2024八年级数学下册第1章直角三角形1.3直角三角形全等的判定习题课件新版湘教版
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BC，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别是点E，F.求证：CE
＝DF.
【证明】∵AC⊥BC，AD⊥BD，∴∠ACB＝∠BDA＝90°.
＝，
＝，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL).∴∠CBE＝∠DAF.
∵CE⊥AB，DF⊥AB，∴∠CEB＝∠DFA＝90°.
在Rt△ABC和Rt△BAD中，ቊ
解法三：∵∠A＝∠D＝90°，BC＝BC，
∴再添加∠ABC＝∠DCB，∴Rt△ABC≌Rt△DCB(AAS).
解法四：∵∠A＝∠D＝90°，BC＝BC，
∴再添加∠ACB＝∠DBC，∴Rt△ABC≌Rt△DCB(AAS).
5.如图，在△ABC中，点D是边B源自文库上的点，DE⊥AC，
DF⊥AB，垂足分别为点E，F，且DE＝DF，CE＝BF，求
(第1题)
2.[2022·株洲]如图，点O在一块直角三角尺ABC上(其中
∠ABC＝30°)，OM⊥AB于点M，ON⊥BC于点N，若OM
＝ON，则∠ABO＝
15
度.
(第2题)
【点拨】
根据OM⊥AB，ON⊥BC，可知∠OMB＝∠ONB＝
90°，由OM＝ON，OB＝OB，可证
Rt△OMB≌Rt△ONB(HL).根据全等三角形的性质可得
1.3
直角三角形全等的判定
名师点金
1.“HL”只能用于证明两个直角三角形全等.
2.直角三角形全等的判定方法有五种：
“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”“HL”.在判定两个直角三角形全
等时，要结合图形和已知条件灵活选择判定方法.
知识点1
判定直角三角形全等的条件：斜边、直角边
1.[2023·昆明八中模拟]如图，OD⊥AB于点D，OP⊥AC于点
证：∠B＝∠C.
【证明】∵DE⊥AC，DF⊥AB，∴∠BFD＝∠CED＝
90°，
在△BDF和△CDE中，
＝，
ቐ∠＝∠，
＝，
∴△BDF≌△CDE(SAS)，∴∠B＝∠C.
利用判定直角三角形全等证线段相等
6.(母题：教材P21习题T6)如图，AC⊥BC，AD⊥BD，AD＝
∵AD＝A'D'＝3，AC＝A'C'＝4，
∴Rt△ACD≌Rt△A'C'D'(HL)，
∴∠A'C'D'＝∠C＝n°，即∠A'C'B'＝180°－∠A'C'D'＝180°
－n°.
综上，∠C'的值为n°或180°－n°.故选C.
知识点2
直角三角形全等的应用
4. [新视角·条件开放型]如图，在Rt△ABC与Rt△DCB中，已
∠＝∠，
在△BCE和△ADF中，ቐ∠＝∠，
＝，
∴△BCE≌△ADF(AAS).∴CE＝DF.
利用判定三角形全等找全等条件
7. [2022·柳州 新视角·条件开放题]如图，点A，D，C，F在同
一条直线上，AB＝DE，BC＝EF.有下列三个条件：①AC
＝DF，②∠ABC＝∠DEF，③∠ACB＝∠DFE.
P，且OD＝OP，则△AOD与△AOP全等的理由是( D )
A.SSS
B.ASA
C.SAS
D.HL
(第1题)
【点拨】
因为OD⊥AB，OP⊥AC，所以∠ADO＝90°，∠APO＝
90°，则△AOD和△AOP都是直角三角形，已知OD＝OP，AO
＝AO，所以可以根据“HL”来判定△AOD与△AOP全等.
(1)请在上述三个条件中选取一个条件，使得
△ABC≌△DEF.你选取的条件为(填写序号)
一个条件)，你判定△ABC≌△DEF的依据是
唯一)
①
(只需选
SSS(答案不
(填“SSS”或“SAS”或“ASA”或“AAS”)；
(2)利用(1)的结论△ABC≌△DEF，求证：AB∥DE.
