直线的倾斜角与斜率(二)
直线的倾斜角和斜率
直线的倾斜角和斜率引言在几何学和代数学中，直线是一个重要的概念。
直线可以用不同的方式来表达和描述，其中倾斜角和斜率是两个常见的表示方法。
本文将详细介绍直线的倾斜角和斜率的概念、计算方法以及它们之间的关系。
直线的倾斜角倾斜角是表示直线相对于水平方向的旋转程度的数值。
直线的倾斜角可以是正值或负值，取决于直线向上或向下倾斜的方向。
倾斜角的取值范围是从负无穷到正无穷。
计算倾斜角可以通过计算直线上两点间的斜率来得到直线的倾斜角。
斜率是指直线上任意两点的纵坐标变化量除以横坐标变化量的比值。
假设有两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，直线AB的倾斜角可以通过以下公式计算：倾斜角 = arctan((y2 - y1) / (x2 - x1))其中arctan是反正切函数。
需要注意的是，这个公式只适用于直线不垂直于x轴的情况。
当直线垂直于x轴时，倾斜角没有定义。
此时可以取特殊值正无穷或负无穷来表示。
倾斜角的意义倾斜角可以用于判断直线是向上倾斜还是向下倾斜，以及直线的旋转方向。
倾斜角为正值表示直线向上倾斜，倾斜角为负值表示直线向下倾斜。
倾斜角的绝对值越大，直线的倾斜程度越大。
倾斜角还可以用于计算直线与水平线之间的夹角。
直线与水平线的夹角等于90度减去直线的倾斜角的绝对值。
直线的斜率斜率是直线上任意两点间纵坐标变化量除以横坐标变化量的比值。
斜率可以用来描述直线的陡峭程度。
计算斜率与计算倾斜角类似，直线的斜率可以通过两点间的纵坐标变化量除以横坐标变化量来计算。
假设有两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，直线AB的斜率可以通过以下公式计算：斜率 = (y2 - y1) / (x2 - x1)斜率的取值范围是从负无穷到正无穷。
如果直线是垂直于x轴的，则斜率没有定义。
斜率的意义斜率表示直线上每个单位横坐标变化对应的纵坐标的变化量。
斜率为正值表示纵坐标随横坐标增加而增加，直线向上倾斜；斜率为负值表示纵坐标随横坐标增加而减少，直线向下倾斜。
直线的斜率与倾斜角
直线的斜率与倾斜角直线是几何中最基本的元素之一，我们常常需要研究直线的性质和特点。
其中，斜率和倾斜角是描述直线斜率的两个重要概念。
在本文中，我们将深入探讨直线的斜率和倾斜角，并讨论它们之间的关系。
一、直线的斜率直线的斜率可以简单地理解为在直角坐标系中，直线沿着x轴或y轴方向的增长速率。
斜率通常用字母“m”表示，其定义可以通过直线上两个点的坐标来确定。
设直线上两个点的坐标分别为(x1, y1)和(x2, y2)，则斜率可以通过以下公式计算：m = (y2 - y1)/(x2 - x1)这个公式的分子表示y轴的增量，分母表示x轴的增量。
斜率的值可以正数、负数或零。
当斜率为正数时，表示直线向上倾斜；当斜率为负数时，表示直线向下倾斜；当斜率为零时，表示直线平行于x轴。
斜率的绝对值越大，说明直线越陡峭；斜率的绝对值越小，说明直线越平缓。
斜率为正无穷大或负无穷大时，表示直线为垂直于x轴或y轴的竖直线。
二、直线的倾斜角直线的倾斜角是直线相对于正x轴的夹角，用字母“θ”表示。
倾斜角的取值范围是0°到90°。
当直线与正x轴的夹角为0°时，表示直线与x轴平行；当直线与正x轴的夹角为90°时，表示直线与x轴垂直。
为了计算直线的倾斜角，我们可以利用斜率与三角函数之间的关系。
设直线的斜率为m，则直线的倾斜角可以通过以下公式计算：θ = arctan(m)其中，arctan函数是反三角函数中的一种，可以通过计算机或科学计算器进行计算。
倾斜角的计算结果通常以弧度或角度表示。
三、斜率与倾斜角的关系斜率和倾斜角之间存在着紧密的联系。
当我们知道直线的斜率时，可以通过斜率的正负性来判断直线的倾斜方向。
当斜率为正数时，直线向上倾斜；当斜率为负数时，直线向下倾斜。
同时，斜率的绝对值可以用来计算直线的倾斜角。
具体地说，当斜率为m时，倾斜角θ可以通过以下公式计算：θ = arctan(|m|)这个公式告诉我们，倾斜角的值等于斜率绝对值的反三角函数值。
《直线的倾斜角和斜率》课件3 (北师大版必修2)(2)
例3 判断正误：
①直线的倾斜角为α，则直线的斜率为 tan（ ） ②直线的斜率为 t an ，则它的倾斜角为 （ ） ③因为所有直线都有倾斜角，所以所有直线都有 斜率。 （ ） ④因为平行于y轴的直线的斜率不存在，所以平 行于y轴的直线的倾斜角不存在 （ ） ⑤直线的倾斜角越大,则直线的斜率越大 ( )
3
（3）若k (1,1) 则 的取值范围 0 0 0 [0, 45 _________) (135 ,180 ) 0 0 若 (60 ,150 ),则K的取值范围___
(, 3 ) ( 3, )
3 0 0 (120 ,150 ) 若 k ( 3, ), 则 _____ 3
l1
1
O
2
x
例2 直线 l1、 l２、 l３的斜率分别是k1、 k２、 k３，试比较斜率的大小
l1 l２ l３
例3、 填空 0 3 （1） 若 60 则k=________ 0 若k 3, 则 ________ 120 0 0 3 (30 ,60 ) ，则 k ____ ； （2） 若 ( , 3)
o
x1
x2
x
在RtP2 PQ中 1
0
钝角
y
y2 y1
P2 ( x2 , y2 )
如图，当α为钝角是， 180 , 且x1 x2 , y1 y2 tan tan( ) 180
Q( x2 , y1 )
P ( x1, y1 ) 1
o
x1
x2
x
y2 y1 y2 y1 k tan x1 x2 x2 x1
小结
1、倾斜角的定义及其范围
高中数学必修二-直线的倾斜角与斜率
直线的倾斜角与斜率知识集结知识元直线的倾斜角知识讲解一、直线的倾斜角1.定义：平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，则叫做直线的倾斜角.2.规定：当直线和轴平行或重合时，直线倾斜角为，所以，倾斜角的范围是．3.（1）倾斜角的概念中含有三个条件：①直线向上的方向；②x轴的正方向；③小于平角的正角．（2）倾斜角是一个几何概念，它直观地描述且表现了直线对于x轴正方向的倾斜程度．（3）平面直角坐标系中每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等．（4）确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角，二者缺一不可．例题精讲直线的倾斜角例1.已知直线的倾斜角为，并且0°≤＜120°，直线的斜率k的范围是（）D．k≥0或A．B．C．k≥0或例2.已知点M（2m+3，m），N（m－2，1），当m∈________时，直线MN的倾斜角为锐角；当m∈________时，直线MN的倾斜角为直角；当m∈________时，直线MN的倾斜角为钝角．例3.若直线l的向上的方向与y轴的正方向成30°角，则直线l的倾斜角为( )A．30°B．60°C．30°或150D．60°或120°例4.直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角α的范围是( )A．0°≤α<90°B．90°≤α<180°C．90°<α<180°D．直线的斜率知识讲解一、直线的斜率1.定义：倾斜角不是的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用表示，即．2.注意：(1)当直线与x轴平行或重合时，=0°，k=tan0°=0；(2)直线与x轴垂直时，=90°，k不存在.由此可知，一条直线的倾斜角一定存在，但是斜率k不一定存在.二、斜率公式已知点、，且与轴不垂直，过两点、的直线的斜率公式.三、应用斜率公式求斜率时，首先应注意这两点的横坐标是否相等，若相等，则这两点的连线必与x轴垂直，即直线的倾斜角为90°，故其斜率不存在，也就不能运用斜率公式求斜率．