中职数学教学中数列求和方法及其应用的探究

中职数学教学中数列求和方法及其应用
的探究
摘要：在生活和工作中，我们经常会遇到一些问题，如：增长率、银行信贷、浓度配比、存款（或贷款）利息、养老保险、污水净化、环境绿化、购房（或购车）贷款等，与数列有着密切联系的实际问题，而解决这些问题就需要用到数列
及相关知识。

数列求和既是数列部分的基本内容也是重要内容，题型复杂多变，
技巧性比较强，是数列章节的一个难点。

学习数列的关键，是掌握好等差数列和
等比数列，在此基础上灵活应用数列知识来解决教材和生活中的问题。

数列求和
问题难度大，但只要从题目的本质特点出发，抓住数列的一些细微的、不同的特点，寻找它们的规律，就可以解决数列求和问题。

因此，本文将通过数列求和典
型例题的分析、归纳，总结出一些常见题型的解法技巧，以便帮助初学者提高数
列求和的能力和解决实际问题的能力。

关键词：中职数学；等差数列；等比数列；数列求和；方法探究数列是
中职学校数学教学的重要内容，在中职数学下册占有重要的地位。

数列问题中蕴
含着十分丰富的数学思想方法，数列求和问题一般先考察数列的基础问题，后再
考察数列求和，求和后往往与不等式、函数、最值等问题综合。

在求和时，需要
把一般的、没有规律的数列转化成等差数列或等比数列这两个基础数列，然后再
通过把数列分组、拆项、重组等方法，化成基本数列求和公式的模板。

除了等差
数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的方法、技巧。

数
列的种类繁多，形式复杂，求和的方法也多种多样，本文将从数列的地位与作用、数列的历史、数列求和方法及其生活中的实际应用等四大方面讲述数列知识，文
章重点阐述数列求和的一些常用方法，如：公式求和法（利用等差数列、等比数
列求和公式）、错位相减求和法、倒序相加求和法、裂项相消求和法、分组求和法、利用数列通项求和法、拆项分部求和法、并项求和法、极限求和法等解题方法。

下面，谈谈自己在教学中遇到的一些数列求和的方法和技巧，希望对读者有
所帮助。

1.
数列的地位和作用
数列是联系中职与中高衔接或高中与大学的一个纽带，它涉及到代数问题、
数列排序等问题，把中职（或高中）的关于数的知识点串起来。

数列在培养学生
的思维能力方面也具有不可替代的价值，“观察、猜测、抽象、概括、论证”，
这种发现问题和研究问题的方法在数列学习中体现得淋漓尽致。

数列问题中的递
推思想和极限思想，是初等数学与高等数学的重要衔接点，对学生的学习衔接具
有积极意义。

在中职数学教材里，涉及函数观点的数列，数列与极限结合的问题。

数列是
特殊的函数，其定义域一般是指非负的正整数，有时也可以为自然数，或者自然
数的无限子集。

在研究幂函数，指数函数（ >0,），
对数函数（ >0,），三角函数等函数中，数列发挥着特
殊的作用。

数列求和的方法很多，但基本的模型是：“类型+方法”。

教材中数
列的考察主要有两类：一类是关于等差数列、等比数列问题，这类问题的解决方
法一般是化基本量来解方程；另一类是能够转化成等差数列或等比数列的递推数
列问题，此类问题的解决方法是构造新的数列，使之成为等差数列或等比数列，
从而达到解决此类问题的目的。

1.
数列的历史
在中学的一次数学课上，我与学生曾经探讨过这样的一个问题：一个堆放粉
笔的V形架，最下面一层放一支粉笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最
上面一层放100支。

则这个V形架上共放多少支粉笔？这个问题很容易联想到高
斯的一种算法：…=？这是上小学时就知道的一个故事，高斯的算法
非常高明。

他观察这100个数，… . 发现：
，… . 以此类推，每组数的和均相等且
=101，那么结果就是 . 高斯的这种算法将加法问题转化为乘法运算，迅速准确得出结果。

