北师大高中数学选择性必修第一册3.1空间直角坐标系【课件】
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x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D－xyz，则D(0，
0，0)，C(0，4，0)，A(4，0，0)，B1(4，4，4).
∵点F是B1C的中点，
∴点F的坐标为(2，4，2).
又∵|DE|＝3|EA|，∴点E的坐标为(3，0，0).
∴|EF|＝ (－) ＋(－) ＋(－) ＝ .
通法提炼
一个点到坐标轴的距离等于该点与其在这条坐标轴上的投影间的距离，一个
点到坐标平面的距离等于该点与其在这个平面内的投影间的距离. 点到点的距
离，先求出点的坐标，再利用点到点的距离公式直接求解.
变式训练 2
求以下两点间的距离.
(1)A(1，0，－1)，B(0，1，2)；
(2)A(10，－1，6)，B(4，1，9).
1)的距离最小.
[解]
(1)设点P(x，0，0). 由题意，得|PA|＝ (－) ＋＋＝ ，
解得x＝9或x＝－3.
所以点P的坐标为(9，0，0)或(－3，0，0).
(2)由条件，可设M(x，x－1，0)，则
|MB|＝ (＋) ＋(－－) ＋(－) ＝
－
＝
(1 －2 )2 ＋(1 －2 )2 ＋(1 －2 )2 .
2. 特殊情况：空间中任意一点 P(x，y，z)与原点 O 的距离为|OP|＝
2 ＋ 2 ＋ 2 .
1. 三个坐标平面的关系是怎样的?在 xOy 平面内画平面图形时，应怎样画?
提示：三个坐标平面两两互相垂直；在xOy平面内画平面图形时，一般采用
解析：在空间直角坐标系中，点M(x，y，z)关于y轴的对称点的坐标为(－
x，y，－z)，点M(4，7，6)关于y轴的对称点的坐标为(－4，7，－6).
5. 如图所示，已知直三棱柱 ABC－A1B1C1，底面△ABC 中，CA＝CB＝1，∠
BCA＝90°，棱 AA1＝2，M，N 分别是 A1B1，A1A 的中点，求 MN 的长度.
(2)∵M为棱PB的中点，
∴由中点坐标公式得
M
＋
＋
＋
，
，
，即M ，
，
.
[例 2] 在正四棱柱 ABCD－A1B1C1D1 中，|AB|＝4，|AA1|＝4，点 E
在 AD 上且|DE|＝3|EA|，点 F 是 B1C 的中点，求线段 EF 的长度.
[解] 如图所示，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为
第三章
空间向量与立体几何
1
自
主
预
习
空间直角坐标系
互
动
学
习
达
标
小
练
[课标解读]1. 会建立空间直角坐标系(右手直角坐标系)，会表示空间中
的任意点. 2. 能在空间直角坐标系中求出点的坐标. 3. 记住空间两点间的距离
公式，并能应用两点间的距离公式解决一些简单的问题.
[素养目标]水平一：会求点在空间直角坐标系下的坐标(逻辑推理).
A1B1C1D1 中，E，F 分别是 D1D，BD 的中点，G 在棱 CD
1
上，且 CG＝4 CD，H 为 C1G 的中点，试建立适当的坐标
系，写出 E，F，G，H 的坐标.
[解]
建立如图所示的空间直角坐标系，点E在z轴上，E为DD1的中点，
故其坐标为 ，，
.
过点F作FM⊥AD，FN⊥DC，由平面几何知FM＝ ，FN＝ ，
四指沿握拳方向旋转 90°指向 y 轴正方向，此时大拇指的指向即为 z 轴正方
向. 我们称这样的坐标系为右手系.
3. 空间一点的坐标
空间一点 M
有序实数组(x，y，z).
其中 x 称为横坐标，y 称为纵坐标，z 称为竖坐标.
1. 公式：已知空间中任意两点 P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，则|P1P2|
B. (2，0，0)或(－2，0，0)
A. (1，0，0)或(－1，0，0)
C.
