倍角公式和半角公式-拔高难度-讲义

倍⾓公式和半⾓公式-拔⾼难度-讲义倍⾓公式和半⾓公式
知识讲解
⼀、倍⾓公式
sin 22sin cos ααα=；
2222cos 2cos sin 12sin 2cos 1ααααα=-=-=-
2
2tan tan 21tan α
αα
=
- 3
sin 33sin 4sin ααα=-；3
cos34cos 3cos ααα=-；32
3tan tan tan 313tan αα
αα
-=- ⼆、半⾓公式
1cos sin
2
2α
α-=±
；1cos cos 22αα
+=±； 1cos 1cos sin tan
2
1cos sin 1cos α
ααα
ααα
--=±
==
++ 三、万能公式
2
2tan
2sin 1tan 2
α
αα
+；22
1tan 2cos 1tan 2
ααα
-=
+；2
2tan
2tan 1tan 2
α
αα
=-
四、公式的推导
sin 2sin()sin cos cos sin 2sin cos ααααααααα=+=+=
22cos2cos()cos cos sin sin cos sin ααααααααα=+=?-?=- 再利⽤22sin cos 1αα+=，可得：2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=- ()2tan tan 2tan tan 2tan 1tan tan 1tan ααα
αααααα
+=+=
=-?-
sin 2tan
2
cos
2
αα
α
===sin 2sin
sin
1cos 22
2tan
2
sin cos 2sin cos 2
22
α
αα
ααα-=== sin 2cos
sin
sin 22
2tan
2
1cos cos
2cos cos
2
22
αα
α
α
αα
ααα===+ 【说明】这⾥没有考虑
cos
sin
2
2
α
α
==，实际处理题⽬的时候需要把等于０的情况分出
来单独讨论⼀下．
五、综合运⽤
1.倍⾓、半⾓、和差化积、积化和差等公式的运⽤
1）并项功能： 2221sin 2sin cos 2sin cos (sin cos )ααααααα±=+±=± 2）升次功能： 2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=- 3）降次功能： 2
21cos 21cos 2cos ,sin 22
αα
αα+-=
= 2.三⾓变换中常⽤的数学思想⽅法技巧有：
1）⾓的变换：和、差、倍、半、互余、互补的相对性，有效沟通条件与结论中⾓的差异，⽐如：3015453060452? =-=-=
ααββαββ=-+=+-=?
()()()()ππ
2()()44
ααβαβαββααα=++-=+--=+--
()()222βαβαβαααβα?
-=-+=-=--
π
π
π
π
π
π
244362
αααααα
+-=++-=++-= ? ? ? ? ???????????
π3ππ2ππ5ππ443366αααααα++-=++-=++-= ? ? ? ? ? ?
2）函数名称的变换：三⾓变形中，常常需要变函数名称为同名函数，在三⾓函数中正余弦是基础，通常化切为弦，变异名为同名；有时可以使⽤万能公式将所有函数名化为正切； 3）常数代换：在三⾓函数运算、求值、证明中，有时需要将常数转化为三⾓函数值，
例如：2222
ππππ1sin cos sec tan sin
tan 2sin 2464
αααα=+=-===； 4）幂的变换：降幂是三⾓变换时常⽤的⽅法常⽤的降幂公式有：21cos2cos 2αα+=
，21cos2sin 2
α
α-=但降幂并⾮绝对，有时也需要对某些式⼦进⾏升幂处理，⽐如221cos22cos ,1cos22sin αααα+=-=；
21sin 2(sin cos )ααα±=±；
5）公式变形：三⾓公式是变换的依据，应熟练掌握三⾓公式的顺⽤，逆⽤及变形应⽤，例如：tan tan tan()(1tan tan
)αβαβαβ±=±??m ； 6）辅助⾓公式的运⽤：在求值问题中，要注意辅助⾓公式
() sin cos y a b ααα?=++的应⽤，其中tan b a
=，?
