8.2 立体图形的直观图
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BC=6 cm,OP=2O'P'=4 2(cm).∴BC∥OA,BC=OA=6 cm,∴原图形OABC是平行四边形,其面积
S=OA·OP=24 2(cm2).
课中探究
探究点二 画空间几何体的直观图 [探索] 将直观图还原成空间几何体需要注意哪些问题?
解:由直观图还原成空间几何体时,关键在于确定点的位置.在直观图中平行 于x'轴、y'轴、z'轴的线段,在空间图形中平行于x轴、y轴、z轴,且在直观图 中平行于x'轴、z'轴的线段在空间图形中长度不变,但平行于y'轴的线段在 空间图形中的长度变为它的2倍.
备课素材
(4)画侧棱(或高)时,平行于z轴的线段在直观图中长度不变. (5)成图,顺次连接各个线段的端点,构成直观图(注意看得见的画实线,看不见 的画虚线).
课中探究
探究点一 画平面图形的直观图 例1 画出如图8-2-2所示的水平放置的直角梯形的直观图.
图8-2-2
解:在已知的直角梯形OBCD中,以底边OB所在直线为x轴,垂 直于OB的腰OD所在直线为y轴建立平面直角坐标系. 画出相应的x'轴和y’轴, 使∠x'O'y'=45°,如图
图8-2-1
备课素材
1.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时要透彻理解“三变”与“三不变”
备课素材
2.画空间几何体直观图的步骤 (1)在已知图形中取互相垂直的Ox轴、Oy轴,再取Oz轴,使∠xOz=90°且 ∠yOz=90°. (2)把它们画成对应的O'x'轴、O'y'轴、O'z'轴,使∠x'O'y'=45°(或135°),∠x'O'z'= 90°(或∠y'O'z'= 90°). (3)画底面时,平行于x轴的线段在直观图中长度不变, 平行于y轴的线段在直观 图中长度减半.
A.
2 2
B.1
C. 2 D.2
[解析] 由图知,AC=2,BC=2, 且AC⊥BC,所以 S△ABC=12×2×2=2.
备课素材
2.若一个平面多边形的面积为S,它的直观图的面积为S’, 则S'= 42S. [例2] 如图所示,△A'B'C'是△ABC的直观图,且△A'B'C’是边长为a的正三角形, 求△ABC的面积.
平面图形 .
课前预习
2.斜二测画法画平面图形的直观图的步骤
45° 135°
水平面
x'轴或y'轴的线段 保持原长度不变
一半
课前预习
【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)相等的角在直观图中相等. ( × ) [解析]如正方形(四个内角都相等)的直观图为平行四边形(相邻的内角互补, 相对的内角相等); (2)通常情况下把椭圆作为圆的直观图. ( √ ) [解析]这是因为生活经验告诉我们,水平放置的圆看起来像椭圆,因此我们一 般用椭圆作为圆的直观图;
课中探究
拓展 如图8-2-3,矩形O'A'B'C'是水平放置的一个平面图形的直观图,其中 O'A'=6 cm,O'C'=2 cm,则原图形的形状是什么?面积是多少?
图8-2-3
解:在直观图中,设O'y'与B'C'交于点P',则C'P'=2 cm, P'B'=4 cm,O'P'=2 2 cm.则在原图形中,OA=6 cm,
解:在直观图中平行于x'轴的线段在平面图形中长度不变,但平行于y'轴的线 段在平面图形中长度变为它的2倍.
课前预习
知识点二 简单几何体的直观图的画法 画几何体的直观图时,与画平面图形的直观图相比,只是多画一个与x轴、y轴 都 垂直 的z轴,并且使平行于z轴的线段的平行性和长度 都不变 .
课前预习
课堂评价
4.图8-2-7为一个水平放置的正方形ABCD,它在直角坐标系xOy中,点B的坐标
为(2,2),则在用斜二测画法画出的正方形的直观图A'B'C'D'中,顶点B'到x'轴的
2
距离为 2
.
