人教版九年级数学竞赛专题：平面几何的定值问题(含答案)

人教版九年级数学竞赛专题：平面几何的定值问题（含答案）
【例1】 如图，已知P 为正方形ABCD 的外接圆的劣弧上任意一点.求证：为定值.
AD
⌒ PA PC PB
P A
B
C
D
【例2】 如图，AB 为⊙O 的一固定直径，它把⊙O 分成上、下两个半圆，自上半圆上一点C 作弦
CD ⊥AB ，∠OCD 的平分线交⊙O 于点P ，当点C 在上半圆（不包括A ，B 两点）上移动时，点P （
）
A.到CD 的距离保持不变
B.位置不变
C.等分
D.随C 点的移动而移动
DB
⌒
A
【例3】 如图，定长的弦ST 在一个以AB 为直径的半圆上滑动，M 是ST 的中点，P 是S 对AB 作垂
线的垂足.求证：不管ST 滑到什么位置，∠SPM 是一定角.
B
【例4】 如图，扇形OAB 的半径OA =3，圆心角∠AOB =90°.点C 是上异于A ，B 的动点，过点C AB
⌒ 作CD ⊥OA 于点D ，作CE ⊥OB 于点E .连接DE ，点G ，H 在线段DE 上，且DG =GH =HE .（1）求证：四边形OGCH 是平行四边形；
（2）当点C 在上运动时，在CD ，CG ，DG 中，是否存在长度不变的线段？若存在，请求出该线段AB
⌒ 的长度；
（3）求证：CD 2+3CH 2是定值.
B
O
A
C
E H
G D 【例5】 如图1，在平面直角坐标系xOy 中，点M 在x 轴的正半轴上，⊙M 交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于C ，D 两点，且C 为弧AE 的中点，AE 交y 轴于G 点.若点A 的坐标为（-2，0），AE =8.
（1）求点C的坐标；
（2）连接MG，BC，求证：MG∥BC；
OF
（3）如图2，过点D作⊙M的切线，交x轴于点P.动点F在⊙M的圆周上运动时，的比值是否
PF
发生变化？若不变，求出比值；若变化，说明变化规律.
（图1）（图2）
【例6】如图，已知等边△ABC内接于半径为1的圆O，P是⊙O上的任意一点.求证：PA2+PB2+PC2为定值.
A
【能力训练】
1.如图，点A ，B 是双曲线上的两点，分别经过A ，B 两点向x 轴，y 轴作垂线段.若S 阴影=1，则x
y 3
=
_______.
=+21S S
A
B
C
D
E
F
（第1题图）
（第3题图）
（第4题图）
2.从等边三角形内一点向三边作垂线段，已知这三条垂线段的长分别为1，3，5，则这个等边三角形的面积是__________.
3.如图，OA ，OB 是⊙O 任意两条半径，过B 作BE ⊥OA 于E ，又作OP ⊥AB 于P ，则定值OP 2+EP 2为_________.
4.如图，在菱形ABCD 中，∠ABC =120°，F 是DC 的中点，AF 的延长线交BC 的延长线于点E ，则直线BF 与直线DE 所夹的锐角的度数为（ ）
A.30°
B.40°
C.50°
D.60°
5.如图，在⊙O 中，P 是直径AB 上一动点，在AB 同侧作⊥AB ，，且
A A 'A
B B B ⊥'=AP ，=BP .连接，当点P 从点A 移动到点B 时，的中点的位置（ ）
A A '
B B 'B A ''B A ''A ．在平分AB 的某直线上移动
B.在垂直AB 的某直线上移动
C.在弧AMB 上移动
D.保持固定不移动
A
B'
（第5题图） （第6题图）
6.如图，A ，B 是函数图象上的两点，点C ，D ，E ，F 分别在坐标轴上，且分别与点A ，B ，O 构x
k
y
成正方形和长方形.若正方形OCAD 的面积为6，则长方形OEBF 的面积是（ ）A.3
B.6
C.9
D.12
7.（1）经过⊙O 内或⊙O 外一点P 作两条直线交⊙O 于A ，B 和C ，D 四点，得到如图①~⑥所表示的六种不同情况.在六种不同情况下，PA ，PB ，PC ，PD 四条线段之间在数量上满足的关系式可以用同一个式子表示出来.请你首先写出这个式子，然后只就如图②所示的圆内两条弦相交的一般情况给出它的证明.
①
①
①
①
①①
(B )
B
（2）已知⊙O 的半径为一定值r ，若点P 是不在⊙O 上的一个定点，请你过点P 任作一直线交⊙O 于不重合的两点E ，F . PE ·PF 的值是否为定值？为什么？由此你发现了什么结论？请你把这一结论用文字叙述出来.