事实上，此时若将两点坐标代入斜率公式，则其分母为零无意义，即斜率不存在；其次，在运用斜率公式时，分子的被减数与分母的被减数必须对应着同一点的纵坐标和横坐标．例题精讲直线的斜率例1.以下两点确定的直线的斜率不存在的是（）A．（4，2）与（―4，1）B．（0，3）与（3，0）C．（3，―1）与（2，―1）D．（―2，2）与（―2，5）例2.已知三点A（2，―3），B（4，3），在同一条直线上，则k=________．例3.'如果三条直线mx+y+3=0，x―y―2=0，2x―y+2=0不能成为一个三角形三边所在的直线，求m的值．'例4.'直线mx+y+2=0与线段AB有公共点，其中A（－2，3），B（3，2），求实数m的取值范围．'备选题库知识讲解本题库作为知识点“直线的倾斜角和斜率”的题目补充.例题精讲备选题库已知三点A（1，-3），B（8，），C（9，1），求证：A、B、C三点共线．'例2.'直线l经过点（1，1），若抛物线y2=x上存在两点关于直线l对称，求直线l斜率的取值范围．'例3.'求下列在直线l的方程（1）过点A（0，2），它的倾斜角为正弦值是；（2）过点A（2，1），它的倾斜角是直线l1：3x+4y+5=0的倾斜角的一半；（3）过点A（2，1）和直线x-2y-3=0与2x-3y-2=0的交点．'例4.'已知M（1，-1），N（2，2），P（3，0）．（1）求点Q的坐标，满足PQ⊥MN，PN∥MQ．（2）若点Q在x轴上，且∠NQP=∠NPQ，求直线MQ的倾斜角．'当堂练习单选题练习1.已知直线l的倾斜角为60°，直线l2经过点A（1，），B（-2，-2），则直线l1，l2的位置关系是（）A．平行或重合B．平行C．垂直D．重合已知直线经过点A（2，0），B（1，），则连直线的倾斜角是（）A．B．C．D．练习3.已知直线l的方程为3x-y-2=0，则直线l的斜率是（）A．3 B．-3C．D．练习4.在平面直角坐标系中，过点（2，1）且倾斜角为的直线不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限练习5.已知直线l：x+2y-1=0的倾斜角为θ，则cosθ=（）A．-B．C．±D．-练习6.直线3x+2y+m=0与直线2x+3y-1=0的位置关系是（）A．相交B．平行C．重合D．由m决定填空题练习1.已知点A（-1，2），B（2，3），若直线l：kx-y-k+1=0与线段AB相交，则实数k的取值范围是_____________．练习2.直线的斜率为k，若-1<k<，则直线的倾斜角的范围是_________．练习3.过点P（-4，0）的直线l与圆C：x2+y2=4相交于A，B两点，若点A恰好是线段PB的中点，_．则直线l的斜率是__练习4.已知平面内两点A（-4，1），B（-3，-1），过定点M（-2，2）的直线与线段AB恒有公共点，则直线斜率的取值范围是______．_练习5.过点引直线l与曲线y=相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取得最大值时，直线l的倾斜角为______．解答题练习1.'直线l经过点（1，1），若抛物线y2=x上存在两点关于直线l对称，求直线l斜率的取值范围．'练习2.'求下列在直线l的方程（1）过点A（0，2），它的倾斜角为正弦值是；（2）过点A（2，1），它的倾斜角是直线l1：3x+4y+5=0的倾斜角的一半；（3）过点A（2，1）和直线x-2y-3=0与2x-3y-2=0的交点．'练习3.'已知M（1，-1），N（2，2），P（3，0）．（1）求点Q的坐标，满足PQ⊥MN，PN∥MQ．（2）若点Q在x轴上，且∠NQP=∠NPQ，求直线MQ的倾斜角．'。
《直线的倾斜角与斜率》教案及说明
《直线的倾斜角与斜率》教案及说明一、教学目标：1. 让学生理解直线的倾斜角的概念，能够求出直线的倾斜角。
2. 让学生掌握直线的斜率的概念，能够求出直线的斜率。
3. 让学生能够运用直线的倾斜角和斜率解决实际问题。
二、教学内容：1. 直线的倾斜角的概念。
2. 直线的斜率的概念。
3. 直线的倾斜角与斜率的关系。
4. 求直线的倾斜角和斜率的方法。
5. 直线的倾斜角和斜率在实际问题中的应用。
三、教学重点与难点：1. 直线的倾斜角的概念。
2. 直线的斜率的概念。
3. 直线的倾斜角与斜率的关系。
四、教学方法：1. 采用讲解法，讲解直线的倾斜角和斜率的概念。
2. 采用案例分析法，分析直线的倾斜角和斜率在实际问题中的应用。
3. 采用互动教学法，引导学生参与课堂讨论，提高学生的思维能力。
五、教学过程：1. 导入：通过生活中的实例，引导学生思考直线的倾斜角和斜率的概念。
2. 讲解直线的倾斜角和斜率的概念，让学生掌握直线的倾斜角和斜率的定义。
3. 通过案例分析，让学生了解直线的倾斜角和斜率在实际问题中的应用。
4. 互动环节：引导学生参与课堂讨论，探讨直线的倾斜角和斜率的关系。
5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调直线的倾斜角和斜率的重要性。
6. 作业布置：布置有关直线的倾斜角和斜率的练习题，巩固所学知识。
说明：本教案根据学生的实际情况，采用讲解法、案例分析法和互动教学法，旨在让学生掌握直线的倾斜角和斜率的概念，并能运用到实际问题中。
在教学过程中，注意启发学生的思维，培养学生的动手能力。
六、教学评估：1. 课堂讲解过程中，观察学生对直线的倾斜角和斜率概念的理解程度。
2. 案例分析环节，观察学生对实际问题中直线倾斜角和斜率的应用能力。
3. 课堂互动环节，评估学生对直线倾斜角和斜率关系的掌握情况。
七、教学反思：1. 课后对学生的作业进行批改，总结学生在直线的倾斜角和斜率方面的掌握情况。
2. 针对学生存在的问题，调整教学方法，以便更好地让学生理解和掌握直线的倾斜角和斜率。
直线的倾斜角与斜率知识点
直线的倾斜角与斜率知识点直线是数学中最基本的图形之一，在几何学和代数学中都有广泛的应用。
直线的倾斜角和斜率是描述直线特征的重要概念，在解决直线问题时起到了至关重要的作用。
本文将介绍直线的倾斜角和斜率的概念、计算方法和应用场景。
一、直线的倾斜角直线的倾斜角是指直线与正 x 轴之间的夹角。
它通常用角度或弧度来度量。
倾斜角可以表达直线的上升或下降趋势，以及直线的陡峭程度。
倾斜角的取值范围为 [-90°, 90°] 或 [-π/2, π/2]，其中正值表示线段向右上方倾斜，负值表示线段向右下方倾斜。
要计算直线的倾斜角，需要从直线上选择两个确定点。
假设直线的两个点分别是 P1(x1, y1) 和 P2(x2, y2)，则倾斜角可以通过求解以下公式得出：倾斜角 = arctan((y2 - y1) / (x2 - x1))其中，arctan 表示反正切函数，计算结果可以用角度或弧度来表示。
二、直线的斜率直线的斜率是用来表示直线上点之间的变化率的数值。
斜率可以告诉我们直线的陡峭程度和方向。
通常情况下，斜率被定义为直线上任意两点之间纵坐标的差值与横坐标的差值之比。
对于直线上的两个点 P1(x1, y1) 和 P2(x2, y2)，斜率可以通过以下公式来计算：斜率 = (y2 - y1) / (x2 - x1)斜率可以用分数形式来表示，分母表示直线上两个点之间的水平距离，分子表示两个点之间的垂直距离。
斜率也可以是整数、小数或无穷大。
当斜率为正时，直线向上倾斜；当斜率为负时，直线向下倾斜；当斜率为0时，表示直线为水平线。
三、直线倾斜角与斜率的转换关系直线的倾斜角和斜率有一个重要的转换关系。
斜率可以通过直线的倾斜角计算得到，也可以通过斜率计算得到直线的倾斜角。
通过倾斜角计算斜率的公式如下：斜率 = tan(倾斜角)其中，tan 表示正切函数。
通过斜率计算倾斜角的公式如下：倾斜角 = arctan(斜率)这两个公式可以帮助我们在直线的描述中灵活地使用斜率和倾斜角。
2.1.1 倾斜角与斜率(解析版)..
