【优质】初三九年数学：《专题十一与切线有关的辅助线的作法》ppt课件
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(2)证明：由(1)知∠ADO＝∠ABO＝90°，∴∠A＋∠BOD＝360°－∠ADO－∠ABO＝180°.∵
(2)连结CD，求证：∠A＝2∠CDE； ∠BOD＋∠DOC＝180°，∴∠A＝∠DOC.∵∠ODE＝90°，∴∠ODC＋∠CDE＝90°.∵BC 是⊙O 的直径，∴∠ODC＋∠BDO＝90°，∴∠BDO＝∠CDE.∵∠DOC＝2∠BDO＝2∠CDE，∴∠A＝2
(3)若∠CDE＝27°，OB＝2，求 ∠CDE. (3)∵∠CDE＝27°，∴∠DOC＝2∠CDE＝54°，∴∠BOD＝180°－54°＝126°.∵
OB＝2，∴B︵D的长＝126·π×2＝7π.
180
5
的长．
变式2 如图，△ABC中，∠ACB＝ 90°，D是边AB上的一点，且∠A ＝2∠DCB.E是边BC上的一点，以EC
BG GE BE
＝(2BE－2 5)·2BE，∴BE＝4 5，∴AB＝ BE2＋AE2＝5 5，∴菱形 ABCD 的边长是5 5.
3
3
3
类型三
遇切线，连半径求长度与角度
例3 教材原题(教材P44作业题T5)
如图，DB为半圆的直径，A为BD延
长线上一点，AC切半圆于点E，
BC⊥AC于点C，交半圆于点F.已知
BD的长． (2)如图②，过点 O 作 OM⊥CD 于点 M，则 OM＝1，连结 DE，OD.∵OM⊥CD，∴CM＝DM.又
∵OC＝OE，∴DE＝2OM＝2.∵Rt△BDO 中，OE＝BE，∴BO＝2DE，∴BO＝4.∴OD＝2，∴BD＝
2 3.
类型二
用“作垂直，证半径”的方法证圆的切线
例2 如图，已知点O为正方形 ABCD对角线AC上一点，以点O为圆 心，OA长为半径的⊙O与BC相切于 点M，与AB，AD分别相交于点E，F
5，∴AC＝2
1 5，∴S△ABC＝2AC·BC＝5.
第2章 直线与圆的位置关系
专题十一 与切线有关的辅助线的作法
浙教版·九年级下册
类型一
用“连半径，证垂直”的方法证圆的切线
例1 教材原题(教材P40作业题T4) 已知：如图，AB是⊙O的直径， BC⊥AB，弦AD∥OC，求证：CD是
⊙O的切线．
变式1 (2016·丽水)如图，AB是以
BC为直径的半圆O的切线，D为半
22
2
＋OC.∵OC∥AE，∴OACE＝PPOA.∵AB＝3PB，AB＝2OB，∴OB＝32PB，∴3＋OCOC＝PPBB＋＋323PPBB，∴OC＝52， 2
∴AB＝5.∵△PBC∽△PCA，∴PB＝BC＝1，∴AC＝2BC.∵在 Rt△ABC 中，AC2＋BC2＝AB2，∴ PC AC 2
(2BC)2＋BC2＝52，∴BC＝
圆上一点，B︵D AD＝AB，AD，BC的延
长线相交于点E. 解：(1)证明：连结 OD，BD，∵AB 是以 BC 为直径的半圆 O 的切线，∴AB⊥BC，即∠ABO
＝90°.∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB.∵OB＝OD，∴∠DBO＝∠BDO，∴∠ABD＋∠DBO＝∠ADB
(1)求证：AD是半圆O的切线； ＋∠BDO，∴∠ADO＝∠ABO＝90°.又∵OD 是半圆 O 的半径，∴AD 是半圆 O 的切线．
半径，∴⊙A 与边 CD 相切．
(2)若⊙A的半径为 ，tan∠BEF＝ (2)延长 BA 交⊙A 于点 G，连结 GE，则∠FEG＝90°，∴∠G＋∠GFE＝90°.∵AF＝AE，
∴∠AFE＝∠AEF，∴∠G＋∠AEF＝90°.又∵AE⊥BC，∴∠AEF＋∠BEF＝90°，∴∠G＝∠BEF.
，求菱形ABCD的边长． ∵⊙A 的半径为 5，∴FG＝2 5.∵tanG＝tan∠BEF＝1，∴EF＝2，EG＝4.∵∠B＝∠B，∠G 2 ＝∠BEF，∴△BEF∽△BGE，∴BE＝EF＝BF.∴BG＝2BE，BE2＝BF·BG，即 BE2＝(BG－2 5)·BG
(2)AB＝3PB.理由：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB＝∠ACO＋∠OCB＝90°.∵∠PCB＋∠OCB
＝90°，∴∠PCB＝∠ACO＝∠PAC.∵∠P 是公共角，∴△PCB∽△PAC，∴PC＝PB.∵PB∶PC PA PC
＝1∶2，∴PA＝2PC，∴PA＝4PB，∴AB＝3PB.
