《瞬时变化率(二)》

课堂总结
曲线上某一点 处的切线斜率
某时刻的瞬时速度， 瞬时加速度
瞬时变化率
导数
几何意义
曲线上点的 切线斜率
即 x0＝－1.∴切线方程为 5x－y＋1＝0.
探究:过曲线y＝f(x)上的某一点作曲线的切线有且只有一条吗？
问题探究 1.过曲线y＝f(x)上的某一点作曲线的切线有且只有一条吗？
结论：不一定．可能不存在，如y＝|x|， y 0 x 0 1
x
x
在点(0,0)处不可导，无切线．
也可作多条，如图所示的曲线中，过点A可作两条切线．
(1)求在点 P( x0 , y0 ) 处的切线方程的步骤：
(2)求过点 P(m, n)处的切线方程的步骤：
解题感悟
2.过曲线上一点，不一定有曲线的切线，也不一定只有一条切线.
3.函数y＝f(x)在x0处有导数，则在该点处函数y＝f(x)表示的曲线必有切线，且导数值就 是该切线的斜率.而函数y＝f(x)表示的曲线在点（ x0 ， f(x0 ) ）处有切线，但函数y＝f(x) 在该点处不一定可导. 4.导数是一个局部概念，它只与函数y＝f(x)在x0及其附近的函数值有关.
记作 f ( x0 )．
概念理解 1．函数应在点x0的附近有定义，否则导数不存在． 2．在导数的定义中，Δx趋近于0，Δx可正、可负，但不为0，而Δy可能为0.
yHale Waihona Puke Baidu
3. x 是函数y＝f(x)对自变量 x在 x 范围内的平均变化率，它的几何意义 是过曲线y＝f(x)上点 (x0 , f (x0 )) 及点 (x0 x, f (x0 x)) 的割线斜率.
趋于即逼近，
“极限”思想
函数在某一点处 变化的快慢
刻画 瞬时变化率
曲线
物理
求某一点处 切线
某时刻的瞬时速度， 瞬时加速度
概念建构
3.函数在某一点处的瞬时变化率
导数
设函数y＝ f(x)在区间(a，b)上有定义，x0 ∈(a，b)，若Δx
无限趋近于0时，比值 y f (x0 x) f (x0 ) 无限趋近于
求f (x)
求f (1)
解：易得点P(1,2)在曲线上，由y x3 2x 1得
y (x x)3 2(x x) 1 x3 2x 1
(3x2 2)x 3x(x)2 (x)3 ,
y 3x2 2 3xx (x)2. x 当x 0时，y 3x2 2，
x 即f '(x) 3x2 2, 所以f '(1) 5.
分析：因为 y f (1 x) f (1) a(1 x) 3 (a 3) ,
x
x
x
当x 0时，y a, 所以f '(1) a. x
因为f '(1) 3,所以a 3.
练习2.已知质点按S(t) 3t t2(位移单位：m,时间单位：s)做直线运动， 当其瞬时速度为 0 m / s时，t .3 s
2.若曲线y＝f(x)上的某一点有切线，是否函数在这个自变量处可导？
例如f (x) 3 x, 在(0, 0)处
y 3 0 x 3 0 1 ，
x
x
(3 x )2
当x 0时，y ，不可导.
x
解题感悟 1.求曲线的切线方程，首先判断给出的点P是否是切点，明确求的 是在点P处的切线还是过点P的切线.
故点P(1, 2)处的切线斜率k=5.所以点P处的切线方程
为y 2 5(x 1),即5x y 3 0.
写出直线方程
探究:将本例中的点P(1,2)改为Q(0,1)，结果会怎样？
解：∵点 Q 不在曲线上， ∴设切点坐标为(x0，y0)． 由本例知 k＝f′(x0)＝3x20＋2， 切线方程为 y－y0＝(3x20＋2)(x－x0)． 又∵切线过点 Q(0,1)， ∴1－y0＝(3x20＋2)(0－x0)． 又由 y0＝x30＋2x0－1 得 x30＝－1，
当x 0时，y 6x 2， x
所以f '(x) 6x 2.
概念理解
√√
√
√
概念理解
五. 导数的物理意义 瞬时速度是运动物体的位移S(t)对于时间t的导数，即v(t)=S'(t).