第二章《直线和圆的方程》2.1直线的倾斜角与斜率2．1.1倾斜角与斜率知识梳理知识点一直线的倾斜角1．倾斜角的定义(1)当直线l 与x 轴相交时，我们以x 轴为基准，x 轴正向与直线l 向上的方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角．(2)当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.2．直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.知识点二直线的斜率1．直线的斜率把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即k ＝tan α.2．斜率与倾斜角的对应关系图示倾斜角(范围)α＝0°0°<α<90°α＝90°90°<α<180°斜率(范围)k ＝0k >0不存在k <03．过两点的直线的斜率公式过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1x 2－x 1.题型探究题型一、直线的倾斜角1．直线的倾斜角前提条件直线l 与x 轴_________定义以_________作为基准，x 轴_________与直线l _________的方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角特殊情况当直线l 与x 轴_________或_________时，规定它的倾斜角为_________取值范围__________________【答案】相交x 轴正向向上平行重合00180α≤≤2．（多选）设直线l 过原点，其倾斜角为α，将直线l 绕坐标原点沿逆时针方向旋转45，得到直线1l ，则直线1l 的倾斜角为（）A ．45α+B ．45α-o C ．135α-D ．135α-【答案】AC【详解】直线倾斜角α的取值范围为0180α≤<，∴当0135α≤<时，旋转45后得到1l 的倾斜角为：45α+；当135180α<<时，旋转45后得到1l 的倾斜角为：45180135αα+-=-.故选：AC.3．分别写出下列直线的倾斜角：(1)垂直于x 轴的直线；(2)垂直于y 轴的直线；(3)第一、三象限的角平分线；(4)第二、四象限的角平分线．【答案】(1)90；(2)0；(3)45；(4)135【详解】(1)当直线垂直于x 轴时，直线的向上方向与x 轴正方向形成的夹角为90，所以所求直线的倾斜角为90.(2)当直线垂直于y 轴时，此时，直线与x 轴平行或重合，所以所求直线的倾斜角为0.(3)当直线为第一、三象限的角平分线时，直线的向上方向与x 轴正方向形成的夹角为45，所以所求直线的倾斜角为45.(4)当直线为第二、四象限的角平分线时，直线的向上方向与x 轴正方向形成的夹角为135所以所求直线的倾斜角为135.4．当直线l 与x 轴垂直时，直线l 的倾斜角为______．【答案】2π【详解】当直线l 与x 轴垂直时，直线l 的倾斜角为2π故答案为：2π题型二、直线的斜率1．若直线l 的倾斜角为120︒，则直线l 的斜率为________.【答案】3-【详解】因为直线l 的倾斜角为120︒，则tan1203k =︒=-.故答案为：3-.2．经过两点()()1,,1,4A m B m +的直线的倾斜角为45，则m =___________.【答案】2【详解】因为过两点()()1,,1,4A m B m +的直线的倾斜角为45，所以4tan 45111AB mk m -===+-，解得2m =，故答案为：2.3．根据下列直线的倾斜角α，判断直线的斜率是否存在，如果存在，求出斜率的值：(1)0α=︒；(2)60α=︒；(3)90α=︒；(4)150α=︒．【答案】(1)存在，且斜率为0(2)存在，且斜率为3(3)不存在(4)存在，且斜率为33-【详解】(1)0α=︒，斜率存在，且斜率为tan00︒=.(2)60α=︒，斜率存在，且斜率为tan 603︒=.(3)90α=︒，斜率不存在.(4)150α=︒，斜率存在，且斜率为3tan1503︒=-.4．求经过下列两点的直线的斜率与倾斜角(1)()2,3A ，()3,4B (2)()2,3C ，()3,3D (3)()2,3E ，()2,4F (4)()2,3G ，(),4H a 【答案】(1)1AB k =，倾斜角为4π(2)0CD k =,倾斜角为0(3)斜率不存在，倾斜角为2π(4)见解析【详解】(1)43132AB k -==-，所以AB 的倾斜角为4π；(2)33032CD k -==-，所以CD 的倾斜角为0；(3)因为点,E F 的横坐标相等，所以直线EF 的斜率不存在，倾斜角为2π；(4)当2a =时，直线GH 的斜率不存在，倾斜角为2π，当2a ≠时，43122GH k a a -==--，若2a >，倾斜角为1arctan2a -；若2a <，倾斜角为1arctan2a π+-.题型三、倾斜角和斜率的应用1．已知直线l 经过(2,1)A 、2(1,)B m （R m ∈）两点，求直线l 的倾斜角的取值范围.【答案】ππ0,,π42⎡⎤⎛⎫⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭【详解】∵直线l 过(2,1)A ，2(1,)B m (R)m ∈两点，∴直线l 的斜率为2211112m k m -==-≤-，设直线l 的倾斜角为α，则[)0,πα∈，且tan 1α≤，解得π04α≤≤或ππ2α<<∴直线l 的倾斜角α的取值范围是ππ0,,π42⎡⎤⎛⎫⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭.2．过点(0,1)P -的直线l 与以(3,2)A 、(2,3)B -为端点的线段AB 有交点，求直线l 的倾斜角α的取值范围．【答案】30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭【详解】如图所示，因为(0,1)P -，(3,2)A ，(2,3)B -，可得12(1)130l k --==-，13(1)120l k ---==--，要使得直线l 与以(3,2)A 、(2,3)B -为端点的线段AB 有交点，设直线l 的倾斜角为α，其中[0,)π，则满足tan 1α≤或tan 1α≥-，解得04πα≤≤或34παπ≤<，即直线l 的倾斜角α的取值范围30,,44ππαπ⎡⎤⎡⎫∈⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭.故答案为：30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭.3．已知直线1l 的斜率为12，直线2l 的倾斜角是直线1l 倾斜角的2倍，求直线2l 的斜率.【答案】43【详解】由题意，设直线1l 的倾斜角为α，则直线2l 的倾斜角为2α，由已知得11tan 2k α==，所以直线2l 的斜率为222tan 4tan 21tan 3k ααα===-.4．设点()2,3A -，()3,2B ，若直线ax +y +2=0与线段AB 有交点，则a 的取值范围是（）A ．54,,23⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭B ．45,32⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．54,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．45,,32⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【答案】D【详解】∵直线20ax y ++=过定点(0,2)C -，且52AC k =-，43BC k =，由图可知直线与线段AB 有交点时，斜率a -满足43a ≤-或52a -≤-，解得45,,32a ⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎢⎝⎦⎣∈⎥⎭，故选：D跟踪训练1．