(3)过点 O 作 OH⊥AD 于点 H，则 AH＝1AD＝3，四边形 OCEH 是矩形，∴OC＝HE，∴AE＝3
8
88
变式4 已知直线l和⊙O，AB是⊙O 的直径，AD⊥l于点D.
(1)如图①，当直线l与⊙O相切于点 C时，若∠DAC＝30°，求∠BAC的
大小；
(2)如图②，当直线l与⊙O相交于点 E，F时，若∠DAE＝18°，求∠BAF
的大小．
变式5 如图，AB是⊙O的直径， 点C为⊙O上一点，AE和过点C的切 线互相垂直，垂足为E，AE交⊙O于 点D，直线EC交AB的延长线于点P，
，求证：CD与⊙O相切．
变式3 如图，⊙A与菱形ABCD的
边BC相5 切于12点E，与边AB相交于点F
，连结EF.
解：(1)证明：过点 A 作 AH⊥CD 于点 H，连结 AE，AC，∵BC 与⊙A 相切于点 E，∴AE⊥
(1)求证：CD是⊙A的切线； BC.∵四边形 ABCD 为菱形，∴AC 平分∠BCD.∵AH⊥CD，AE⊥BC，∴AE＝AH，即 AH 为⊙A 的
连结AC，BC，PB∶PC＝1∶2. (1)求证：AC平分∠BAD；
(2)探究线段PB，AB之间的数量关 系，并说明理由；
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解：(1)证明：连结 OC，∵PE 是⊙O 的切线，∴OC⊥PE.∵AE⊥PE，∴OC∥AE，∴∠DAC
＝∠OCA.∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∴∠DAC＝∠OAC，∴AC 平分∠BAD.
解：(1)证明：如图①，连结 OD，∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠DCB，∴∠DOB＝2∠DCB.又∵
为直径的⊙O经过点D. ∠A＝2∠DCB，∴∠A＝∠DOB.∵∠A＋∠B＝90°，∴∠DOB＋∠B＝90°，∴∠BDO＝90°，
即 OD⊥AB，∴AB 是⊙O 的切线．
(1)求证：AB是⊙O的切线； (2)若CD的弦心距为1，BE＝EO，求
解：连结 OE，∵BC⊥AC，∴∠C＝90°.∵在 Rt△ABC 中，AC＝12，BC＝9，根据勾股定
AC＝12，BC＝9，求AO的长． 理，得 AB＝15.∵AC 切半圆 O 于点 E，∴OE⊥AC，∴OE∥BC，∴OE＝AO，即OE＝15－OE，∴ BC AB 9 15
OE＝45，∴AO＝AB－OB＝15－45＝75.
(2)连结CD，求证：∠A＝2∠CDE； ∠BOD＋∠DOC＝180°，∴∠A＝∠DOC.∵∠ODE＝90°，∴∠ODC＋∠CDE＝90°.∵BC 是⊙O 的直径，∴∠ODC＋∠BDO＝90°，∴∠BDO＝∠CDE.∵∠DOC＝2∠BDO＝2∠CDE，∴∠A＝2
(3)若∠CDE＝27°，OB＝2，求 ∠CDE. (3)∵∠CDE＝27°，∴∠DOC＝2∠CDE＝54°，∴∠BOD＝180°－54°＝126°.∵
OB＝2，∴B︵D的长＝126·π×2＝7π.
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的长．
变式2 如图，△ABC中，∠ACB＝ 90°，D是边AB上的一点，且∠A ＝2∠DCB.E是边BC上的一点，以EC
BG GE BE
＝(2BE－2 5)·2BE，∴BE＝4 5，∴AB＝ BE2＋AE2＝5 5，∴菱形 ABCD 的边长是5 5.
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类型三
遇切线，连半径求长度与角度
例3 教材原题(教材P44作业题T5)
如图，DB为半圆的直径，A为BD延
长线上一点，AC切半圆于点E，
BC⊥AC于点C，交半圆于点F.已知
BD的长． (2)如图②，过点 O 作 OM⊥CD 于点 M，则 OM＝1，连结 DE，OD.∵OM⊥CD，∴CM＝DM.又
∵OC＝OE，∴DE＝2OM＝2.∵Rt△BDO 中，OE＝BE，∴BO＝2DE，∴BO＝4.∴OD＝2，∴BD＝
2 3.
类型二
用“作垂直，证半径”的方法证圆的切线
例2 如图，已知点O为正方形 ABCD对角线AC上一点，以点O为圆 心，OA长为半径的⊙O与BC相切于 点M，与AB，AD分别相交于点E，F
5，∴AC＝2
1 5，∴S△ABC＝2AC·BC＝5.
