核心素养回归教材(三) 平行四边形的性质的计算与证明
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由△ABO 与△AOD 等底同高，可知△ABO 与△AOD 的面积相等． 同理，△ABO 与△BOC 的面积相等，△AOD 与△COD 的面积相等． 从而易知，AC，BD 将▱ABCD 分成的四个三角形的面积相等，此时点 E 与点 B 重 合，点 F 与点 D 重合．
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核心素养回归教材(三) 平行四边形的性质的计算与证明
(2)解：∵AB＝BE，∠BEA＝60°， ∴△ABE 是等边三角形， ∴AE＝AB＝4. ∵BF⊥AE， ∴AF＝EF＝2， ∴BF＝ AB2－AF2＝ 42－22＝2 3. ∵AD∥BC， ∴∠D＝∠ECF，∠DAF＝∠E.
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∴△BOF≌△DOE(ASA)， ∴OF＝OE. ∵EF⊥BD 于点 O， ∴DE＝DF.
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如图 5，在▱ABCD 中，O 是对角线 AC 的中点，过点 O 作直线 EF，分 别交 BC，AD 于点 E，F. (1)求证：BE＝DF； (2)若 AC，EF 将▱ABCD 分成的四部分的面积相等，指出点 E 的位置，并说明理 由．
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(2)解：与△ABC 面积相等的图形是： ①△BCD 与△ABC 是同底等高，面积相等； ②△ACD，△ABD 与△ABC 是等底等高，面积相等； ③S 四边形 AECF＝AE·h＝12AB·h＝S△ABC(h 是点 C 到 AB 边的距离)． 综上所述，与△ABC 面积相等的图形有△BCD，△ACD，△ABD，四边形 AECF.
图1
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证明：在▱ABCD 中，AC，BD 相交于点 O， ∴OA＝OC，AB∥DC， ∴∠EAO＝∠FCO. 又∵∠AOE＝∠COF， ∴△AOE≌△COF(ASA)， ∴OE＝OF.
【思想方法】 平行四边形对边平行、对边相等、对角相等、对角线互相平分的 性质可以作为判定平行四边形中三角形全等的条件．
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如图 8，将▱ABCD 的边 DC 延长到点 E，使 CE＝DC，连接 AE，交 BC 于点 F.
(1)求证：△ABF≌△ECF； (2)若∠AFC＝2∠ABC，连接 AC，BE.求证：AE＝AD.
图8
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核心素养回归教材(三) 平行四边形的性质的计算与证明 (2)解：当点 E 与点 B 重合(点 F 与点 D 重合)时，AC，EF 将▱ABCD 分成的四部 分的面积相等． 理由：如答图，∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD.
变形 4 答图
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(2)∵△ABF≌△ECF， ∴AF＝EF，BF＝CF. ∵∠AFC＝2∠ABC，∠AFC＝∠ABC＋∠BAF， ∴∠ABC＝∠BAF， ∴AF＝BF，∴AE＝BC. 又∵四边形 ABCD 为平行四边形， ∴AD＝BC，∴AE＝AD.
核心素养回归教材(三) 平行四边形的性质的计算与证明
在△ADF 与△ECF 中， ∠ ∠DDA＝F∠＝E∠CFE， ， AF＝EF， ∴△ADF≌△ECF(AAS)． ∴S△ADF＝S△ECF，
∴S▱ABCD＝S△ABE＝12AE·BF＝12×4×2 3＝4 3.
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(1)证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD， ∴∠AEB＝∠DAE. ∵AE 是∠BAD 的平分线， ∴∠BAE＝∠DAE， ∴∠BAE＝∠AEB， ∴AB＝BE，∴BE＝CD.
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在△ADE 和△CBF 中，∠∠AADEDE＝＝∠∠CCBFFB，， AD＝BC，
∴△ADE≌△CBF(AAS)， ∴(三) 平行四边形的性质的计算与证明
(2)解：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AO＝CO. ∵∠DOC＝120°， ∴∠AOE＝60°， ∴∠OAE＝30°， ∴AO＝2OE， ∴OC＝2OE.