确定一条直线的条件确定一条直线的条件是_________和一个_________．规定水平直线的方向_________，其他直线_________的方向为这条直线的方向．【答案】一点方向向右向上2．已知直线1l 的倾斜角115α=︒，直线1l 与2l 的交点为A ，直线1l 和2l 向上的方向之间所成的角为120︒，如图所示，求直线2l 的倾斜角.【答案】135︒【详解】设直线2l 的倾斜角为2α，结合图形及三角形外角与内角的关系可得2112012015135αα=︒+=︒+︒=︒，故直线2l 的倾斜角为135︒.3．直线0y =倾斜角为____________.【答案】0【详解】直线0y =即为x 轴，该直线的倾斜角为0.故答案为：0.4．如图所示，直线l 的倾斜角为()A ．60︒B ．150︒C ．0︒D ．不存在【答案】B【详解】由图可知：该直线的倾斜角为150°故选：B5．直线1l 与直线2:2l x =所成的锐角为30°，则直线1l 的倾斜角为______．【答案】60°或120°．【详解】如图，直线1l 的倾斜角为60°或120°﹒故答案为：60°或120°﹒6．函数1y =表示的直线的倾斜角大小为___________.【答案】0【详解】由题设，1y =平行于x 轴，即斜率为0，若倾斜角为[0,)θπ∈，则tan 0θ=，故0θ=.故答案为：07．判断正误（1）倾斜角为135︒的直线的斜率为1．()（2）直线斜率的取值范围是(),-∞+∞．()【答案】×√【详解】（1）倾斜角为135︒的直线的斜率为-1（2）直线斜率的取值范围是(),-∞+∞8．过点(1,2)(1,0)-、A B 的直线的倾斜角为（）A ．45︒B ．135︒C ．1D ．1-【答案】A【详解】过A 、B 的斜率为2011(1)k -==--，则该直线的倾斜角为45︒，故选：A ．9．求经过下列两点的直线的斜率和倾斜角.(1)(2,0)P 、()1,3Q ；(2)(1,2)P 、(,0)Q a ，其中实数a 是常数.【详解】(1)经过(2,0)P ､()1,3Q 两点的直线的斜率30312k -==--，设直线PQ 的倾斜角为θ，则0πθ≤<，又tan 3θ=-，则2π3θ=(2)设直线PQ 的倾斜角为θ，则0πθ≤<，当1a =时，直线PQ 的斜率不存在，倾斜角π2θ=；当1a ≠时，21k a=-，则2tan 1a θ=-①若1a <，则2arctan1aθ=-；②若1a >，则2πarctan1aθ=+-.10．设直线l 的倾斜角为θ，若原点在直线l 上的射影为(2,1)-，则sin 2θ的值为______．【答案】45【详解】由原点在直线l 上的射影为(2,1)-知过原点和(2,1)-的直线和直线l 垂直，过原点和(2,1)-的直线斜率为12-，故直线l 的斜率为2，即tan 2θ=，故2222sin cos 2tan 4sin 2sin cos tan 15θθθθθθθ===++.故答案为：45.11．已知直线斜率为k ，且13k -≤≤，那么倾斜角α的取值范围是（）．A ．ππ3π0,,324⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭B ．π3π0,,π34⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭C ．ππ3π0,,624⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭D ．π3π0,,π64⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭【答案】B【详解】由题意，直线l 的倾斜角为α，则[)0,πα∈，因为13k -≤≤，即1tan 3α-≤≤，结合正切函数的性质，可得π3π0,,π34α⎡⎤⎡⎫∈⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭．故选：B ．12．当直线l 的倾斜角2,,4223ππππθ⎡⎫⎛⎤∈⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦时，则直线l 的斜率的取值范围为______．【答案】[)(1,,3⎤+∞⋃-∞-⎦【详解】当直线l 的倾斜角2,,4223ππππθ⎡⎫⎛⎤∈⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦时，则直线l 的斜率的取值范围为[)(2tan ,,tan 1,,343ππ⎡⎫⎛⎤⎤+∞⋃-∞=+∞⋃-∞-⎪ ⎢⎥⎦⎣⎭⎝⎦，故答案为：[)(1,,3⎤+∞⋃-∞-⎦﹒13．求经过(,3)A m （其中m 1≥）、(1,2)B 两点的直线的倾斜角α的取值范围．【答案】090α<≤︒【详解】由题意，当1m =时，倾斜角90α=︒，当1m >时，321tan 011m m α-==>--，即倾斜角α为锐角；综上得：090α<≤︒．高分突破1．如图，设直线1l ，2l ，3l 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，则1k ，2k ，3k 的大小关系为（）A ．123k k k <<B ．132k k k <<C ．213k k k <<D ．321k k k <<【答案】A【详解】由斜率的定义可知，123k k k <<.故选：A ．2．直线m 过点()()0012O A ，，，，其倾斜角为α，现将直线m 绕原点O 逆时针旋转得到直线'm y kx =：，若直线'm 的倾斜角为2α，则k 的值为（）A ．22B ．22-C ．2D ．-2【答案】B【详解】由题，tan 2OA k α==，直线'm 的倾斜角为2α，故()222tan 22tan 2221tan 12k ααα====---故选：B3．已知过点()2,m ，()4,6的直线的倾斜角为45︒，则实数m =（）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】B【详解】由6tan 45142m-︒==-，解得4m =.故选：B ．4．设直线l 的斜率为k ，且31k -<≤，则直线l 的倾斜角α的取值范围是（）A ．π2π0,,π43⎡⎤⎛⎫⋃ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭B ．π3π0,,π64⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭C ．π2π,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．π3π,34⎛⎤⎥⎝⎦【答案】A【详解】因为直线l 的斜率为k ，且31k -<≤，3tan 1α∴-<≤，因为[0,π)α∈，2ππ,π0,34α⎛⎫⎡⎤∴∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.故选：A.5．直线l 的斜率为33，则l 的倾斜角为（）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°【答案】A【详解】因为直线l 的斜率为33，所以l 的倾斜角为30°.故选：A.6．(多选)如果直线l 过原点(0，0)且不经过第三象限，那么l 的倾斜角α可能是（）A ．0°B ．120°C ．90°D ．60°【答案】ABC【详解】依题意，直线l 过原点，且不经过第三象限，则0α=︒或90180α︒≤<︒，所以ABC 选项符合，D 选项不符合.故选：ABC7．（多选）下列四个命题中，错误的有（）A ．若直线的倾斜角为θ，则sin 0θ>B ．直线的倾斜角θ的取值范围为0θπ≤<C ．若一条直线的倾斜角为θ，则此直线的斜率为tan θD ．