1
2
1
，0，0 或 － 2 ，0，0
D. －
2
2
，0，0 或
2
2
解析：设点A的坐标为(x，0，0). 根据题意有|AP|＝2|AQ|，
则 (－0) ＋(0－ ) ＋ (0－3) ＝
2 (－0) ＋(0－1) ＋(0＋) ，
斜二测画法.
2. 已知点 P(x，y，z)，如果 r 为定值，那么 x2＋y2＋z2＝r2 表示什么图形?
提示：由 ＋ ＋ 为点P到坐标原点的距离，结合x2＋y2＋z2＝r2知点P
到原点的距离为定值|r|，因此r≠0时，x2＋y2＋z2＝r2表示以原点为球心，|r|
为半径的球面；r＝0时，x2＋y2＋z2＝r2表示坐标原点.
标，再找该点与射影间的距离以确定竖坐标.
变式训练 1
在棱长均为 2a 的正四棱锥 P－ABCD 中，建立恰当的空间直
角坐标系.
(1)写出正四棱锥 P－ABCD 各顶点坐标；
(2)写出棱 PB 的中点 M 的坐标.
解：连接AC，BD交于点O，连接PO，
∵P－ABCD为正四棱锥，且棱长均为2a. ∴四边形ABCD为正方形，且
水平二：会求空间两点间的距离(数学运算).
基础训练
自主预习
1. 空间直角坐标系的构成要素
(1)原点：原点 O.
(2)坐标轴：x 轴，y 轴，z 轴.
(3)坐标平面：xOy 平面， yOz 平面，zOx 平面.
2. 右手直角坐标系
伸出右手，让四指与大拇指垂直，并使四指先指向 x 轴正方向，然后让
PO⊥平面ABCD. ∴OA＝ a.
PO＝ － ＝ (2) －( ) ＝ a.
以O点为坐标原点，OA，OB，OP所在的直线分别为x轴、y轴、z
轴，建立空间直角坐标系(图略).
(1)正四棱锥P－ABCD中各顶点坐标分别为A( a，0，0)，B(0，
a，0)，C(－ a，0，0)，D(0，－ a，0)，P(0，0， a).
解得x＝±1，故点A的坐标为(1，0，0)或(－1，0，0).
，0，0
基础训练
达标小练
1. 点 A(－1，0，1)与坐标原点 O 的距离是 ( A )
A. 2
B. 3
C. 1
D. 2
解析：坐标原点O(0，0，0)，再利用两点间距离公式得点A(－1，0，1)与
坐标原点O的距离是 ，故选A.
2. 已知点 A(2，3，5)，B(－2，1，3)，则|AB|等于 ( B )
故F点坐标为 ， ， .
点G在y轴上，又GD＝ ，所以G点坐标为 ， ， .
过H作HK⊥CD于K，
因为H是C1G的中点，所以K为CG的中点，所以DK＝ ，HK＝ ，故
H点坐标为 ， ， .
通法提炼
求空间直角坐标系内点的坐标时，一般找出要求的点在 xOy 平面上射影的坐
＋ .
所以当x＝ 时，|MB|min＝
此时点M的坐标为
，
， ，
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
.
通法提炼
空间中确定点 M 坐标的三种方法：
(1)过点 M 作 MM1 垂直于平面 xOy，垂足为 M1，求出 M1 的 x 坐标和 y 坐
标，再由射线 M1M 的指向和线段 MM1 的长度确定 z 坐标.
(2)构造以 OM 为体对角线的长方体，由长方体的三个棱长结合点 M 的位
C. 2，2，
2
3
B. (2，2，2)
D. 2，2，
4
3
解析：由于EB⊥xOy平面，B(2，2，0)，故设E(2，2，z). 因为EB＝
2EB1，所以BE＝ BB1＝ ，故E
，，
. 故选D.
4. 在空间直角坐标系中，点 M 的坐标是(4，7，6)，则点 M 关于 y 轴的对称
点坐标为(－4，7，－6) .