8.在平面直角坐标系中，边长为2的正方形OABC 的两顶点A ，C 分别在y 轴，x 轴的正半轴上，点O 在原点，现将正方形OABC 绕O 点顺时针旋转，当A 点第一次落在直线上时停止旋转.旋转过程x y =中，AB 边交直线于点M ，BC 边交x 轴于点N .x y =（1）求OA 在旋转过程中所扫过的面积；
（2）旋转过程中，当MN 与AC 平行时，求正方形OABC 旋转度数；
（3）设△MBN 的周长为P ，在正方形OABC 旋转的过程中，P 值是否有变化？请证明你的结论.
9.如图，AB 是半圆的直径，AC ⊥AB ，AC =AB .在半圆上任取一点D ，作DE ⊥CD ，交直线AB 于点E ，BF ⊥AB ，交线段AD 的延长线于点F .
（1）设弧AD 是x °的弧，若要点E 在线段BA 的延长线上，则x 的取值范围是_______.
（2）不论点D 取在半圆的什么位置，图中除AB ＝AC 外，还有两条线段一定相等.指出这两条相等的线段，并予证明.
（第9题图） （第10题图） （第11题图）
10.如图，内接于⊙O 的四边形ABCD 的对角线AC 与BD 垂直相交于点K ，设⊙O 的半径为R .求证：（1）是定值；
2222DK CK BK AK +++（2）是定值.
2222DA CD BC AB +++
11.如图，设P 是正方形ABCD 外接圆劣弧弧AB 上的一点，求证：
的值为定值.
DP
CP BP
AP ++1.等腰△ABC 的底边BC 为定长2，H 为△ABC 的垂心.当顶点A 在保持△ABC 为等腰三角形的情况下 改变位置时，面积S △ABC ·S △HBC 的值保持不变，则S △ABC ·S △HBC =________.2.已知A ，B ，C ，D ，E 是反比例函数（x ＞0）图象上五个整数点（横、纵坐标均为整数），分x
y 16
=
别过这些点向横轴或纵轴作垂线段，以垂线段所在的正方形边长为半径作四分之一圆周的两条弧，组成如图所示的五个橄榄形（阴影部分），则这五个橄榄形的面积总和是__________（用含π的代数式表示）
.
3.如图，将六边形ABCDEF沿直线GH折叠，使点A，B落在六边形ABCDEF的内部，记
∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝α，则下列结论一定正确的是（）
A. ∠1＋∠2＝900°－2α
B. ∠1＋∠2＝1080°－2α
1
C. ∠1＋∠2＝720°－α
D. ∠1＋∠2＝360°－α
2
（第3题图）（第4题图）
4.如图，正△ABO的高等于⊙O的半径，⊙O在AB上滚动，切点为T，⊙O交AO，BO于M，N，则弧MTN（）
A.在0°到30°变化
B.在30°到60°变化
C.保持30°不变
D.保持60°不变
5.如图，AB是⊙O的直径，且AB=10，弦MN的长为8.若MN的两端在圆上滑动时，始终与AB相交，记点A，B到MN的距离分别为h1，h2，则∣h1-h2∣等于（）
A.5
B.6
C.7
D.8
（第5题图）（第6题图）
6.如图，已知△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，点A，C在x轴上，点B坐标为（3，m）（m＞0），线段AB与y轴相交于点D，以P（1，0）为顶点的抛物线过点B，D.
（1）求点A的坐标（用m表示）
（2）求抛物线的解析式；
（3）设点Q为抛物线上点P至点B之间的一动点，连接PQ并延长交BC于点E，连接BQ并延长交AC于点F.试证明：FC（AC+EC）为定值.
7.如图，已知等边△ABC内接于圆，在劣弧AB上取异于A，B的点M.设直线AC与BM相交于K，直线CB与AM相交于点N.证明线段AK和BN的乘积与M点的选择无关.
（第7题图） （第8题图）
8.如图，设H 是等腰三角形ABC 两条高的交点，在底边BC 保持不变的情况下让顶点A 至底边BC 的距离变小，这时乘积S △ABC ·S △HBC 的值变小、变大，还是不变？证明你的结论.
9.如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线与x 轴的交点为点A ，与y 轴的交点109
41812--=x x y 为点B .过点B 作x 轴的平行线BC ，交抛物线于点C ，连接AC .现有两动点P ，Q 分别从O ，C 两点同时出发，点P 以每秒4个单位的速度沿OA 向终点A 移动，点Q 以每秒1个单位的速度沿CB 向点B 移动.点P 停止运动时，点Q 也同时停止运动.线段OC ，PQ 相交于点D ，过点D 作DE ∥OA ，交CA 于E ，射线QE 交x 轴于点F .设动点P ，Q 移动的时间为t （单位：秒）.