若一条直线的斜率为tan θ，则此直线的倾斜角为θ【答案】ACD【详解】因为直线的倾斜角的取值范围是[)0,p ，即[)0,θπ∈，所以sin 0θ≥，当2πθ≠时直线的斜率tanθk =，故A 、C 均错误；B 正确；对于D ：若直线的斜率4tan33k π==，此时直线的倾斜角为3π，故D 错误；故选：ACD 8．若直线12,l l 的倾斜角分别为12,αα，且12l l ⊥，则有()A ．1290αα-=︒B ．2190αα-=︒C ．2190αα-=︒D ．12180αα+=︒【答案】C 【详解】根据两条直线垂直，可知|α2−α1|=90°，故选：C9．已知直线l 过点A (1,2)，且不过第四象限，则直线l 的斜率k 的最大值是()A ．2B ．1 C.12D ．0【答案】A【详解】如图，k OA ＝2，k l ′＝0，只有当直线落在图中所示位置时才符合题意，故k ∈[0,2]．故直线l 的斜率k 的最大值为2.10．下列命题中，错误的是______．（填序号）①若直线的倾斜角为α，则(0,)απ∈；②若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大；③若直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tan α．【答案】①②③【详解】对于①中，根据直线倾斜角的概念，可得直线的倾斜角为α，则[0,)απ∈，所以①错误；对于②中，当倾斜角[0,)2πα∈，直线的倾斜角越大，则直线的斜率k 越大，且0k >；当倾斜角(,)2παπ∈，直线的倾斜角越大，则直线的斜率k 越大，但0k <，所以②错误；对于③中，根据直线斜率的概念，可得当[0,)απ∈且2πα≠时，直线的斜率为tan k α=，所以③错误.故答案为：①②③.11．直线l 的斜率为3，将直线l 绕其与x 轴交点逆时针旋转60所得直线的斜率是______．【答案】3-【详解】设直线l 的倾斜角为α，)0,180α⎡∈⎣，因为直线l 的斜率为3，所以tan 3α=，所以60α=，所以将直线l 绕其与x 轴交点逆时针旋转60所得直线的倾斜角为6060120+=，所以所得直线的斜率是tan1203=-，故答案为：3-.12．若过两点(0,)A y 、(23,3)B -的直线的倾斜角为60°，则y ＝______．【答案】－9【详解】过两点(0,)A y 、(23,3)B -的直线的倾斜角为60°则有3tan 603230y --==-，解之得9y =-故答案为：－913．若直线l 的倾斜角α的正弦值为35，则它的斜率为___________.【答案】34±【详解】由题设，3sin 5α=，而α∈[0,)π，则4cos 5α=±，所以3tan 4α=±，即斜率为34±.故答案为：34±14．若三点A (3,1)，B (－2，k )，C (8,1)能构成三角形，则实数k 的取值范围为________．【答案】(－∞，1)∪(1，＋∞)【详解】k AB ＝k －1－2－3＝1－k 5，k AC ＝1－18－3＝05＝0.要使A ，B ，C 三点能构成三角形，需三点不共线，即k AB ≠k AC ，∴1－k 5≠0，∴k ≠1.15．已知直线l 过第一象限的点(,)m n 和(1,5)，直线l 的倾斜角为135°，求14m n +的最小值．【答案】32【详解】由题意，可得0m >，0n >，且5tan13511n m-==--︒，即6m n +=，又由()14114141435526662n m n m m n m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当4n m m n =时，即24n m ==时，等号成立，所以14m n +的最小值为32．16．已知直线l 经过两点()22,A a a ､(0,1)B -，求直线l 的倾斜角的取值范围.【答案】3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【详解】设直线l 的斜率为k ，倾斜角为θ.当0a =时，k 不存在，2πθ=；当0a ≠时，211222a a k a a+==+：若0a >时，则12122a k a ≥⋅=，,42ππθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭；若0a <时，则12()()122ak a ≤--⋅-=-，3,24ππθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦；综上，3,44ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.17．已知直线l 的斜率的绝对值为33，求这条直线的倾斜角．【答案】30°或150°【详解】由题意知直线的斜率k ＝33或k ＝－33，且倾斜角的范围为0180α︒≤<︒，所以直线的倾斜角的大小为30°或150°.18．已知直线1l 的斜率为1-，直线2l 的倾斜角比直线1l 的倾斜角小30°，求直线2l 的斜率．【答案】23--【详解】因为直线1l 的斜率为1-，所以直线1l 的倾斜角为135︒，又直线2l 的倾斜角比直线1l 的倾斜角小30°，所以直线2l 的倾斜角为105︒，所以()tan 45tan 6013tan105tan 4560231tan 45tan 60113°+°+°=°+°===---鞍-´，所以直线2l 的斜率为23--．19．（1）若直线l 的倾斜角,63ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求直线l 斜率k 的范围；（2）若直线l 的斜率[]1,1k ∈-，求直线l 倾斜角α的范围.【答案】（1）3,33k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；（2）30,,44ππαπ⎡⎤⎡⎫∈⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭.【详解】（1）因为tan k α=，,63ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，3tan 63π=，tan 33π=，结合正切函数在[)0,p 的单调性得3,33k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，（2）直线l 的斜率[]1,1k ∈-，tan 14π=，3tan 14π=-，结合正切函数在[)0,p 的单调性得30,,44ππαπ⎡⎤⎡⎫∈⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭.20．经过点()0,1P -作直线l ，且直线l 与连接点()1,2A -，()2,1B 的线段总有公共点，求直线l 的倾斜角α和斜率k 的取值范围．【答案】30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭;11k -≤≤.【详解】因为2(1)110PA k ---==--，1(1)120PB k --==-，由l 与线段AB 相交，所以PA PB k k k ≤⇒≤11k -≤≤，所以0tan 1α≤≤或1tan 0α-≤<，由于tan y x =在0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭及,2ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦均为增函数，所以直线l 的倾斜角α的范围为：30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭.故倾斜角的范围为30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭，斜率k 的范围是11k -≤≤.21．已知坐标平面内两点M(m ＋3,2m ＋5)，N(m －2,1).(1)当m 为何值时，直线MN 的倾斜角为锐角？(2)当m 为何值时，直线MN 的倾斜角为钝角？(3)直线MN 的倾斜角可能为直角吗？【答案】(1)m>－2.(2)m<－2.(3)不可能为直角.【详解】(1)若倾斜角为锐角，则斜率大于0，即k ＝()25132m m m +-+--＝245m +>0，解得m>－2.(2)若倾斜角为钝角，则斜率小于0，即k ＝()25132m m m +-+--＝245m +<0，解得m<－2.(3)当直线MN 垂直于x 轴时直线的倾斜角为直角，此时m ＋3＝m －2，此方程无解，故直线MN 的倾斜角不可能为直角.22．点M (x ，y )在函数y ＝－2x ＋8的图象上，当x ∈[2,5]时，求y ＋1x ＋1的取值范围．【详解】y ＋1x ＋1＝y －(－1)x －(－1)的几何意义是过M (x ，y )，N (－1，－1)两点的直线的斜率．∵点M 在函数y ＝－2x ＋8的图象上，且x ∈[2,5]，∴设该线段为AB 且A (2,4)，B (5，－2)．∵k NA ＝53，k NB ＝－16，∴－16≤y ＋1x ＋1≤53.∴y ＋1x ＋1的取值范围为－16，53.。