[解析] 正方形的直观图A'B'C'D'如图. 因为O'A'=B'C'=1,∠B'C'x'=45°,所以
顶点B'到x'轴的距离为1×sin 45°= 22.
[解析] 由直观图的性质知B正确.
课堂评价
2.如图8-2-5,已知一个正方形的直观图是一个平行四边 形,其中有一边的长为4,则此正方形的面积为 ( C ) A.16 B.64 C.16或64 D.无法确定
图8-2-5
[解析] 等于4的一边在原图形中的长度可能等于4,也可能等于8,所以正方形 的面积为16或64.
【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)图8-2-1①是一个正方体的直观图. ( × )
[解析]被遮挡住的三条棱应画 为虚线,如图所示.
图8-2-1
课前预习
(2)若图8-2-1②是一个长方体的直观图,则原长方体高为2.
(× )
[解析]原长方体中的高线与z轴平行,而与z轴平 行的线段在直观图中长度都不变,所以原长方体 的高还是1.
课中探究
[素养小结] 简单几何体直观图的画法 (1)画轴:通常以高所在直线为z轴建系. (2)画底面:根据平面图形直观图的画法确定底面. (3)确定顶点:利用与z轴平行或在z轴上的线段确定有关顶点. (4)连线成图.
课中探究
拓展 如图8-2-4所示是一 个空间几何体的三视图, 试用斜二测画法画出它 的直观图(尺寸不限).
课堂评价
3.如图8-2-6,△A'B'C'是△ABC的直观图,其中A'B'=A'C’,
A'B'∥x'轴,A'C'∥y'轴,那么△ABC是 ( D )
A.等腰三角形
B.钝角三角形
C.等腰直角三角形 D.直角三角形
图8-2-6
[解析] 易知△ABC是直角三角形,且AC=2AB,不是等腰直角三角形,故选D.
图8-2-7
解:由三视图可知该几何体是一个正三棱台.
画法:(1)如图①所示,作出两个同心的正三角形,并在
一个水平放置的平面内画出它们的直观图; (2)建立z'轴,把里面的正三角形向上平移高的大小; (3)连接两正三角形相应的顶点,并擦去辅助线,被遮 挡的线段用虚线表示,即得到要画的正三棱台的直
观图,如图②所示.
课前预习
(3)水平放置的正方形的直观图还是一个正方形.
(× )
[解析]水平放置的正方形的直观图是一个平行四边形;
(4)水平放置的平面图形中相等的线段在直观图中ห้องสมุดไป่ตู้相等. ( × )
[解析]水平放置的正方形的直观图中邻边不相行.
课前预习
2.由直观图还原平面图形时,直观图中平行于x'轴、y'轴的线段在平面图 形中长度如何变化?
课中探究
例2 用斜二测画法画长、宽、高分别为4 cm,3 cm,2 cm的长方体的直观图.
(3)画侧棱.过A,B,C,D四点分别作z轴的平行线,并在这些平行线 上分别截取2 cm长的线段AA',BB',CC',DD',如图3. (4)成图.顺次连接A',B',C',D',并加以整理(去掉 辅助线,将被遮挡住的部分改为虚线),就可得 到长方体的直观图,如图4与图5.
解:易知直观图中,S△A'B'C'= 43a2,则S△ABC=2 2·S△A'B'C'= 26a2.
课堂评价
1.关于用斜二测画法所画的直观图,以下说法正确的是 ( B ) A.等腰三角形的直观图仍是等腰三角形 B.正方形的直观图为平行四边形 C.梯形的直观图不是梯形 D.正三角形的直观图一定为等腰三角形
高中数学
必修第二册 RJA
8.2 立体图形的直观图
【目标认知】
课程标准
学业要求
能用斜二测法画出简单空 1.了解平行投影的意义,掌握斜二测画法.