等差数列和等比数列，是数学史上最早出现并引起人们最感兴趣的两种数列。

在苏格兰埃及学家莱因得于1858年购自埃及（约公元前1650年）的纸草上，记
载有等差数列的问题。

说明古代埃及人就已经总结出递增或递减的等差数列的求
和公式，即： . 在中国古代文物或文献中，有关等差和等比数列
的内容十分丰富。

《周髀算经》将日行轨道按季节不同分成七个同心圆，称为
“七衡图” 。

已知内衡直径里，两衡间距为万里，则其余
各衡的直径依次为…； . 从上可归纳出一般等差数列
的通项公式为： .
数学史上，等比数列或许比等差数列出现得更早。

约在公元前3000年，巴
比伦人就已经总结出等比数列…的求和公式：…
. 等比数列源于古代的一些实际问题。

古埃及国王拉阿乌斯有位能干的文书阿默斯，他用象形文字写了一部《算书》，记录了公元前2000年——前
1700年间数学研究的一些成果。

其中有这样一题，题中画了一个阶梯，其各级注
数为7，49，343，2401，16807．并在数旁依次画了人、猫、鼠、大麦和量器。

原书上并无任何说明，遂成为数学史上的一个难解之谜，2000多年中无人能
解释。

到中世纪，意大利斐波那契在1202年发表了《算盘全书》，书中这样一题：有七老妇人同往罗马，每人有七骡，每骡负七袋，每袋盛有七个面包，每个面包
有七小刀随之，每小刀配有七鞘，问列举之物全数共有几何？显然这是一个等比
数列的求和问题。

同理，我国古代数学家也早就研究过等比数列的问题．《孙子
算经》中有一个有趣的题目“出门望九堤”：今有出门重九堤，堤有九木，木有
九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，维有九毛，毛有九色，问各几何？
用梯形面积公式记忆等差数列前项和公式，这里对图形进行了割、补两种处理，对应着等差数列前项和的两个公式。

即：（图形补成平行
四边形）； . 利用图形计算数列的前项和，既简便又形象。

这
些数列的历史都可以很方便的应用到数列例题的学习中，对增进学习数学的兴趣
和计算能力都有很好的用处。

1.
数列求和的方法及技巧
对于数列求和，一定要“对症下药”，找到适合本题的方法，才是最好的方法。

1.
公式求和法（利用等差数列、等比数列求和公式）：顾名思义就是通过等差
数列、等比数列或其他常见的数列的求和公式进行求解，利用公式求和是数列求
和的最基本、最重要的方法。

；
；其它求和公式：（1）…+ =；
（2）…；
（3）…；
（4）…；
（5）…
例1. （1）在等差数列
分析：这是基础数列中的等差数列，直接应用公式可以求。

解：，
，
点评：应用了等差数列的公式，从而把数列问题转化成方程问题，此题得以解决。

（2）在等比数列
分析：因为已知，可以直接代入，得到一个方程组。

解：，
将代入，
得
，
.
点评：本例题求解过程中，通过两式相除求出公比的方法是研究等比数列问题的常用方法。

2. 错位相减求和法
对数列进行求和，首先列出，记为①式；再把①式中所有项同时乘以等比数列的公比，即得，记为②式，最后①②两式错开一位作差，从而得到的前项和。

这种数列求和方式叫做错位相减法。

这是类比推导等比数列的前项和公式时所用的方法，此法主要用于求数列的前项和，其中分别是基础数列（等差数列和等比数列）。

1.
已知等差数列的通项公式为，求数列 .
分析：利用已知条件，把，然后再观察数列的规律。

解：
…①
①式各项乘以，得：
…②
1.
②，得：
…
点评：①、②式分子分母分别是等差数列和等比数列，可用类比推导等比数
列的前项和公式的方法来求，应用了公式 .
3. 倒序相加求和法
这是推导等差数列的前项和公式时所用的方法，即将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到个 . 若一个数列，
与首末两端“等距离”的两项和相等或等于同一个常数，则求该数列的前项和即可用倒序相加法。