如图 6，▱ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，点 E，F 在 AC 上，点 G， H 在 BD 上，且 AF＝CE，BH＝DG.求证：GF∥HE.
图6
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核心素养回归教材(三) 平行四边形的性质的计算与证明 证明：∵四边形 ABCD 为平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD. 又∵AF＝CE， ∴AF－OA＝CE－OC，即 OF＝OE. 同理得 OG＝OH. 又∵∠EOH＝∠FOG， ∴△EOH≌△FOG(SAS)， ∴∠OEH＝∠OFG， ∴GF∥HE.
∠E＝∠F， 在△AOE 与△COF 中，∠EAO＝∠FCO，
AO＝CO， ∴△AOE≌△COF(AAS)， ∴OE＝OF.
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[2019 春·道外区期末]平行四边形 ABCD 中，AE⊥BD 于点 E，CF⊥BD 于点 F. (1)如图 3(1)，求证：ED＝BF； (2)如图 3(2)，连接 AC，设 AC，BD 交于点 O，若∠DOC＝120°，在不添加任何 辅助线的情况下，请直接写出图 3(2)中的所有长度是 OE 长度 2 倍的线段．
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如图 2，已知▱ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，过点 O 任作一直线 分别交 AD，CB 的延长线于点 E，F.求证：OE＝OF.
图2
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证明：在▱ABCD 中， AO＝CO，AD∥BC， ∴∠E＝∠F，∠EAO＝∠FCO.
证明：(1)∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∴∠ABF＝∠ECF. 又∵EC＝CD，∴AB＝EC.
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在△ABF 与△ECF 中， ∠ ∠AABFFB＝ ＝∠ ∠EECFFC， ， AB＝EC， ∴△ABF≌△ECF(AAS)．
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(1)证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD，AD＝BC，AB＝CD， ∴∠ADE＝∠CBF. ∵AE⊥BD，CF⊥BD， ∴∠AED＝∠CFB＝90°.
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∵OD＝OB，DE＝BF， ∴OE＝OF， ∴EF＝2OE.
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如图 4，BD 为▱ABCD 的对角线，O 为 BD 的中点，EF⊥BD 于点 O， 并与 AD，BC 分别交于点 E，F.求证：DE＝DF.
图5
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(1)证明：在▱ABCD 中，∵AD∥BC， ∴∠OAF＝∠OCE， ∠OFA＝∠OEC. ∵O 是对角线 AC 的中点， ∴OA＝OC， ∴△AOF≌△COE(AAS)，∴AF＝CE. 又∵AD＝BC， ∴AD－AF＝BC－CE，即 DF＝BE.
图7
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(1)证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴∠DAC＝∠BCA，AD＝BC，∠D＝∠B. ∵CE 平分∠ACB，AF 平分∠DAC， ∴∠DAC＝2∠DAF，∠ACB＝2∠ECB. ∴∠DAF＝∠BCE. ∴△DAF≌△BCE(ASA)． ∴BE＝DF.
图4
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证明：在▱ABCD 中，AD∥BC， ∴∠OBF＝∠ODE. ∵O 为 BD 的中点， ∴OB＝OD. 在△BOF 与△DOE 中， ∠OBF＝∠ODE， OB＝OD， ∠BOF＝∠DOE，
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[2019·松北区三模]如图 7，在▱ABCD 中，连接 AC，∠ACB 的平分线 CE 交 AB 于点 E，∠DAC 的平分线 AF 交 CD 于点 F. (1)如图 7(1)，求证：BE＝DF； (2)如图 7(2)，连接 BD 交 AC 于点 O，若 BC＝2OC，在不添加任何辅助线的情况 下，请直接写出与△ABC 面积相等的三角形或四边形(不包含△ABC)．
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数学八年级下册[RJ]
第十八章 核心素养回归教材(三)
核心素养回归教材(三) 平行四边形的性质的计算与证明
第十八章 平行四边形
核心素养回归教材(三) 平行四边形的性质的计算与证明
(教材 P44 练习第 2 题) 如图 1，▱ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，EF 过点 O 且与 AB，CD 分别相 交于点 E，F.求证：OE＝OF.