间图形的直观图
2.能用斜二测画法画出基本立体图形的直观图
课前预习
知识点一 斜二测画法 1.直观图的认识 (1)直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形.画立体图形 的直观图,实际上是把不完全在同一平面内的点的集合,用 同一平面内 的点 表示. (2)在立体几何中,立体图形的直观图通常是在平行投影下得到的
课中探究
变式 画底面半径为2 cm,高为4 cm的圆锥的直观图.
解:(1)如图所示,画x轴,z轴, 使∠xOz=90°. (2)以O为中点,在x轴上取线段AB,使OA=OB=2 cm. 利用椭圆模板画椭圆,使其经过A,B两点.这两个椭圆就是 圆锥的下底面. (3)在Oz上截取点V,使OV=4 cm,连接VA,VB,即可得到圆锥的直观图.
图8-2-4
备课素材
原图形与直观图的面积的计算 1.由原图形求直观图的面积,关键是掌握斜二测画法,明确原来实际图形中的 高,在直观图中变为与水平直线成45°角且长度为原来一半的线段,这样可得出 所求图形相应的高.
备课素材
[例1] △ABC用斜二测画法画出的直观图 如图所示,则原△ABC的面积为 ( D )
①②所示.
课中探究
例1 画出如图8-2-2所示的水平放置的直角梯形的直观图.
图8-2-2
在x'轴上截取O'B'=OB,在y'轴上截取O'D'=12OD,过点D'作x' 轴的平行线l,在l上沿x'轴正方向取点C'使得D'C'=DC.连接
B'C',如图②.
所得四边形O'B'C'D'就是直角
梯形OBCD的直观图,如图③.
课中探究
例2 用斜二测画法画长、宽、高分别为4 cm,3 cm,2 cm的长方体的直观图.
解:(1)画轴.画x轴,y轴,z轴,三轴交于点O,使∠xOy=45°,∠xOz=90°,如图1. (2)画底面.以O为中心,在x轴上取线段MN,使MN=4 cm,在y轴上取线段PQ,使 PQ=1.5 cm.分别过点M和N作y轴的平行线,过点 P和Q作x轴的平行线,设它们的交点分别为A,B,C, D,则四边形ABCD就是长方形的底面的直观图, 如图2.
S=OA·OP=24 2(cm2).
课中探究
探究点二 画空间几何体的直观图 [探索] 将直观图还原成空间几何体需要注意哪些问题?
解:由直观图还原成空间几何体时,关键在于确定点的位置.在直观图中平行 于x'轴、y'轴、z'轴的线段,在空间图形中平行于x轴、y轴、z轴,且在直观图 中平行于x'轴、z'轴的线段在空间图形中长度不变,但平行于y'轴的线段在 空间图形中的长度变为它的2倍.
备课素材
(4)画侧棱(或高)时,平行于z轴的线段在直观图中长度不变. (5)成图,顺次连接各个线段的端点,构成直观图(注意看得见的画实线,看不见 的画虚线).
课中探究
探究点一 画平面图形的直观图 例1 画出如图8-2-2所示的水平放置的直角梯形的直观图.
图8-2-2
解:在已知的直角梯形OBCD中,以底边OB所在直线为x轴,垂 直于OB的腰OD所在直线为y轴建立平面直角坐标系. 画出相应的x'轴和y’轴, 使∠x'O'y'=45°,如图
图8-2-1
备课素材
1.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时要透彻理解“三变”与“三不变”
备课素材
2.画空间几何体直观图的步骤 (1)在已知图形中取互相垂直的Ox轴、Oy轴,再取Oz轴,使∠xOz=90°且 ∠yOz=90°. (2)把它们画成对应的O'x'轴、O'y'轴、O'z'轴,使∠x'O'y'=45°(或135°),∠x'O'z'= 90°(或∠y'O'z'= 90°). (3)画底面时,平行于x轴的线段在直观图中长度不变, 平行于y轴的线段在直观 图中长度减半.
A.
2 2
B.1
C. 2 D.2
[解析] 由图知,AC=2,BC=2, 且AC⊥BC,所以 S△ABC=12×2×2=2.