（1）求A ，B ，C 三点的坐标和抛物线的顶点坐标；
（2）当t 为何值时，四边形PQCA 为平行四边形？请写出计算过程；
（3）当时，△PQF 的面积是否总是定值？若是，求出此值；若不是，请说明理由；2
90<<t
（4）当t 为何值时，△PQF 为等腰三角形，请写出解答过程.
（第9题图）
（第10题图）10.已知抛物线C 1：，点F （1,1）.12
121+-=x x y （1）求抛物线C 1的顶点坐标；
（2）若抛物线C 1与y 轴的交点为A ，连接AF ，并延长交抛物线C 1于点B ，求证：.211=+BF
AF （3）抛物线C 1上任意一点P （x P ，y P ）（0＜x P ＜1），连接PF ，并延长交抛物线C 1于点
Q （x Q ，y Q ），试判断是否成立？请说明理由.211=+QF
PF
11.已知A ，B 是平面上的两个顶点，C 是位于AB 一侧的一个动点，分别以AC ，BC 为边在△ABC 外作正方形ACDE 和正方形BCFG .求证：不论C 在直线AB 同一侧的任何位置，EG 的中点P 的位置不变.参考答案
例1 延长PC 至E ，使CE ＝AP ，连结BE ，则△BCE ≌△BAP ，及△PBE 为等腰直角三角形，故
例2 B 提示：连结AC ，BC ，可以证明P 为的中点． P A P C C E P C P E P B P B P B
++=== A P B 例3 ∵SP ⊥OP ，OM ⊥ST ，∴S ，M ，O ，P 四点共圆，于是∠SPM ＝∠SOM ＝∠SOT 为定角． 例12
4 (1)连结OC 交DE 于M ，则OM ＝CM ， EM ＝DM ，而DG ＝ HE ，则HM ＝GM 故四边形OGCH 是
平行四边形． (2)DG 不变．DE ＝OC ＝OA ＝3 .DG ＝DE ＝×3＝1． (3)设CD ＝x ，延长OG 交CD 1313
于N ，则CN ＝DN ＝ x ， ， .∴，而ON ＝CH ，∴12229C E x =-2214D N x =22394O N x =-32．故CD 2＋3CH 2＝x 2＋3(4－x 2)＝x 2＋12－x 2为定值．例5 ⑴C (0，4) ⑵先求得22143C H x =-13
AM ＝CM ＝5，连接MC 交AE 于N ，由△AO G ∽△ANM ，得，O G ＝，，又OG AO MN AN =3238OG OM OC OB ==∠BOC ＝∠G OM ，∴△G OM ∽△COB ，∠G MO ＝∠CBO ，得M G ∥BC ．⑶连结DM ，则
DM ⊥PD ，DO ⊥PM ，DO 2＝OM •OP ，OP ＝．动点F 在⊙M 的圆周上运动时，从特殊位置探求163
的值．当F 与点A 重合时，；当点F 与点B 重合时，OF PF
2316523
OF AO PF AP ===-；当点F 不与点A ，B 重合时，连接8316583OF OB PF PB ===+OF 、PF 、MF ，∴DM 2＝MO •MP ，∴FM 2＝MO •MP ，即，又FM MP OM FM =∠OMP ＝∠FMP ，∴△MFO ∽△MPF ，，故的比值不35OF MO PF MF ==OF PF 变，比值为．例6 ∠BPC ＝120°，在△BPC 中，由余弦定理得35
BC 2＝PB 2＋PC 2－2PB •PC ＝BC 2，又由上托勒密定理得
BC •PA ＋PC •AB ，而AB ＝BC ＝AC ，∴PA ＝PB ＋PC ，从而PA 2＋
PB 2＋
PC 2＝
(PB ＋PC )2＋ PB 2＋ PC 2＝2 (PB 2＋PC 2＋PB •PC )＝2BC 2＝2×＝6
．故PA 2＋PB
2＋PC 22
1．4
提示：∵S 1＋S 阴＝ S 2＋S 阴＝xy ＝3，∴S 1＋S 2＝2xy －2S 阴＝6－2＝4． 2．提示：1＋3＋5＝9是等边三角形的高．3．r 2提示：先考查OB 与OA 垂直的情形．4．D
提示：延长BF 交DE 于点M ，连接BD ，则△BCD 为等边三角形，BF 平分∠CBD ．∵F 为CD 中点，且AD ∥CE ，∴△ADF 与△ECF 关于点F 中心对称．∴CE ＝AD ＝CD ，∴∠CEM=30°，∠DMF=60°，