瞬时加速度是运动物体的速度v(t)对于时间t的导数，即a(t)=v'(t).
数学应用
练习1.已知函数f (x)=ax 3，若f (1) 3，则a 3.
2
分析：根据导数的定义，可知题意为求 S'(t) 0 时的t值.
S S (t t ) S (t ) 3(t t ) (t t )2 (3t t 2 )
t
t
t
3t 2t t (t )2 3 2t t t
令t 0，S 3 2t, S(t) 3 2t. t
令S(t) 0，则t 3 . 2
微积分是数学发展史上继欧式几何后的又一个具有划时代意义的伟大创 造，被誉为数学史上的里程碑.
概念建构
一.函数y＝f(x)在 x0处导数的定义
设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，若Δx无限趋近
于0时，比值
y x
f
( x0
x) x
f
(x0 )
无限趋近于一个常数 A，
则称 f(x)在x＝x0处可导，并称该常数 A为函数f(x)在 x＝x0处的导数，
所以 y 3(x)2 4x 3x 4，
x
x
当x 0时，y 4， x
所以f '(1) 4.
数学应用
例 1(2) 求函数f(x)=3x2-2x在x=x0处的导数. 解：因为 y 3(x0 x)2 2(x0 x) (3x02 2x0 ) 6x0x 3(x)2 2x，
所以
y x
（2）求平均变化率 y f ( x0 x) f (x0 )
x
x
（3）求导数，当 x
0时，y x
A,则
f′(x0)＝A
数学应用
例 1(1) 求函数f(x)=3x2-2x 在x=1处的导数.
解: 因为 y f (1 x) f (1) 3(1 x)2 2(1 x) (312 21) 3(x)2 4x,
4.导数是一个局部概念，它只与函数y＝f(x)在x0及其附近的函数值有关，与Δx 无关.
概念建构
二.导数 f (x0) 的几何意义： 曲线y=f(x)在点 P(x0, f (x0 ))处的切线的斜率，如下图
P x0
三.用导数定义求函数y＝f(x)在x0处的导数的步骤：
（1）求函数值的改变量 y f ( x0 x) f (x0 )
x
x
一个常数A，则称该常数A为函数y＝f(x)在x＝x0的瞬时变化率．
称 f(x)在x＝x0处可导，并称该常数 A为函数f(x)在 x＝x0处的导数，
记作 f ( x0 ) ． 瞬时变化率与导数是同一概念的两个名称.
微积分的创始人，本章我们将要学习的导数是微积分的核心概念之一.
牛顿
莱布尼茨
牛顿在物理学研究的基础上，莱布尼茨从几何问题出发，用不同的 研究方法和途径，各自独立地创建了微积分.
6x0x
3(x)2 x
2x
6x0
2
3x,
当x
0时，y x
6x0
2，
所以f '(x0 ) 6x0 2.
进一步：如果函数对区间内的任一点都可导呢？
概念建构
四. 导数概念 若f (x)对于区间 (a，b)内任一点都可导，则 f (x)在各点
的导数也随着自变量 x的变化而变化，因而也是自变量 x的函 数，该函数称为 f (x)的导函数，记作 f (x)．
练习3.已知点（2,1）在函数y f (x)图像上，且在点（2,1）处的切线与
直线3x-y-2=0平行，则f (2) 3.
分析： 直线3x-y-2=0的斜率为3， 由导数的几何意义可知f (2) 3.
例2
求曲线f (x) x3 2x 1在点P(1, 2)处的切线方程.
分析：点（1,2）为切点
在不引起混淆时，导函数 f (x) 也简称为 f (x)的导数 ．
数学应用
例 1(3) 求函数f(x)=3x2-2x的导数.
解：因为 y 3(x x)2 2(x x) (3x2 2x) 6xx 3(x)2 2x，
所以 y 6xx 3(x)2 2x 6x 2 3x,
x
x
1.1.2瞬时变化率—导数（2）
苏教版选修2-2《导数及其应用》第3课时
只有微分学才能使自 然科学有可能用数学来 不仅仅表明状态，而且 也表明过程：运动
——恩格斯
牛顿
莱布尼茨
微积分的创始人，本章我们将要学习的导数是微积分的核心概念之一.
课堂回顾
函数在某区间 函数值变化的快慢
刻画 平均变化率
x
0