3. 平面几何中线段的中点坐标公式可以推广到空间中吗?
提示：可以. 空间线段的中点坐标公式可以类比平面中的结论得到：已知空
间中两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则AB的中点P的坐标为
＋
＋
＋
， ，
.
基础训练
互动学习
[例 1] 在棱长为 1 的正方体 ABCD－
置，可以确定点 M 的坐标.
(3)若题中所给的图形中存在垂直于坐标轴的平面，或点 M 在坐标轴或坐标
平面上，则利用这一条件，再作轴的垂线即可确定点 M 的坐标.
变式训练 3 设点 A 在 x 轴上，它到点 P(0， 2，3)的距离等于到点
Q(0，1，－1)的距离的两倍，那么点 A 的坐标是 ( A )
解：(1)|AB|＝ (1－0) ＋(0－1) ＋(－1－2) ＝ .
(2)|AB|＝ (10－4) ＋(－1－1) ＋(6－9) ＝ ＝7.
[例 3]
(1)在 x 轴上求一点 P，使它与点 A(3，1，－2)的距离为
41，写出点 P 坐标.
(2)在 xOy 平面内的直线 x－y＝1 上确定一点 M，使它到点 B(－1，3，
A. 6
B. 2 6
C. 2
D. 2 2
解析：代入两点间的距离公式得|AB|＝ (2＋) ＋(3－1) ＋(5－3) ＝2 . 故选B.
3. 如图，正方体 OABC－
O1A1B1C1 的棱长为 2，E 是 B1B 上的点，且 EB＝
2EB1，则点 E 的坐标为 ( D )
A. (2，2，1)
题图
解：如图所示，以C为原点，CA，CB，CC1所在直线为坐标轴，建立空间
直角坐标系C－xyz，因为CA＝CB＝1，AA1＝2，
所以N(1，0，1)，M
， ，2
，
由两点间的距离公式，得|MN|＝
－
＋
－
＋(－) ＝ .
答图
谢谢观赏！
Thanks!
0，0)，C(0，4，0)，A(4，0，0)，B1(4，4，4).
∵点F是B1C的中点，
∴点F的坐标为(2，4，2).
又∵|DE|＝3|EA|，∴点E的坐标为(3，0，0).
∴|EF|＝ (－) ＋(－) ＋(－) ＝ .
通法提炼
一个点到坐标轴的距离等于该点与其在这条坐标轴上的投影间的距离，一个
点到坐标平面的距离等于该点与其在这个平面内的投影间的距离. 点到点的距
离，先求出点的坐标，再利用点到点的距离公式直接求解.
变式训练 2
求以下两点间的距离.
(1)A(1，0，－1)，B(0，1，2)；
(2)A(10，－1，6)，B(4，1，9).
1)的距离最小.
[解]
(1)设点P(x，0，0). 由题意，得|PA|＝ (－) ＋＋＝ ，
解得x＝9或x＝－3.
所以点P的坐标为(9，0，0)或(－3，0，0).
(2)由条件，可设M(x，x－1，0)，则
|MB|＝ (＋) ＋(－－) ＋(－) ＝
－
＝
(1 －2 )2 ＋(1 －2 )2 ＋(1 －2 )2 .
2. 特殊情况：空间中任意一点 P(x，y，z)与原点 O 的距离为|OP|＝
2 ＋ 2 ＋ 2 .
1. 三个坐标平面的关系是怎样的?在 xOy 平面内画平面图形时，应怎样画?
提示：三个坐标平面两两互相垂直；在xOy平面内画平面图形时，一般采用
解析：在空间直角坐标系中，点M(x，y，z)关于y轴的对称点的坐标为(－
x，y，－z)，点M(4，7，6)关于y轴的对称点的坐标为(－4，7，－6).
5. 如图所示，已知直三棱柱 ABC－A1B1C1，底面△ABC 中，CA＝CB＝1，∠
BCA＝90°，棱 AA1＝2，M，N 分别是 A1B1，A1A 的中点，求 MN 的长度.