备课素材
2.若一个平面多边形的面积为S,它的直观图的面积为S’, 则S'= 42S. [例2] 如图所示,△A'B'C'是△ABC的直观图,且△A'B'C’是边长为a的正三角形, 求△ABC的面积.
平面图形 .
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2.斜二测画法画平面图形的直观图的步骤
45° 135°
水平面
x'轴或y'轴的线段 保持原长度不变
一半
课前预习
【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)相等的角在直观图中相等. ( × ) [解析]如正方形(四个内角都相等)的直观图为平行四边形(相邻的内角互补, 相对的内角相等); (2)通常情况下把椭圆作为圆的直观图. ( √ ) [解析]这是因为生活经验告诉我们,水平放置的圆看起来像椭圆,因此我们一 般用椭圆作为圆的直观图;
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拓展 如图8-2-3,矩形O'A'B'C'是水平放置的一个平面图形的直观图,其中 O'A'=6 cm,O'C'=2 cm,则原图形的形状是什么?面积是多少?
图8-2-3
解:在直观图中,设O'y'与B'C'交于点P',则C'P'=2 cm, P'B'=4 cm,O'P'=2 2 cm.则在原图形中,OA=6 cm,
解:在直观图中平行于x'轴的线段在平面图形中长度不变,但平行于y'轴的线 段在平面图形中长度变为它的2倍.
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知识点二 简单几何体的直观图的画法 画几何体的直观图时,与画平面图形的直观图相比,只是多画一个与x轴、y轴 都 垂直 的z轴,并且使平行于z轴的线段的平行性和长度 都不变 .
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4.图8-2-7为一个水平放置的正方形ABCD,它在直角坐标系xOy中,点B的坐标
为(2,2),则在用斜二测画法画出的正方形的直观图A'B'C'D'中,顶点B'到x'轴的
2
距离为 2
.
[解析] 正方形的直观图A'B'C'D'如图. 因为O'A'=B'C'=1,∠B'C'x'=45°,所以
顶点B'到x'轴的距离为1×sin 45°= 22.
[解析] 由直观图的性质知B正确.
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2.如图8-2-5,已知一个正方形的直观图是一个平行四边 形,其中有一边的长为4,则此正方形的面积为 ( C ) A.16 B.64 C.16或64 D.无法确定
图8-2-5
[解析] 等于4的一边在原图形中的长度可能等于4,也可能等于8,所以正方形 的面积为16或64.
【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)图8-2-1①是一个正方体的直观图. ( × )
[解析]被遮挡住的三条棱应画 为虚线,如图所示.
图8-2-1
课前预习
(2)若图8-2-1②是一个长方体的直观图,则原长方体高为2.
(× )
[解析]原长方体中的高线与z轴平行,而与z轴平 行的线段在直观图中长度都不变,所以原长方体 的高还是1.
课中探究
[素养小结] 简单几何体直观图的画法 (1)画轴:通常以高所在直线为z轴建系. (2)画底面:根据平面图形直观图的画法确定底面. (3)确定顶点:利用与z轴平行或在z轴上的线段确定有关顶点. (4)连线成图.
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拓展 如图8-2-4所示是一 个空间几何体的三视图, 试用斜二测画法画出它 的直观图(尺寸不限).
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3.如图8-2-6,△A'B'C'是△ABC的直观图,其中A'B'=A'C’,
A'B'∥x'轴,A'C'∥y'轴,那么△ABC是 ( D )
A.等腰三角形
B.钝角三角形
C.等腰直角三角形 D.直角三角形
图8-2-6
[解析] 易知△ABC是直角三角形,且AC=2AB,不是等腰直角三角形,故选D.
图8-2-7
解:由三视图可知该几何体是一个正三棱台.
画法:(1)如图①所示,作出两个同心的正三角形,并在
一个水平放置的平面内画出它们的直观图; (2)建立z'轴,把里面的正三角形向上平移高的大小; (3)连接两正三角形相应的顶点,并擦去辅助线,被遮 挡的线段用虚线表示,即得到要画的正三棱台的直
观图,如图②所示.