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核心素养回归教材(三) 平行四边形的性质的计算与证明 如图 9，四边形 ABCD 为平行四边形，∠BAD 的平分线 AE 交 CD 于点
F，交 BC 的延长线于点 E. (1)求证：BE＝CD； (2)连接 BF，若 BF⊥AE，∠BEA＝60°，AB＝4，求▱ABCD 的面积．
图9
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(2)解：∵AB＝BE，∠BEA＝60°， ∴△ABE 是等边三角形， ∴AE＝AB＝4. ∵BF⊥AE， ∴AF＝EF＝2， ∴BF＝ AB2－AF2＝ 42－22＝2 3. ∵AD∥BC， ∴∠D＝∠ECF，∠DAF＝∠E.
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∴△BOF≌△DOE(ASA)， ∴OF＝OE. ∵EF⊥BD 于点 O， ∴DE＝DF.
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如图 5，在▱ABCD 中，O 是对角线 AC 的中点，过点 O 作直线 EF，分 别交 BC，AD 于点 E，F. (1)求证：BE＝DF； (2)若 AC，EF 将▱ABCD 分成的四部分的面积相等，指出点 E 的位置，并说明理 由．
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(2)解：与△ABC 面积相等的图形是： ①△BCD 与△ABC 是同底等高，面积相等； ②△ACD，△ABD 与△ABC 是等底等高，面积相等； ③S 四边形 AECF＝AE·h＝12AB·h＝S△ABC(h 是点 C 到 AB 边的距离)． 综上所述，与△ABC 面积相等的图形有△BCD，△ACD，△ABD，四边形 AECF.
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证明：在▱ABCD 中，AC，BD 相交于点 O， ∴OA＝OC，AB∥DC， ∴∠EAO＝∠FCO. 又∵∠AOE＝∠COF， ∴△AOE≌△COF(ASA)， ∴OE＝OF.
【思想方法】 平行四边形对边平行、对边相等、对角相等、对角线互相平分的 性质可以作为判定平行四边形中三角形全等的条件．
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如图 8，将▱ABCD 的边 DC 延长到点 E，使 CE＝DC，连接 AE，交 BC 于点 F.
(1)求证：△ABF≌△ECF； (2)若∠AFC＝2∠ABC，连接 AC，BE.求证：AE＝AD.
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核心素养回归教材(三) 平行四边形的性质的计算与证明 (2)解：当点 E 与点 B 重合(点 F 与点 D 重合)时，AC，EF 将▱ABCD 分成的四部 分的面积相等． 理由：如答图，∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD.
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(2)∵△ABF≌△ECF， ∴AF＝EF，BF＝CF. ∵∠AFC＝2∠ABC，∠AFC＝∠ABC＋∠BAF， ∴∠ABC＝∠BAF， ∴AF＝BF，∴AE＝BC. 又∵四边形 ABCD 为平行四边形， ∴AD＝BC，∴AE＝AD.
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在△ADF 与△ECF 中， ∠ ∠DDA＝F∠＝E∠CFE， ， AF＝EF， ∴△ADF≌△ECF(AAS)． ∴S△ADF＝S△ECF，
∴S▱ABCD＝S△ABE＝12AE·BF＝12×4×2 3＝4 3.
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(1)证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD， ∴∠AEB＝∠DAE. ∵AE 是∠BAD 的平分线， ∴∠BAE＝∠DAE， ∴∠BAE＝∠AEB， ∴AB＝BE，∴BE＝CD.
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在△ADE 和△CBF 中，∠∠AADEDE＝＝∠∠CCBFFB，， AD＝BC，
∴△ADE≌△CBF(AAS)， ∴(三) 平行四边形的性质的计算与证明
(2)解：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AO＝CO. ∵∠DOC＝120°， ∴∠AOE＝60°， ∴∠OAE＝30°， ∴AO＝2OE， ∴OC＝2OE.
