
+-=++=λλλ
λ1221n m y n m x ，故P 点的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++λλλλ1)(2,1n m n m ，…（3分）
将P 点的坐标代入14
2
2
=-
y
x ，化简得，λ
λ4)1(2
+=
mn ．…………（3分）
（2）解法一：设θ2=∠AOB ，则2tan =θ，所以5
42sin =θ．……（1分）
又m OA 5||=，n OB 5||=
，所以mn OB OA S AOB 22sin ||||2
1=⋅⋅⋅=
∆θ
1121)1(212
+⎪⎭
⎫
⎝⎛+=
+⋅=λλλ
λ，…………（3分） 记1121)(+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=
λλλS ，⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∈3,21λ，则)(λS 在⎥⎦⎤
⎢⎣⎡∈1,21λ上是减函数，在]3,1[∈λ上是增函数．…………（2分）
所以，当1=λ时，)(λS 取最小值2，当3=λ时，)(λS 取最大值3
8．
所以△AOB 面积的取值范围是⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡
38,
2．…………（2分） 解法二：因为)2,(m m A ，)2,(n n B -（0>m ，0>n ），所以
mn n n
m
m n
n
m m S AOB 222211
2100122
1=--=-=
∆1121)
1(212
+⎪⎭
⎫
⎝⎛+=
+⋅=λλλ
λ，
…（4分） 记1121)(+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=
λλλS ，⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∈3,21λ，
则)(λS 在⎥⎦⎤
⎢⎣⎡∈1,21λ上是减函数，在]3,1[∈λ上是增函数．…………（2分）
所以，当1=λ时，)(λS 取最小值2，当3=λ时，)(λS 取最大值3
8．
所以△AOB 面积的取值范围是⎥⎦⎤
⎢⎣⎡38,2．…………（2分）
22．（1）设数列}{n a 的前n 项和为n S ，由题意得
4
21+=
n S n n
，
所以n n S n 422
+=，……（1分）
当1=n 时，611==S a ，当2≥n 时，241+=-=-n S S a n n n ，而1a 也满足此式． 所以24+=n a n （*N n ∈）．……（1分） 所以1
241
24+-
=++=
n n n c n ，……（1分）
0)
2)(1(2
2
21
21>++=
+-
+=
-+n n n n c c n n ，因此1+<n n c c ．……（1分）
（2）假设存在实数λ，使得当λ≤x 时，n c x f ≤)(对任意*N n ∈恒成立，
即n c x x ≤+-42对任意*N n ∈恒成立，……（2分）
由（1）知数列}{n c 是递增数列，所以只要124c x x ≤+-，即0342≥+-x x ，（2分） 解得1≤x 或3≥x ．……（1分）
所以存在最大的实数1=λ，使得当λ≤x 时，n c x f ≤)(对任意*N n ∈恒成立．…（1分） （3）由11=b ，b b =2，得|1|3-=b b ，……（1分）
① 若1≥b ，则13-=b b ，1||234=-=b b b ，|2|5b b -=，因为}{n b 周期为3，故b b b ==25，所以b b =-|2|，所以b b =-2，b b -=-2（舍），故1=b ． 此时，}{n b 为1，1，0，1，1，0，…．符合题意．……（1分）
② 若1<b ，则b b -=13，|21|||234b b b b -=-=，因为}{n b 周期为3，故114==b b ， 所以1|21|=-b ，即121=-b 或121-=-b ，解得0=b 或1=b ，均不合题意．…（1分）
设数列}{n b 的前n 项和为n S ，则对*N n ∈，有⎪⎩
⎪
⎨⎧-=--===.23,12,13,2,
3,2k n k k n k k n k S n
……（1分） 即⎪
⎪⎪⎩⎪⎪
⎪⎨⎧-=+-=+==.23,3
1
2,13,3
2
2,3,3
2k n n k n n k n n
S n
所以⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=+-=+==.23,123,13,223,3,23k n n n k n n n k n T n 因此23lim =∞→n
n T ．（2分） 23．（1）a b x a x g -++-=1)1()(2
，……（1分） 因为0>a ，所以)(x g 在区间]3,2[上是增函数，故⎩⎨
⎧==4
)3(1)2(g g ，解得⎩⎨
⎧==0
1b a ．（3分）
（2）由已知可得21)(-+=x
x x f ，……（1分）
所以02)2(≥⋅-x
x k f 可化为x
x
x
k 222
12⋅≥-+
，…………（1分）
化为k x x ≥⋅-⎪⎭
⎫
⎝⎛+2122112
，令x t 21=，则122+-≤t t k ，因]1,1[-∈x ，故⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,21t ， 记=)(t h 122+-t t ，因为⎥⎦⎤
⎢⎣⎡∈1,21t ，故1)(max =t h ，…………（3分）
所以k 的取值范围是]1,(-∞．…………（1分）
（3）原方程可化为0)12(|12|)23(|12|2=++-⋅+--k k x x ，……（1分）
令t x =-|12|，则),0(∞+∈t ，0)12()23(2=+++-k t k t 有两个不同的实数解1t ，2t ，其中101<<t ，12>t ，或101<<t ，12=t ．……（3分） 记)12()23()(2+++-=k t k t t h ，则⎩⎨
⎧<-=>+0
)1(012k h k ①
或⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧
<+<=-=>+1
22300)1(012k k h k ② …………（2分） 解不等组①，得0>k ，而不等式组②无实数解．所以实数k 的取值范围是),0(∞+． ………………（2分）。