5．D 提示：A′B′的中点均在⊙O 的上半圆的中点处． 6．B 提示：S 正方形OCAD ＝OD •OC ＝＝6，∴S OEBF ＝OE •OF ＝x B •y B ＝6． 7．⑴略 ⑵当点P 在⊙O 内时，过P 作直径A A x y k = k =CD ，则PE •PF ＝PD •PC ＝r 2－OP 2为定值；当点P 在⊙O 外时，PE •PF 为定值．结论：过不22OP r -在圆上的一个定点任作一条直线与圆相交，则这点到直线与圆相交点的两条线段长的积为定值．
8．⑴ ⑵22.5° ⑶P 值无变化．理由如下：如图，延长BA 交y 轴于E 点，可证明△OAE ≌△2π
OCN ，得OE ＝ON ，AE ＝CN ，又∠MOE ＝∠MON ＝45°，OM ＝ON ，∴△OME ≌△OMN ，得
MN ＝ME ＝AM ＋AE ＝AM ＋CN ．∴P ＝MN ＋BN ＋BM ＝AM ＋CM ＋CN ＋BN ＋BM ＝AB ＋AC ＝4．9．⑴0＜x ＜90 ⑵BE ＝BF 提示：连接BD ，可证明△BDF ∽△ADB ，△BDE ∽△ADC ． 10．⑴作
OP ⊥BD 于P ，OQ ⊥AC 于Q ，连接AO ，则AO 2＝，又()()221122BK DK CK AK ⎡⎤⎡⎤-++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
AK •CK ＝BK •DK ，得AK 2＋BK 2＋CK 2＋DK 2＝4R 2为定值． ⑵作直径DE ，连接
AE ，BE ，CE ，AB 2＋CD 2＝4R 2，AD 2＋BC 2＝4R 2，故AB 2＋BC 2＋CD 2＋DA 2＝8K 2为定值．
11．设正方形的边长为a ，根据托勒密定理，对于四边形APBC 和四边形APBD ，有
CP •a ＝AP •a ＋BP ，DP •a ＝BP •a ＋AP ，两式相加并整理得(CP ＋DP )a ＝(AP ＋BP )(a )，
从而为定值．1AP BP CP DP
+=-+
1．1 提示：不妨设∠A 为锐角，AD ，BE ，CF 为△ABC 的三条高，AB ＝AC 知
∠HBD ＝∠HCD ＝∠HAE ，∠HDC ＝∠CDA ＝90°，故R t △CHD ∽R t △ACD ．∴
AD DC DC HD =，即AD •HD ＝DC 2＝BC 2＝1．∴S △ABC •S △HBC ＝141122
BC AD BC HD ⎛⎫⎛⋅⋅⋅ ⎪ ⎝⎭⎝＝1．当
∠A ≥90°时，结论成立．2．13π－26
提示：∵A ，B ，C ，DE 是反比例函数y ＝(x ＞0)图象上五个整数点，由图象可知，这些点的横坐标分别为16x
1，2，4，8，16．∴五个正方形的边长分别为1，3，4，2，1．∴这五人橄榄形的面积总和是＝5π－10＋8π－16＝13π－26． 22211111122111222224444
24242πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-⨯⨯+⨯-⨯⨯+⨯-⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦3．B 提示：如图，设FA 的延长线与CB 的延长线交于点P ，G A ′的延长线与HB ′的延长线交于点P ′．由对称性可知
∠1＝2∠APP ′，∠2＝2∠BPP ′．∴∠1＋∠2＝2∠APB ．∵∠APB ＝540°－α，∴∠1＋∠2＝1080°
－2α． 4．D 5．B 提示：如图，设AB 与MN 交于点C ，过点O 作OD ⊥MN 于D ，连接FO 并延
长交EB 于G ．由垂径定理，得OD ＝3．由△AFO ≌△B G O ，得AF ＝B G ，即h 1＝B G ．由AF ⊥MN ，BE ⊥MN ，得△FOD ∽△
F G E ．∴．∴E G ＝2OD ＝6，∴＝E G ＝6． 6．⑴A (3－m ，0) 12OD FO GE FG ==12h h AF BE -=-⑵y ＝x 2－2x ＋1 ⑶过点Q 作QM ⊥AC 于M ，过点Q 作QN ⊥BC 于N ，设Q 点的坐标为(x ，x 2－2x ＋1)，则QM ＝CN ＝(x －1)2，MC ＝QN ＝3－x ．∵QM ∥CE ，∴PQM ∽△PEC ．∴