中职数学教材等差数列的求和公式，就用该方法进行证明的。

中职数学（下册）教材里面讲到，按照高斯的想法来研究等差数列的前项和。

将等差数列的前项和记作，即：
…①
也可以记作：
…②
①+②式，得：
于是得出等差数列的前项和公式为：
.
将代入，
又可以得到另一个等差数列的求和公式：
1.
求和：… .
分析：此类型关键是抓住数列中与首末两端等距离的两项之和相等这一特点来进行倒序相加的。

先依次反序，再利用公式
；
.
解：令…①
将上式中各项的次序反过来，得：
…②
①+②式，再利用，得：
点评：仔细观察数列的变化规律，旧知识的应用。

利
用了倒序相加法，在数列问题中，要学会灵活应用不同的方法加以求解。

1.
裂项相消求和法
把数列的每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只剩下首尾几项，再进行
求和，这种数列求和方式叫做裂项相消法。

这是分解与组合思想在数列求和中的
具体应用。

裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之
能消去一些项，最终达到求和的目的。

此类变形的特点是：将原数列每一项拆为两项之后，其中中间大部分的项都
互为相反数（正负相消了），只剩下有限的几项。

余下的项，前后位置是对称的，前后符号是相反的。

几个常用的拆项公式，如：
；
；
；
；
.
1.
求数列的前项和。

分析：，所以可以用裂项相消法求数
列的前项和。

要先观察通项类型，在裂项求和时，尤其要注意：是剩下首尾两项，还是剩下四项。

解：
即该数列的前项和为 .
点评：当数列的通项是分式类型时，在求前项和常常采用裂项相消法。

在求和的过程中要特别把握拆项后可以相互抵消的规律，从而准确找到剩余项。

1.
分组求和法
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，
可分为几个等差数列、等比数列或常见的数列，然后分别求和，再将其相加即可。

即可用倒序相加，错位相减或裂项相消求和的数列，然后分别求和，再进行合并
即可算出原数列的前项和。

1.
求数列9，99，999，9999，...的前项和 .
分析：此数列既不是等差数列，也不是等比数列。

我们应将这类数列适当拆开，再分别求和。

解：
点评：此题经过数列的拆项与组项，就看可以非常明显的发现规律，从而解决数列问题。

1.
利用数列通项求和法
根据数列的特征，找出数列的通项，再根据通项的规律来求和。

1.
求数列1+11+111+...+111...111之和。

分析：此题看着有规律，但也无从下手。

只有变换数列模型后，方能有非常明显的规律，可以求和。

应用等比数列求和公式： .
解：
即数列的和为：
点评：这道题很明显的体现了数学的美秒、精致与简练！
1.
拆项分部求和法
在这类方法中，我们先研究通项，通项可以分解为几个等差数列或等比数列的和（或差）的形式，再代入公式求和。

1.
对数列求和。

分析：式子中的每一个整体均由两项组成，所有整体的第一项之和组成一个等比数列，所有整体的第二项之和又组成一个等比数列。

解：
：
点评：把每一个整体拆开以后，然后再利用结合律、交换律，非常明显的出现了两个等比数列。

应用等比数列求和公式 .
1.
并项求和法
针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质。

所以，在求数列的和时，可将这些项放在一起先应用加法交换律、结合律，最后再求和 .
1.
求的和。

分析：式子中的符号是正负相间的，注意奇数项和偶数项的变化规律。

利用的诱导公式，即：，也就；
；
... ...
解：，
点评：本题的巧妙之处在于前后项依次结合，最后只剩下一项 .
1.
极限求和法
当数列为无穷数列时，无穷数列是高等数学的一个重要组成部分，它的和该如何求？无穷数列的求和，有的可以用裂项法，有的用公式法，最后再求极限。

1.
求数列的和。

分析：，把各项拆开，得：
解：，
即
点评：此数列，可以取一切自然数，当越来越大时，越来越接近于0.
1.
数列求和在实际生活中的应用
生活中的增长率、银行信贷、存款（或贷款）利息、购房（或购车）贷款等问题，就可以用数列求和的方法加以解决。