(2)∵M为棱PB的中点，
∴由中点坐标公式得
M
＋
＋
＋
，
，
，即M ，
，
.
[例 2] 在正四棱柱 ABCD－A1B1C1D1 中，|AB|＝4，|AA1|＝4，点 E
在 AD 上且|DE|＝3|EA|，点 F 是 B1C 的中点，求线段 EF 的长度.
[解] 如图所示，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为
第三章
空间向量与立体几何
1
自
主
预
习
空间直角坐标系
互
动
学
习
达
标
小
练
[课标解读]1. 会建立空间直角坐标系(右手直角坐标系)，会表示空间中
的任意点. 2. 能在空间直角坐标系中求出点的坐标. 3. 记住空间两点间的距离
公式，并能应用两点间的距离公式解决一些简单的问题.
[素养目标]水平一：会求点在空间直角坐标系下的坐标(逻辑推理).
A1B1C1D1 中，E，F 分别是 D1D，BD 的中点，G 在棱 CD
1
上，且 CG＝4 CD，H 为 C1G 的中点，试建立适当的坐标
系，写出 E，F，G，H 的坐标.
[解]
建立如图所示的空间直角坐标系，点E在z轴上，E为DD1的中点，
故其坐标为 ，，
.
过点F作FM⊥AD，FN⊥DC，由平面几何知FM＝ ，FN＝ ，
四指沿握拳方向旋转 90°指向 y 轴正方向，此时大拇指的指向即为 z 轴正方
向. 我们称这样的坐标系为右手系.
3. 空间一点的坐标
空间一点 M
有序实数组(x，y，z).
其中 x 称为横坐标，y 称为纵坐标，z 称为竖坐标.
1. 公式：已知空间中任意两点 P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，则|P1P2|
B. (2，0，0)或(－2，0，0)
A. (1，0，0)或(－1，0，0)
C.
1
2
1
，0，0 或 － 2 ，0，0
D. －
2
2
，0，0 或
2
2
解析：设点A的坐标为(x，0，0). 根据题意有|AP|＝2|AQ|，
则 (－0) ＋(0－ ) ＋ (0－3) ＝
2 (－0) ＋(0－1) ＋(0＋) ，
斜二测画法.
2. 已知点 P(x，y，z)，如果 r 为定值，那么 x2＋y2＋z2＝r2 表示什么图形?
提示：由 ＋ ＋ 为点P到坐标原点的距离，结合x2＋y2＋z2＝r2知点P
到原点的距离为定值|r|，因此r≠0时，x2＋y2＋z2＝r2表示以原点为球心，|r|
为半径的球面；r＝0时，x2＋y2＋z2＝r2表示坐标原点.
标，再找该点与射影间的距离以确定竖坐标.
变式训练 1
在棱长均为 2a 的正四棱锥 P－ABCD 中，建立恰当的空间直
角坐标系.
(1)写出正四棱锥 P－ABCD 各顶点坐标；
(2)写出棱 PB 的中点 M 的坐标.
解：连接AC，BD交于点O，连接PO，
∵P－ABCD为正四棱锥，且棱长均为2a. ∴四边形ABCD为正方形，且
水平二：会求空间两点间的距离(数学运算).
基础训练
自主预习
1. 空间直角坐标系的构成要素
(1)原点：原点 O.
(2)坐标轴：x 轴，y 轴，z 轴.
(3)坐标平面：xOy 平面， yOz 平面，zOx 平面.
2. 右手直角坐标系
伸出右手，让四指与大拇指垂直，并使四指先指向 x 轴正方向，然后让
PO⊥平面ABCD. ∴OA＝ a.
PO＝ － ＝ (2) －( ) ＝ a.
以O点为坐标原点，OA，OB，OP所在的直线分别为x轴、y轴、z
轴，建立空间直角坐标系(图略).