如图 6，▱ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，点 E，F 在 AC 上，点 G， H 在 BD 上，且 AF＝CE，BH＝DG.求证：GF∥HE.
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核心素养回归教材(三) 平行四边形的性质的计算与证明 证明：∵四边形 ABCD 为平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD. 又∵AF＝CE， ∴AF－OA＝CE－OC，即 OF＝OE. 同理得 OG＝OH. 又∵∠EOH＝∠FOG， ∴△EOH≌△FOG(SAS)， ∴∠OEH＝∠OFG， ∴GF∥HE.
∠E＝∠F， 在△AOE 与△COF 中，∠EAO＝∠FCO，
AO＝CO， ∴△AOE≌△COF(AAS)， ∴OE＝OF.
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[2019 春·道外区期末]平行四边形 ABCD 中，AE⊥BD 于点 E，CF⊥BD 于点 F. (1)如图 3(1)，求证：ED＝BF； (2)如图 3(2)，连接 AC，设 AC，BD 交于点 O，若∠DOC＝120°，在不添加任何 辅助线的情况下，请直接写出图 3(2)中的所有长度是 OE 长度 2 倍的线段．
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如图 2，已知▱ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，过点 O 任作一直线 分别交 AD，CB 的延长线于点 E，F.求证：OE＝OF.
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证明：在▱ABCD 中， AO＝CO，AD∥BC， ∴∠E＝∠F，∠EAO＝∠FCO.
证明：(1)∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∴∠ABF＝∠ECF. 又∵EC＝CD，∴AB＝EC.
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在△ABF 与△ECF 中， ∠ ∠AABFFB＝ ＝∠ ∠EECFFC， ， AB＝EC， ∴△ABF≌△ECF(AAS)．
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(1)证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD，AD＝BC，AB＝CD， ∴∠ADE＝∠CBF. ∵AE⊥BD，CF⊥BD， ∴∠AED＝∠CFB＝90°.
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∵OD＝OB，DE＝BF， ∴OE＝OF， ∴EF＝2OE.
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如图 4，BD 为▱ABCD 的对角线，O 为 BD 的中点，EF⊥BD 于点 O， 并与 AD，BC 分别交于点 E，F.求证：DE＝DF.
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(1)证明：在▱ABCD 中，∵AD∥BC， ∴∠OAF＝∠OCE， ∠OFA＝∠OEC. ∵O 是对角线 AC 的中点， ∴OA＝OC， ∴△AOF≌△COE(AAS)，∴AF＝CE. 又∵AD＝BC， ∴AD－AF＝BC－CE，即 DF＝BE.
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(1)证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴∠DAC＝∠BCA，AD＝BC，∠D＝∠B. ∵CE 平分∠ACB，AF 平分∠DAC， ∴∠DAC＝2∠DAF，∠ACB＝2∠ECB. ∴∠DAF＝∠BCE. ∴△DAF≌△BCE(ASA)． ∴BE＝DF.
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证明：在▱ABCD 中，AD∥BC， ∴∠OBF＝∠ODE. ∵O 为 BD 的中点， ∴OB＝OD. 在△BOF 与△DOE 中， ∠OBF＝∠ODE， OB＝OD， ∠BOF＝∠DOE，
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[2019·松北区三模]如图 7，在▱ABCD 中，连接 AC，∠ACB 的平分线 CE 交 AB 于点 E，∠DAC 的平分线 AF 交 CD 于点 F. (1)如图 7(1)，求证：BE＝DF； (2)如图 7(2)，连接 BD 交 AC 于点 O，若 BC＝2OC，在不添加任何辅助线的情况 下，请直接写出与△ABC 面积相等的三角形或四边形(不包含△ABC)．
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(教材 P44 练习第 2 题) 如图 1，▱ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，EF 过点 O 且与 AB，CD 分别相 交于点 E，F.求证：OE＝OF.
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F，交 BC 的延长线于点 E. (1)求证：BE＝CD； (2)连接 BF，若 BF⊥AE，∠BEA＝60°，AB＝4，求▱ABCD 的面积．
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