【证明】∵△ABC≌△DEF，
∠OBM＝∠OBN，进而可求出∠ABO的度数.
(第2题)
3.[2023·河北]在△ABC和△A'B'C'中，∠B＝∠B'＝30°，AB
＝A'B'＝6，AC＝A'C'＝4，已知∠C＝n°，则∠C'＝( C )
A.30°
B.n°
C.n°或180°－n°
D.30°或150°
【点拨】
过点A作AD⊥BC于点D，过A'作A'D'⊥B'C'于点D'.
∵∠B＝∠B'＝30°，AB＝A'B'＝6，∴AD＝A'D'＝3.
①当B，C在点D的两侧，B'，C'在点D'的两侧时，如图(a).
∵AD＝A'D'＝3，AC＝A'C'＝4，
∴Rt△ACD≌Rt△A'C'D'(HL)，∴∠C'＝∠C＝n°；
②当B，C在点D的两侧，B'，C'在点D'的同侧时，如图(b).
知∠A＝∠D＝90°，为了使Rt△ABC≌Rt△DCB，需添加
的条件是
AB＝DC(答案不唯一)
(第4题)
(不添加字母和辅助线).
【点拨】
解法一：∵∠A＝∠D＝90°，BC＝BC，
∴再添加AB＝DC，∴Rt△ABC≌Rt△DCB(HL).
解法二：∵∠A＝∠D＝90°，BC＝BC，
∴再添加AC＝BD，∴Rt△ABC ≌Rt△DCB(HL).
∴∠A＝∠EDF，
∴AB∥DE.
【点拨】
＝，
在△ABC和△DEF中，ቐ＝，
＝，
∴△ABC≌△DEF(SSS)，
∴选取条件①，可判定△ABC≌△DEF，依据是SSS.
(2)【证明】∵△ABC≌△DEF，∴∠A＝∠EDF，
∴AB∥DE.
＝DF.
【证明】∵AC⊥BC，AD⊥BD，∴∠ACB＝∠BDA＝90°.
＝，
＝，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL).∴∠CBE＝∠DAF.
∵CE⊥AB，DF⊥AB，∴∠CEB＝∠DFA＝90°.
在Rt△ABC和Rt△BAD中，ቊ
解法三：∵∠A＝∠D＝90°，BC＝BC，
∴再添加∠ABC＝∠DCB，∴Rt△ABC≌Rt△DCB(AAS).
解法四：∵∠A＝∠D＝90°，BC＝BC，
∴再添加∠ACB＝∠DBC，∴Rt△ABC≌Rt△DCB(AAS).
5.如图，在△ABC中，点D是边B源自文库上的点，DE⊥AC，
DF⊥AB，垂足分别为点E，F，且DE＝DF，CE＝BF，求
(第1题)
2.[2022·株洲]如图，点O在一块直角三角尺ABC上(其中
∠ABC＝30°)，OM⊥AB于点M，ON⊥BC于点N，若OM
＝ON，则∠ABO＝
15
度.
(第2题)
【点拨】
根据OM⊥AB，ON⊥BC，可知∠OMB＝∠ONB＝
90°，由OM＝ON，OB＝OB，可证
Rt△OMB≌Rt△ONB(HL).根据全等三角形的性质可得
1.3
直角三角形全等的判定
名师点金
1.“HL”只能用于证明两个直角三角形全等.
2.直角三角形全等的判定方法有五种：
“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”“HL”.在判定两个直角三角形全
等时，要结合图形和已知条件灵活选择判定方法.
知识点1
判定直角三角形全等的条件：斜边、直角边
1.[2023·昆明八中模拟]如图，OD⊥AB于点D，OP⊥AC于点
证：∠B＝∠C.