高二数学直线的倾斜角和斜率2(教师版)
学科教师辅导讲义【课堂小练】一．选择题：1．下列命题正确的是（ ）（A ）若直线的斜率存在，则必有倾斜角α与它对应 （B ）若直线的倾斜角存在，则必有斜率与它对应 （C ）直线的斜率为k ，则这条直线的倾斜角为arctan k （D ）直线的倾斜角为α，则这条直线的斜率为tanα 2．过点M (–2, a ), N (a , 4)的直线的斜率为–21，则a 等于（ ） （A ）–8 （B ）10 （C ）2 （D ）4 3．过点A (2, b )和点B (3, –2)的直线的倾斜角为43π，则b 的值是（ ） （A ）–1 （B ）1 （C ）–5 （D ）54．如图，若图中直线l 1, l 2, l 3的斜率分别为k 1, k 2, k 3，则（ ） （A ）k 1<k 2<k 3 （B ）k 3<k 1<k 2 （C ）k 3<k 2<k 1 （D ）k 1<k 3<k 25．已知点M (cosα, sinα), N (cosβ, sinβ)，若直线MN 的倾斜角为θ，0<α<π<β<2π, 则θ等于（ ）（A ）21(π+α+β) （B ）21(α+β) （C ）21(α+β–π) （D ）21(β–α) 6．若直线l 的斜率为k =–ab(ab >0)，则直线l 的倾斜角为（ ）（A ）arctan a b （B ）arctan(–a b ) （C ）π–arctan a b （D ）π+arctan ab【参考答案】1—6、ABABCC. 二．填空题：7．已知三点A (2, –3), B (4, 3), C (5,2m)在同一直线上，则m 的值为 . 8．已知y 轴上的点B 与点A (–3, 1)连线所成直线的倾斜角为120°，则点B 的坐标为 . 9．若α为直线的倾斜角，则sin(4π–α)的取值范围是 10．已知A (–2, 3), B (3, 2)，过点P (0, –2)的直线l 与线段AB 没有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是 .【参考作案】7、 12. 8、（0，-2）. 9、2[1,].2- 10、54(,).23-三．解答题11．求经过两点A (2, –1)和B (a , –2)的直线l 的倾斜角。
数学直线的倾斜角与斜率公式
数学直线的倾斜角与斜率公式数学直线是数学中一个重要的概念，在数学的各个领域都有着广泛的应用。
其中直线的斜率与倾斜角也是数学中最基础的概念之一。
下面我们将介绍直线的斜率与倾斜角的基本概念及公式。
一、直线的斜率公式直线的斜率是指直线在平面直角坐标系中的倾斜程度，用于表示其在平面直角坐标系中的方向。
直线的斜率公式如下：斜率 k = （y2 - y1）/ （x2 - x1）其中 (x1, y1) 和 (x2, y2) 分别为直线上的两个点。
在计算斜率时，需要注意的是需要判断两点横坐标是否相等，因为此时斜率是不存在的。
二、直线的倾斜角公式直线的倾斜角是指直线与平面直角坐标系的 x 轴正方向所成的角度。
直线的倾斜角公式如下：倾斜角θ = atan k其中 atan 表示反正切函数，k 为直线的斜率。
需要注意的是，计算倾斜角时需要注意角度的参考系，一般以平面直角坐标系的 x 轴正方向为参考系。
三、斜率与倾斜角的关系斜率与倾斜角是相互关联的。
当我们知道一条直线的斜率时，可以通过求取反正切函数得到该直线的倾斜角。
相反地，当已知一条直线的倾斜角时，可以通过求取正切函数得到对应的斜率。
斜率k = tan θ倾斜角θ = atan k四、直线的性质在数学中，直线有许多重要的性质，这些性质不仅在理论研究中得到应用，也在实践中得到广泛应用。
其中一些性质如下：1. 相互垂直的两条直线的斜率乘积为 -1。
2. 直线的截距是指该直线与 y 轴的交点坐标，可以用斜率和另一个已知点来求解。
3. 两条直线互相平行的斜率相等。
4. 两条直线的夹角公式可以用两条直线的斜率求解。
5. 直线的点斜式表示法可以用已知点和斜率求解。
综上所述，数学直线的斜率与倾斜角是数学中重要的概念，通过斜率和倾斜角可以描述直线的方向和倾斜程度，同时也可以用于求解直线的其他性质。
通过了解这些概念和公式，可以更好地理解和应用数学的基础知识。
关于求直线斜率和倾斜角的公式
关于求直线斜率和倾斜角的公式直线斜率和倾斜角是数学中的基本概念，它们的解析式可以通过几何图形、三角函数等方法推导而来。
在本文中，我们将详细介绍求解直线斜率和倾斜角的公式，并配合实例进行阐述。
1. 直线斜率的公式及求解方法直线的斜率是指直线在坐标系中的倾斜程度，它表示直线沿水平方向上的运动量与沿竖直方向上的运动量之比。
斜率的计算方法有多种，我们将分别介绍以下两种方法。
方法一：点斜式公式点斜式公式是求解直线斜率最常用的方法之一。
如果已知直线上某一点和它的斜率，则可以通过点斜式公式计算直线方程。
设直线过点（x₁，y₁），斜率为k，则有：y-y₁=k(x-x₁)将其改写为一般式，即y=kx+b其中，b=y₁-kx₁为直线的截距。
例如，已知直线过点（2，3），斜率为2，那么根据点斜式公式，可以写出直线方程为：y-3=2(x-2)化简得：y=2x-1因此，直线的斜率为2，截距为-1。
方法二：斜率公式斜率公式是另一种常用的求解直线斜率的方法。
它的基本原理是计算直线上任意两点的纵坐标差与横坐标差的比值。
设直线上两点的坐标分别为（x₁，y₁）和（x₂，y₂），则有：k=(y₂-y₁)/(x₂-x₁)其中，k为直线的斜率。
例如，已知直线上两点（3，1）和（5，3），则根据斜率公式，直线的斜率为：k=(3-1)/(5-3)=1因此，直线的斜率为1。
需要注意的是，斜率存在的前提是直线存在。
在一些情况下，直线可能不存在斜率，例如水平直线和竖直直线。
此时，我们需要特殊考虑。
2. 直线倾斜角的公式及求解方法直线倾斜角是指直线相对于水平方向或竖直方向的倾斜程度，也称为直线的倾角或坡度。
直线倾斜角的求解方法多样，以下是两种常见的方法。
方法一：利用斜率求解倾斜角的定义是直线与水平线的夹角。
因此，我们可以先利用斜率求出直线与水平线之间的夹角，进而计算直线的倾斜角。
设直线的斜率为k，则有：θ=arctan(k)其中，arctan为反正切函数。
直线的倾斜角和斜率