第2章 直线与圆的位置关系
专题十一 与切线有关的辅助线的作法
浙教版·九年级下册
类型一
用“连半径，证垂直”的方法证圆的切线
例1 教材原题(教材P40作业题T4) 已知：如图，AB是⊙O的直径， BC⊥AB，弦AD∥OC，求证：CD是
⊙O的切线．
变式1 (2016·丽水)如图，AB是以
BC为直径的半圆O的切线，D为半
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＋OC.∵OC∥AE，∴OACE＝PPOA.∵AB＝3PB，AB＝2OB，∴OB＝32PB，∴3＋OCOC＝PPBB＋＋323PPBB，∴OC＝52， 2
∴AB＝5.∵△PBC∽△PCA，∴PB＝BC＝1，∴AC＝2BC.∵在 Rt△ABC 中，AC2＋BC2＝AB2，∴ PC AC 2
(2BC)2＋BC2＝52，∴BC＝
圆上一点，B︵D AD＝AB，AD，BC的延
长线相交于点E. 解：(1)证明：连结 OD，BD，∵AB 是以 BC 为直径的半圆 O 的切线，∴AB⊥BC，即∠ABO
＝90°.∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB.∵OB＝OD，∴∠DBO＝∠BDO，∴∠ABD＋∠DBO＝∠ADB
(1)求证：AD是半圆O的切线； ＋∠BDO，∴∠ADO＝∠ABO＝90°.又∵OD 是半圆 O 的半径，∴AD 是半圆 O 的切线．
半径，∴⊙A 与边 CD 相切．
(2)若⊙A的半径为 ，tan∠BEF＝ (2)延长 BA 交⊙A 于点 G，连结 GE，则∠FEG＝90°，∴∠G＋∠GFE＝90°.∵AF＝AE，
∴∠AFE＝∠AEF，∴∠G＋∠AEF＝90°.又∵AE⊥BC，∴∠AEF＋∠BEF＝90°，∴∠G＝∠BEF.
，求菱形ABCD的边长． ∵⊙A 的半径为 5，∴FG＝2 5.∵tanG＝tan∠BEF＝1，∴EF＝2，EG＝4.∵∠B＝∠B，∠G 2 ＝∠BEF，∴△BEF∽△BGE，∴BE＝EF＝BF.∴BG＝2BE，BE2＝BF·BG，即 BE2＝(BG－2 5)·BG
(2)AB＝3PB.理由：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB＝∠ACO＋∠OCB＝90°.∵∠PCB＋∠OCB
＝90°，∴∠PCB＝∠ACO＝∠PAC.∵∠P 是公共角，∴△PCB∽△PAC，∴PC＝PB.∵PB∶PC PA PC
＝1∶2，∴PA＝2PC，∴PA＝4PB，∴AB＝3PB.
(3)过点 O 作 OH⊥AD 于点 H，则 AH＝1AD＝3，四边形 OCEH 是矩形，∴OC＝HE，∴AE＝3
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变式4 已知直线l和⊙O，AB是⊙O 的直径，AD⊥l于点D.
(1)如图①，当直线l与⊙O相切于点 C时，若∠DAC＝30°，求∠BAC的
大小；
(2)如图②，当直线l与⊙O相交于点 E，F时，若∠DAE＝18°，求∠BAF
的大小．
变式5 如图，AB是⊙O的直径， 点C为⊙O上一点，AE和过点C的切 线互相垂直，垂足为E，AE交⊙O于 点D，直线EC交AB的延长线于点P，
，求证：CD与⊙O相切．
变式3 如图，⊙A与菱形ABCD的
边BC相5 切于12点E，与边AB相交于点F
，连结EF.
解：(1)证明：过点 A 作 AH⊥CD 于点 H，连结 AE，AC，∵BC 与⊙A 相切于点 E，∴AE⊥
(1)求证：CD是⊙A的切线； BC.∵四边形 ABCD 为菱形，∴AC 平分∠BCD.∵AH⊥CD，AE⊥BC，∴AE＝AH，即 AH 为⊙A 的
连结AC，BC，PB∶PC＝1∶2. (1)求证：AC平分∠BAD；
(2)探究线段PB，AB之间的数量关 系，并说明理由；
ห้องสมุดไป่ตู้
解：(1)证明：连结 OC，∵PE 是⊙O 的切线，∴OC⊥PE.∵AE⊥PE，∴OC∥AE，∴∠DAC
＝∠OCA.∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∴∠DAC＝∠OAC，∴AC 平分∠BAD.
解：(1)证明：如图①，连结 OD，∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠DCB，∴∠DOB＝2∠DCB.又∵
为直径的⊙O经过点D. ∠A＝2∠DCB，∴∠A＝∠DOB.∵∠A＋∠B＝90°，∴∠DOB＋∠B＝90°，∴∠BDO＝90°，
即 OD⊥AB，∴AB 是⊙O 的切线．
(1)求证：AB是⊙O的切线； (2)若CD的弦心距为1，BE＝EO，求
解：连结 OE，∵BC⊥AC，∴∠C＝90°.∵在 Rt△ABC 中，AC＝12，BC＝9，根据勾股定
AC＝12，BC＝9，求AO的长． 理，得 AB＝15.∵AC 切半圆 O 于点 E，∴OE⊥AC，∴OE∥BC，∴OE＝AO，即OE＝15－OE，∴ BC AB 9 15
OE＝45，∴AO＝AB－OB＝15－45＝75.