，即，得EC ＝2(x －1)．∵QN ∥CF ，∴△BQN ∽△BFC ．∴，即QM PM EC PC =()2112x x EC --=QN BN FC BC
=，得FC ＝．又AC ＝4，∴FC (AC ＋EC )＝ ＝8为定值． ()24134x x FC ---=41x +()44211x x +-⎡⎤⎣
⎦+7．提示：易证△ABK ∽△BNA ，故AK •BN ＝AB 2为定值，即AK 与BN 的乘积与M 点的选择无关．
8．提示：S △ABC •S △HBC ＝
BC 4，由于BC 是不变的，所以当点A 至BC 的距离变小时，乘积S △ABC •S △116HBC 保持不变． 9．⑴A (18，0)，B (0，－10)，顶点坐标为(4，－) ⑵若四边形PQCA 为平行四边989
形，由于QC ∥PA ，故只要QC ＝PA 即可，而PA ＝18－4t ，CQ ＝t ，故18－4t ＝t ，得t ＝． ⑶设
185点P 运动t s ，则OP ＝4t ，CQ ＝t ，0＜t ＜4.5．说明P 在线段OA 上，且不与点O ，A 重合．由于QC ∥OP 知△QDC ∽△PDO ，故．同理QC ∥AF ，故，即，144QD QC t DP OP t ===14QC CE AF EA ==14t AF =∴AF ＝4t ＝OP ．∴PF ＝PA ＋AF ＝PA ＋OP ＝18．又点Q 到直线PF 的距离d ＝10，∴S △
PQF ＝•PF •d ＝×18×10＝90．于是S △PQF 的面积总为定值90． ⑷由前面知道，P (4t ，0)，1212F (18＋4t ，0)，Q (8－t ，－10)，0≤t ≤4.5．构造直角三角形后易得PQ 2＝(4t －8＋t )
2＋102＝，FQ 2＝(18＋4t －8＋t )2＋102＝(5t ＋10)2＋100．①若FP ＝FQ ，即182＝(5t ＋10)2＋100，故
25(t ＋2)2＝224，(t ＋2)2＝．∵2≤t ＋2≤6.5，∴t ＋2．∴t ＝ 2． ②若
24425=QP ＝QF ，即(5t －8)2＋100＝(5t ＋10)2＋100，即(5t －8)2＝(5t ＋10)2，无0≤t ≤4.5的t 满足．
③若
PQ ＝PF ，即(5t －8)2＋100＝182，∴(5t －8)2＝224，又
0≤5t ≤22.5，∴－8≤5t －8≤14.5，14.52＝＜224．故没有t (0≤t ≤4.5)满足此方程．综上所述，22984124⎛⎫= ⎪⎝⎭
当t ＝ 2时，△PQ R 为等腰三角形． 10．⑴C 1的顶点坐标为(1，). ⑵略 ⑶作PM ⊥AB 12
于M ，作QN ⊥AB 交AB 延长线于N ，∴PM ＝1－y P ，FM ＝1－x P ．在R t △PMF 中，PF 2＝(1－y P )2＋(1－x P )2＝1－2y P ＋y P 2＋1－2x P ＋x P 2，又∵点P 在抛物线上，
∴y P ＝x P 2－x P ＋1，∴PF 2＝1－x P 2＋2x P －2＋y P 2＋1－2x P ＋x P 2＝y P 2，∴PF ＝y P ，同理，QF ＝y Q ，易12
证△PMF ∽△QNF ，则，∴，即，∴＝2． 11．先PM QN PF QF =11Q P y y PF QF --=11PF QF PF QF --=11PF QF
+从特殊情况出发．当△ABC 是等腰直角三角形时，点P 与点C 重合，此时点P 的位置在AB 的中垂线上，且到AB 的距离为AB ，如图①所示．下面就一般情况来证明上面的结论(结论②所示)．过12
C ，E ，G 分别作直线AB 的垂线CH ，EM ，G N ，垂足分别是H ，M ，N ．容易证明△AEM ≌△ACH ，△B G N ≌△BCH ．从而有AM ＝CH ＝BN ，EM ＝AH ，G N ＝BH ．这样，线段AB 的中点O 也是线段MN 的中点，连接OP ，则OP 是梯形EMN G 的中位线，从而OP ⊥AB ，OP ＝
(EM ＋G N )＝ (AH ＋BH )＝1212AB ．∴无论点C 在AB 同一侧的位置如何，E G 中点P 的位置不变．12。