1.
张新采用零存整取方式在农业银行存款。

从元月份开始，每月第一天存入银行200元，银行以年利率1.71％计算，试问年终结算时本息和是多少（精确到0.01元）？
分析：年利率1.71％，折合月利率为0.1425％.
解：月利率为0.1425％,
第1个月的存款利息为；
第2个月的存款利息为；
第3个月的存款利息为；
......
第12个月的存款利息为
（元）
张新年终结算时本息和是：
元。

点评：出现了等差数列，应用前项求和公式 .
1.
银行贷款一般都是采用“复利计息法”计算利息，小王从银行贷款20万元，贷款期限为5年，年利率为5.76%.
1.
如果5年后一次性还歀，那么小王应偿还银行多少钱（精确到0.000 001万元）？
2.
如果每年一期，分5期等额本息还歀（每期以相等的额度平均偿还本息），
那么小王每年偿还银行多少钱？
（1）分析：将前一期的本金与利息的和（简称本息和）作为后一期的本金
来计算利息的方法，俗称“利滚利”。

计算时，分清本金、利息，依次把各年的
本息和表示出来，找出通项。

解：贷款第一年后的本息和为
20+20×5.76%=20（1+0.0576）=1.0576×20，
第二年后的本息和为：
1.0576×20+1.0576×20×5.76%=1.05762×20，
依次下去，从第一年后起，每年后的本息和组成的数列为等比数列
1.0576×20，1.05762×20，1.05763×20，...
其通项公式为
，
5年后一次性还歀，小王应还歀数为：
（万元）.
点评：5年的本息和组成一个等比数列，应用公式可以解决问题。

（2）分析：依次把第1次至第5次的还歀数表示出来，再寻找规律。

解：设小王每年偿还银行万元，则
第1次还歀万元，已还歀数为（万元）；
第2次还歀万元，已还歀数为 +（1+5.76%）（万元）；
第3次还歀万元，已还歀数为
+（1+5.76%）+（1+5.76%）2（万元）；
第4次还歀万元，已还歀数为
+（1+5.76%）+（1+5.76%）2+（1+5.76%）3（万元）；
第5次还歀万元，已还歀数为 +（1+5.76%）
+（1+5.76%）2+（1+5.76%）3+（1+5.76%）4（万元）
（万元）
第5次要将歀还清，
因此，（万元）.
此类问题为等额本息分期付歀模型，计算每期偿还本息的公式为：
，
其中，为贷款本金，为还歀期数，为期利率。

可以看到，本题中一次性付款数为26.482886万元，而采用分5期付款的方式，总共付款数为
4.716971×5=23.5849（万元）.
分期付款比到期一次性付款节省了约2.898万元。

点评：生活中像这样的例子很多很多，我们应该学会计算，以便为自己节约
一些资金。

总之，数列求和，如果是基础数列（等差数列、等比数列）的求和，可直接
用求和公式求解，做到灵活运用所学知识；非基础数列的一般数列求和，可以利
用分组求和法、裂项相消求和法、拆项分部求和法等方法求解。

众多的求和方法，自己根据题目的模型灵活选择方式方法，有时一题需要多种方法联合应用才有结果，有时一题也有多条道路，路路通（即一题多法）。

数列求和问题虽然难度比
较大，但总可以通过找出数列共同的特点、规律或进行一些变换，得到解决的途径。

数列求和的方法，还有待于我们大家进一步研究和探讨。

参考文献：
1.
李广全. 《数学》（基础模块），高等教育出版社. 2013.07（第二版）. ， .
2.
数列的历史及部分例题，百度搜索。

3.
中学数学室. 高一《数学》（上册），北京人民教育出版社。

4.
叶锋. 浅谈数列的求和[ J ]，成都教育出版社，2006（06）.
5.
杜珍. 《高等数学》教学中数列求和的多种方法[ J ]. 2013（12）.。