必修2 第二章直线的倾斜角与斜率1． 直线的倾斜角：①定义：当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准, 叫做直线l 的倾斜角．．．.特别地,当直线l 与x 轴平行或重合时, 规定α= 0°. ②范围：倾斜角α的取值范围是特别：当 时，称直线l 与x 轴垂直2．直线的斜率：一条直线的倾斜角α(α≠90°)的 叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k 表示,即k = .①当直线l 与x 轴平行或重合时, α= , k = ;②当直线l 与x 轴垂直时,α= , k .3. 直线的斜率公式:①已知直线的倾斜角α,则k=②经过两个定点 P 1(x 1,y 1) , P 2(x 2,y 2) 的直线：若x 1≠x 2，则直线P 1P 2 的斜率存在，k=若x 1＝x 2，则直线P 1P 2的斜率③已知直线方程，将方程化成斜截式y=kx+b ，则x 项的系数就是斜率k,也可能无斜率.4. 两条直线平行与垂直的判定①两条直线都有斜率．．．而．且不重合．．．．，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即 ;②两条直线都有斜率．．．．．．．．，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即 .1.已知直线斜率的绝对值等于1,则直线的倾斜角是 .2．过点M (–2, a ), N (a , 4)的直线的斜率为–，则a 等于( )A .–8B .10C .2D .4 3．直线6x +=的斜率是 ，倾斜角是 .4．试求m 的值,使过点()(),1,1,A m B m -的直线与过点()()1,2,5,0P Q -的直线(1)平行(2)垂直215．已知直线1l 过点A （2，-1）和B （3，2），直线2l 的倾斜角是直线1l 倾斜角的2倍，求直线2l 的斜率.6．已知三点A(a ，2)、B(3，7)、C(-2，-9a)在一条直线上，求实数a 的值7．已知ABC ∆的顶点(2,1),(6,3)B C -，其垂心为(3,2)H -，求顶点A 的坐标．8．已知四边形ABCD 的顶点为()(),,6,1,A m n B()()3,3,2,5C D ,求mn 的值,使四边形ABCD 为直角梯形.9．已知M(1, –2), N(2,1)，直线l 过点P(0, -1)，且与线段MN 相交,求直线l 的斜率k 的取值范围.1.在下列叙述中：①一条直线的倾斜角为θ，则它的斜率k= tan θ；②若直线的斜率k=-1，则它倾斜角为135°；③经过A （-1，0），B （-1，3）两点的直线的倾斜角为90°；④直线y=1的倾斜角为45°。
课件2：2.2.1 第1课时 直线的倾斜角与斜率
【新知初探】
1．直线的倾斜角 (1)倾斜角的定义 一般地，给定平面直角坐标系中的一条直线，如果这条直线与 x 轴 相交，将 x 轴绕着它们的交点按 逆时针方向旋转到与直线重合时所 转的最小正角记为 θ，则称 θ 为这条直线的倾斜角． (2)当直线与 x 轴平行或重合时，规定该直线的倾斜角为 0°． (3)倾斜角 α 的范围为 [0°，180°) ．
的应用．(难点) 核心素养．
5．掌握直线的方向向量和法向量．(重点)
【情境引入】
我们知道，经过两点有且只有(确定)一条直线，那么，经过一点 P 的直线 l 的位置能确定吗？如图所示，过一点 P 可以作无数多条直 线 a，b，c，…我们可以看出这些直线都过点 P，但它们的“倾斜 程度”不同，怎样描述这种“倾斜程度”的不同呢？
[跟进训练] 1．已知直线 l1 的倾斜角为 α1＝15°，直线 l1 与 l2 的交点为 A，直线 l1 和 l2 向上的方向之间所成的角为 120°，如图所示，求直线 l2 的倾斜角．
[解] ∵l1 与 l2 向上的方向之间所成的角为 120°，l2 与 x 轴交于点 B， ∴倾斜角∠ABx＝120°＋15°＝135°．
【初试身手】
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)倾斜角是描述直线的倾斜程度的唯一方法． ( ) (2)任何一条直线有且只有一个斜率和它对应． ( ) (3)一个倾斜角 α 不能确定一条直线． ( ) (4)斜率公式与两点的顺序无关． ( ) (5)直线的方向向量与法向量不唯一． ( ) [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√
[跟进训练] 2．已知坐标平面内三点 A(－1,1)，B(1,1)，C(2， 3＋1)． (1)求直线 AB、BC、AC 的斜率和倾斜角； (2)若 D 为△ABC 的边 AB 上一动点，求直线 CD 斜率 k 的变化范围．
直线的倾斜角和斜率
直线的倾斜角和斜率一、直线的倾斜角设直线上两点A(x1,y1)和B(x2,y2)，则直线的倾斜角θ可由以下公式计算：θ = arctan((y2 - y1)/(x2 - x1))其中arctan为反正切函数，可以通过计算器或数学软件来求解。
二、直线的斜率直线的斜率是指直线上任意两点之间的纵坐标的变化量与横坐标的变化量之比。
设直线上两点A(x1,y1)和B(x2,y2)，则直线的斜率k可由以下公式计算：k=(y2-y1)/(x2-x1)直线的斜率可以表示为一个有理数或无理数。
当斜率为一个有理数时，可以表示为一个分数。
当斜率为无理数时，可以通过计算器或数学软件来求解其近似值。
在计算斜率时，需要注意以下几点：1.当直线为垂直于x轴的直线时，斜率不存在。
此时直线的倾斜角为90°。
2.当直线为水平于x轴的直线时，斜率为0。
此时直线的倾斜角为0°。
3.当直线为x轴时，斜率不存在。
此时直线的倾斜角为180°。
三、求直线方程知道直线的倾斜角和斜率后，我们可以求直线的方程。
1.已知倾斜角θ，直线上一点P(x1,y1)，可以通过以下公式计算斜率k：k = tan(θ)2.已知斜率k，直线上一点P(x1,y1)，可以通过以下公式计算倾斜角θ：θ = arctan(k)3.已知斜率k和直线上一点P(x1,y1)，直线的方程可以通过以下公式获得：y-y1=k(x-x1)或者y=k(x-x1)+y1其中y1和x1为直线上已知的一点的坐标。
需要注意的是，当直线为垂直于x轴的直线时，直线的方程可以表示为x=c的形式，其中c为一个常数。
四、例题分析1.已知直线过点A(1,2)和点B(3,4)，求直线的倾斜角和斜率。
根据公式，直线的倾斜角可以通过以下公式计算：θ = arctan((4-2)/(3-1)) = arctan(2/2) = arctan(1) ≈ 45°直线的斜率可以通过以下公式计算：k=(4-2)/(3-1)=2/2=1所以，直线的倾斜角为45°，斜率为12.已知直线的倾斜角为60°，过点P(2,3)，求直线的斜率和方程。
倾斜角与斜率
B.1
C.－1
D.－2
2－3 由题意知，tan 45°＝1－m，得 m＝2.
1234
3.已知A(－1，－2)，B(2,1)，C(x,2)三点共线，则x＝___3__，直线AB的倾 π
斜角为__4___.
因为A(－1，－2)，B(2,1)，C(x,2)三点共线， 1＋2 2－1
所以 kAB＝kBC，即2＋1＝x－2， 解得 x＝3，设直线 AB 的倾斜角为 θ，由 tan θ＝1 得 θ＝π4， 所以直线 AB 的倾斜角为π4.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
3.已知点 A( 3，1)，B(3 3，3)，则直线 AB 的倾斜角 θ 是
A.60°
√B.30°
C.120°
D.150°
kAB＝3
3－1 3－
＝ 3
33，
∴tan θ＝ 33且 0°≤θ＜180°，
∴θ＝30°.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
1234
4.经过A(m,3)，B(1,2)两点的直线的倾斜角α的取值范围是__0_°<__α_≤__9_0_°__. (其中m≥1)
当m＝1时，倾斜角α＝90°； 3－2
当 m>1 时，tan α＝m－1>0， ∴0°<α<90°. 故0°<α≤90°.
1234
五
课时对点练
基础巩固
1.下面选项中，两点确定的直线的斜率不存在的是 A.(4,2)与(－4,1) B.(0,3)与(3,0) C.(3，－1)与(2，－1)
反思感悟
倾斜角和斜率的应用 (1)倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度，二者相互联系. (2)涉及直线与线段有交点问题常通过数形结合利用公式求解.