(1)正四棱锥P－ABCD中各顶点坐标分别为A( a，0，0)，B(0，
a，0)，C(－ a，0，0)，D(0，－ a，0)，P(0，0， a).
解得x＝±1，故点A的坐标为(1，0，0)或(－1，0，0).
，0，0
基础训练
达标小练
1. 点 A(－1，0，1)与坐标原点 O 的距离是 ( A )
A. 2
B. 3
C. 1
D. 2
解析：坐标原点O(0，0，0)，再利用两点间距离公式得点A(－1，0，1)与
坐标原点O的距离是 ，故选A.
2. 已知点 A(2，3，5)，B(－2，1，3)，则|AB|等于 ( B )
故F点坐标为 ， ， .
点G在y轴上，又GD＝ ，所以G点坐标为 ， ， .
过H作HK⊥CD于K，
因为H是C1G的中点，所以K为CG的中点，所以DK＝ ，HK＝ ，故
H点坐标为 ， ， .
通法提炼
求空间直角坐标系内点的坐标时，一般找出要求的点在 xOy 平面上射影的坐
＋ .
所以当x＝ 时，|MB|min＝
此时点M的坐标为
，
， ，
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
.
通法提炼
空间中确定点 M 坐标的三种方法：
(1)过点 M 作 MM1 垂直于平面 xOy，垂足为 M1，求出 M1 的 x 坐标和 y 坐
标，再由射线 M1M 的指向和线段 MM1 的长度确定 z 坐标.
(2)构造以 OM 为体对角线的长方体，由长方体的三个棱长结合点 M 的位
C. 2，2，
2
3
B. (2，2，2)
D. 2，2，
4
3
解析：由于EB⊥xOy平面，B(2，2，0)，故设E(2，2，z). 因为EB＝
2EB1，所以BE＝ BB1＝ ，故E
，，
. 故选D.
4. 在空间直角坐标系中，点 M 的坐标是(4，7，6)，则点 M 关于 y 轴的对称
点坐标为(－4，7，－6) .
3. 平面几何中线段的中点坐标公式可以推广到空间中吗?
提示：可以. 空间线段的中点坐标公式可以类比平面中的结论得到：已知空
间中两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则AB的中点P的坐标为
＋
＋
＋
， ，
.
基础训练
互动学习
[例 1] 在棱长为 1 的正方体 ABCD－
置，可以确定点 M 的坐标.
(3)若题中所给的图形中存在垂直于坐标轴的平面，或点 M 在坐标轴或坐标
平面上，则利用这一条件，再作轴的垂线即可确定点 M 的坐标.
变式训练 3 设点 A 在 x 轴上，它到点 P(0， 2，3)的距离等于到点
Q(0，1，－1)的距离的两倍，那么点 A 的坐标是 ( A )
解：(1)|AB|＝ (1－0) ＋(0－1) ＋(－1－2) ＝ .
(2)|AB|＝ (10－4) ＋(－1－1) ＋(6－9) ＝ ＝7.
[例 3]
(1)在 x 轴上求一点 P，使它与点 A(3，1，－2)的距离为
41，写出点 P 坐标.
(2)在 xOy 平面内的直线 x－y＝1 上确定一点 M，使它到点 B(－1，3，
A. 6
B. 2 6
C. 2
D. 2 2
解析：代入两点间的距离公式得|AB|＝ (2＋) ＋(3－1) ＋(5－3) ＝2 . 故选B.
3. 如图，正方体 OABC－
O1A1B1C1 的棱长为 2，E 是 B1B 上的点，且 EB＝
2EB1，则点 E 的坐标为 ( D )
A. (2，2，1)
题图
解：如图所示，以C为原点，CA，CB，CC1所在直线为坐标轴，建立空间
直角坐标系C－xyz，因为CA＝CB＝1，AA1＝2，
所以N(1，0，1)，M
， ，2
，
由两点间的距离公式，得|MN|＝
－
＋
－
＋(－) ＝ .
答图
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