【证明】∵DE⊥AC，DF⊥AB，∴∠BFD＝∠CED＝
90°，
在△BDF和△CDE中，
＝，
ቐ∠＝∠，
＝，
∴△BDF≌△CDE(SAS)，∴∠B＝∠C.
利用判定直角三角形全等证线段相等
6.(母题：教材P21习题T6)如图，AC⊥BC，AD⊥BD，AD＝
∵AD＝A'D'＝3，AC＝A'C'＝4，
∴Rt△ACD≌Rt△A'C'D'(HL)，
∴∠A'C'D'＝∠C＝n°，即∠A'C'B'＝180°－∠A'C'D'＝180°
－n°.
综上，∠C'的值为n°或180°－n°.故选C.
知识点2
直角三角形全等的应用
4. [新视角·条件开放型]如图，在Rt△ABC与Rt△DCB中，已
∠＝∠，
在△BCE和△ADF中，ቐ∠＝∠，
＝，
∴△BCE≌△ADF(AAS).∴CE＝DF.
利用判定三角形全等找全等条件
7. [2022·柳州 新视角·条件开放题]如图，点A，D，C，F在同
一条直线上，AB＝DE，BC＝EF.有下列三个条件：①AC
＝DF，②∠ABC＝∠DEF，③∠ACB＝∠DFE.
P，且OD＝OP，则△AOD与△AOP全等的理由是( D )
A.SSS
B.ASA
C.SAS
D.HL
(第1题)
【点拨】
因为OD⊥AB，OP⊥AC，所以∠ADO＝90°，∠APO＝
90°，则△AOD和△AOP都是直角三角形，已知OD＝OP，AO
＝AO，所以可以根据“HL”来判定△AOD与△AOP全等.
(1)请在上述三个条件中选取一个条件，使得
△ABC≌△DEF.你选取的条件为(填写序号)
一个条件)，你判定△ABC≌△DEF的依据是
唯一)
①
(只需选
SSS(答案不
(填“SSS”或“SAS”或“ASA”或“AAS”)；
(2)利用(1)的结论△ABC≌△DEF，求证：AB∥DE.
【证明】∵△ABC≌△DEF，
∠OBM＝∠OBN，进而可求出∠ABO的度数.
(第2题)
3.[2023·河北]在△ABC和△A'B'C'中，∠B＝∠B'＝30°，AB
＝A'B'＝6，AC＝A'C'＝4，已知∠C＝n°，则∠C'＝( C )
A.30°
B.n°
C.n°或180°－n°
D.30°或150°
【点拨】
过点A作AD⊥BC于点D，过A'作A'D'⊥B'C'于点D'.
∵∠B＝∠B'＝30°，AB＝A'B'＝6，∴AD＝A'D'＝3.
①当B，C在点D的两侧，B'，C'在点D'的两侧时，如图(a).
∵AD＝A'D'＝3，AC＝A'C'＝4，
∴Rt△ACD≌Rt△A'C'D'(HL)，∴∠C'＝∠C＝n°；
②当B，C在点D的两侧，B'，C'在点D'的同侧时，如图(b).
知∠A＝∠D＝90°，为了使Rt△ABC≌Rt△DCB，需添加
的条件是
AB＝DC(答案不唯一)
(第4题)
(不添加字母和辅助线).
【点拨】
解法一：∵∠A＝∠D＝90°，BC＝BC，
∴再添加AB＝DC，∴Rt△ABC≌Rt△DCB(HL).
解法二：∵∠A＝∠D＝90°，BC＝BC，
∴再添加AC＝BD，∴Rt△ABC ≌Rt△DCB(HL).
∴∠A＝∠EDF，
∴AB∥DE.
【点拨】
＝，
在△ABC和△DEF中，ቐ＝，
＝，
∴△ABC≌△DEF(SSS)，
∴选取条件①，可判定△ABC≌△DEF，依据是SSS.
(2)【证明】∵△ABC≌△DEF，∴∠A＝∠EDF，
∴AB∥DE.