直线的倾斜角和斜率-2
Y
(x2,y1)
M2 O
Q
.
p1(x1,y1) p
X
tg tgPP 1P 2 tgP 2P 1Q P2Q y2 y1 y2 y1 P x2 x1 x2 x1 1Q y2 y1 且对 P2 P 方向上的情况，也有 tg 1 x2 x1
即
tg 1
0 180
135
即直线的斜率为-1，倾斜角为 135
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例2 已知直线 l1 和 l 2的斜率分别是 3 和 们的倾斜角及确定两条直线的位置关系。
解:
3 ，求它 3
tg1 K1 3
p (x,y)
.
Q
O
k tg
X
2
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Y
p
O
.
X （1）
Y
K>0 O
p
. .
K<0
X
（2）
Y
p
.
K不存在
Y
K=0
90
X
o
p 0o
X
O
O
（3）
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故经过点 P 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y2 ) 两点的直线 y2 y1 的斜率公式为：
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M1
（乙）
K
x2 x1
例1 求经过点A（-2，0），B（-5，3）两点的直线的斜率 和倾斜角。
解：
y2 y1 30 K 1 x2 x1 5 2
直线的倾斜角和斜率(2)
醒目。远远看去。双夜神塔的底部，二十根超大的美仙冰门柱威猛挺拔……亮灰色的墙裙上，海蓝色的美仙冰雕塑闪着病态的奇光。双夜神塔的墙体，全部用亮白色的
美仙冰和亮白色的美仙冰镶嵌。而神秘中带着妖艳的窗体则采用了大胆的紫红色鬼光玻璃。双夜神塔顶部是一个巨大的，暗橙色的水晶体。那是用几乎透明的幻影玉和
灵光石，经过特殊工艺镶嵌而成。整个双夜神塔给人一种又童话般的深沉又奇妙而俊傲，等到夜幕降临，这里又会出现另一番迷离异样的光彩……一条飘动痴呆但又沧
直线的倾斜角和斜率
(二)
主 讲: 郑 飘 伶
一、复习旧知，以旧悟新：
一、复习旧知，以旧悟新： 1. 怎样表示直线的倾斜程度？
一、复习旧知，以旧悟新： 1. 怎样表示直线的倾斜程度？ (1) 用倾斜角表示;
论实践考场的实习场地
泥鸡窝遗址就在前面。天似穹庐、瑰丽多彩的泥鸡窝旷野就像一尊神奇的雕塑。极目环视，在泥鸡窝旷野的前边，突兀着奇奇怪怪的非
香渐渐远去，只留下一丝淡淡仙境的芬芳……不一会儿，泥鸡窝旷野边又舞来飘飘的钟声，声音是那样的美妙，很久很久都在耳边缭绕……经过泥鸡窝旷野后，身上就
有一种温暖的，非常舒服的感觉。整个泥鸡窝旷野让人感到一种无法形容的、莫名其妙的娇艳和自在……前面高耸怪异、奇光闪烁的浪夜神塔就是表演巨校硕士级的创
意表演场，整个浪夜神塔由七座菊花形的青兰花色大型建筑和一座高达八百多层的，浓黑色的六球云朵形的主厦构成。在葱绿色的天空和雪白色的云朵映衬下显得格外
而光顾那里。在泥鸡窝旷野的右方，遮映着深浅莫测的极像一片泳圈模样的白象牙色的五彩缤纷的仙湖，举目四看，那里的景象好似高贵的柳枝，那里的风光好有趣，
只是路有些不好走。在泥鸡窝旷野上空，隐现着深浅莫测的嫩黄色仙云，那模样好像漂浮着很多锦旗，纵目远眺，天空的景象真像高贵的闪电，样子十分的粗犷。泥鸡
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例6 已知A(5,-1),B(1,1),C(2,3)三点，
试判断三角形ABC的形状.
解：
y
AB边所在直线的斜率kAB
BC边所在直线的斜率kBC
1,
2
2,
kABkBC 1
C AB BC,即ABC 900
ABC是直角三角形.
B
x 还有别的方法吗?
O
A 用向量的方法
a b x1x2 y1 y2 0
y
L1 L2
o
x
前提:两条直线不重合 L1// L2← → 直线倾斜角相等
L1// L2 ← k1=k2
或k1，k2都不存在
两条直线平行，它们的斜率相等吗？
例题讲解
例1、已知A（2，3），B（-4，0）P（-3，1）Q （-1，2），试判断直线BA与PQ的位置关系，并 证明你的结论。
解:
kBA
30 2 (4)
练习
试确定m的值,使过点A（m，1），B（-1，m）的直线
与过点P（1，2），Q（-5，0）的直线
(1)平行 (2)垂直
kAB
m1 1m
kPQ
1 3
(1)m 1 2
(2)m 2
练习 已知A(1,-1),B(2,2),C(3,0)三点
求点D的坐标,使直线CD⊥AB,且CB//AD.
8
C
由图可知：
8
k AB
8 3
, 而k BC
13 5
13 5
所以，中间的线并不
5
在同一条直线上，而是
13
B
有重合的地方，这正是
减少的那1个面积！
8
A
8
补充练习:
1.若A3, 2、B 6,1、C a, 4 三点共线，则a 的值等于多少?
－3
2.已知平行四边形中三点坐标分别为3,-2、5, 2、 -1,4，
求另外一点的坐标？
D C
kAB kCD , kBC kDA
A
O
x
B
AB// CD, BC// DA
四边形ABCD是平行四边形.
设两直线 l1与l2 的倾斜角分别是 1与2 (1,2均 900 ) 如图
y
当L1// L2时，
有k1=k2。
那么L1⊥ L2时，
1
2
k1与k2满足什么关 系？
L1⊥ L2时，k1与k2满足什么关系？
吗?
(×)
若两条直线中,一条没有斜率,另一条的斜率为 零,它们的位置关系也是垂直.
例5. 已知A(-6,0),B(3,6),P(0,3),Q(6,-6), 试判断直线AB与PQ的位置关系.
解：
直线AB的斜率kAB
2, 3
直线PQ的斜率kPQ
3. 2
k AB k PQ
2 3
3 2
1,
直线AB PQ.
1 2
y
A Q
kPQ
2 1 1 (3)
1 2
B
P
O
x
kBA kPQ BA∥ PQ
2.已知四边形ABCD的四个顶点分别为
A(0,0),B（2,-1),C（4，2），D(2,3),试
判断四边形ABCD的形状,并给出证明。
解 : 如图,
3
kAB
1 2
, kCD
3
1 2y
kBC 2 , kDA 2
两条直线平行与垂直的判定
复习
倾斜角
斜率
经过P1 (x1 , y1 ) , P2 (x2 , y 2 ) 的直线斜率公式
k
y2 x2
y1 x1
(x1
x2 )
Байду номын сангаас
13
5
8
5
8
5
8
图1
8
8 5
5
8 13
13 5
8
8 图2
平面上两条直线位置关系 y
o x
有平行,相交两种
如果两条直线互相平行，它们的倾斜 角满足什么关系？它们的斜率呢？
知识回顾 Knowledge Review
祝您成功！
y
l2
l1
由三角形任一外角等于其 不相邻两内角之和，即:
O
α1
α2
x
2 900 1
tan2 tan 900 1
1
tan 1
前提条件：两条直线都有斜率，并且都 不等于零.
L1⊥ L2 k1k2= -1
思考
(1)若两条直线的斜率之积为-1, 这两条直线一定 垂直吗?
(√)
(2)若两条直线垂直, 则它们的斜率之积一定为-1