课前预习
(3)水平放置的正方形的直观图还是一个正方形.
(× )
[解析]水平放置的正方形的直观图是一个平行四边形;
(4)水平放置的平面图形中相等的线段在直观图中ห้องสมุดไป่ตู้相等. ( × )
[解析]水平放置的正方形的直观图中邻边不相行.
课前预习
2.由直观图还原平面图形时,直观图中平行于x'轴、y'轴的线段在平面图 形中长度如何变化?
课中探究
例2 用斜二测画法画长、宽、高分别为4 cm,3 cm,2 cm的长方体的直观图.
(3)画侧棱.过A,B,C,D四点分别作z轴的平行线,并在这些平行线 上分别截取2 cm长的线段AA',BB',CC',DD',如图3. (4)成图.顺次连接A',B',C',D',并加以整理(去掉 辅助线,将被遮挡住的部分改为虚线),就可得 到长方体的直观图,如图4与图5.
解:易知直观图中,S△A'B'C'= 43a2,则S△ABC=2 2·S△A'B'C'= 26a2.
课堂评价
1.关于用斜二测画法所画的直观图,以下说法正确的是 ( B ) A.等腰三角形的直观图仍是等腰三角形 B.正方形的直观图为平行四边形 C.梯形的直观图不是梯形 D.正三角形的直观图一定为等腰三角形
高中数学
必修第二册 RJA
8.2 立体图形的直观图
【目标认知】
课程标准
学业要求
能用斜二测法画出简单空 1.了解平行投影的意义,掌握斜二测画法.
间图形的直观图
2.能用斜二测画法画出基本立体图形的直观图
课前预习
知识点一 斜二测画法 1.直观图的认识 (1)直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形.画立体图形 的直观图,实际上是把不完全在同一平面内的点的集合,用 同一平面内 的点 表示. (2)在立体几何中,立体图形的直观图通常是在平行投影下得到的
课中探究
变式 画底面半径为2 cm,高为4 cm的圆锥的直观图.
解:(1)如图所示,画x轴,z轴, 使∠xOz=90°. (2)以O为中点,在x轴上取线段AB,使OA=OB=2 cm. 利用椭圆模板画椭圆,使其经过A,B两点.这两个椭圆就是 圆锥的下底面. (3)在Oz上截取点V,使OV=4 cm,连接VA,VB,即可得到圆锥的直观图.
图8-2-4
备课素材
原图形与直观图的面积的计算 1.由原图形求直观图的面积,关键是掌握斜二测画法,明确原来实际图形中的 高,在直观图中变为与水平直线成45°角且长度为原来一半的线段,这样可得出 所求图形相应的高.
备课素材
[例1] △ABC用斜二测画法画出的直观图 如图所示,则原△ABC的面积为 ( D )
①②所示.
课中探究
例1 画出如图8-2-2所示的水平放置的直角梯形的直观图.
图8-2-2
在x'轴上截取O'B'=OB,在y'轴上截取O'D'=12OD,过点D'作x' 轴的平行线l,在l上沿x'轴正方向取点C'使得D'C'=DC.连接
B'C',如图②.
所得四边形O'B'C'D'就是直角
梯形OBCD的直观图,如图③.
课中探究
例2 用斜二测画法画长、宽、高分别为4 cm,3 cm,2 cm的长方体的直观图.
解:(1)画轴.画x轴,y轴,z轴,三轴交于点O,使∠xOy=45°,∠xOz=90°,如图1. (2)画底面.以O为中心,在x轴上取线段MN,使MN=4 cm,在y轴上取线段PQ,使 PQ=1.5 cm.分别过点M和N作y轴的平行线,过点 P和Q作x轴的平行线,设它们的交点分别为A,B,C, D,则四边形ABCD就是长方形的底面的直观图, 如图2.