所在的象限由,a b 的符号确定．
⼀．填空题（共1⼩题）
1．（2012?北京模拟）如果函数y=cos2ωx﹣sin2ωx的最⼩正周期是4π，那么正数ω的值是．【解答】解：因为函数y=cos2ωx﹣sin2ωx=cos2ωx，它的最⼩正周期是4π，所以，解得ω=．故答案为：
⼆．解答题（共12⼩题）
2．（2018春?晋江市校级期中）已知向量、是两个相互垂直的单位向量，向量=2﹣，=﹣+2．（1）求以及向量在向量⽅向上的投影；
（2）设向量与的夹⾓为α，求tan2α；
（3）若t∈R，求|﹣t|的最⼩值．
【解答】解：（1）分别以、的⽅向为x，y轴的正⽅向，建⽴平⾯直⾓坐标系，
则=（2，﹣1），=（﹣1，2），
所以?=﹣2﹣2=﹣4，||=||=，
故向量在向量⽅向上的投影
为||cos＜，＞==﹣；
（2）cosα==﹣，
由α∈[0，π]，可得sinα==，
则tanα==﹣，
tan2α===﹣；
（3）由（1）﹣t=（2+t，﹣1﹣2t），
|﹣t|2=（2+t）2+（﹣1﹣2t）2=5t2+8t+5
=5（t+）2+，
当t=﹣时，|﹣t|取得最⼩值．
3．（2018?辽宁模拟）已知函数f（x）=2cos2x+sin2x．
（Ⅰ）求f（）的值；
（Ⅱ）求f（x）的最⼤值和最⼩值．
【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=2cos2x+sin2x，
f（）=2cos+sin2==﹣﹣﹣﹣（5分）
（Ⅱ）f（x）
=2cos2x+sin2x=2cos2x+=，所以f（x）的最⼤值为2，最⼩值为﹣1﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）4．（2017春?殷都区校级期末）已知函数f（x）=sin2（x+）﹣cos2x﹣
（x∈R）．
（1）求函数f（x）最⼩值和最⼩正周期；
（2）若A为锐⾓，且向量=（1，5）与向量=（1，f（﹣A））垂直，求cos2A．
﹣
=cos2x﹣1=，
∴函数f（x）最⼩值是﹣2，最⼩正周期T==π；
（2）∵向量=（1，5）与向量=（1，f（﹣A））垂直，
∴1+5f（﹣A）=0，则1+5[]=0，
∴=＞0，
∵A为锐⾓，∴，则
，
∴==，
则cos2A=cos[（）﹣]=+
=×+=．
5．（2017?青⽺区校级模拟）设a，b，c分别是△ABC三个内⾓∠A，∠B，∠C 的对边，若向量，，且．（1）求tanA?tanB的值；
（2）求的最⼤值．
【解答】解：（1）由得，
，
即4cos（A﹣B）=5cos（A+B），解得，．
（2）因为=，⼜
=
，
所以，tan（A+B）有最⼩值，当且仅当时，取得最⼩值．
⼜tanC=﹣tan（A+B），则tanC有最⼤值，故
的最⼤值为．
6．（2015秋?硚⼝区期末）当α≠（2k+1）π，k∈Z时，等式恒成⽴，我们把这个恒等式叫“半⾓公式”．（1）证明上述半⾓公式；
（2）若α，β都是锐⾓，，试求的值．
【解答】解：（1）右边==左边，
（2）∵α，β都是锐⾓，?，
∵0＜α+β＜π?，
∴sinβ=sin（α+β﹣α）=sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）
sinα=，
∴，
∴=．
【解答】解：∵0＜β＜＜α＜，∴＜2α＜π，﹣＜﹣β＜0，∴＜2α﹣β＜π．
∵cos（2α﹣β）=﹣，∴sin（2α﹣β）=．
同理可得：﹣＜α﹣2β＜．⼜∵sin（α﹣2β）=，∴cos（α﹣2β）=．∴cos（α+β）=cos[（2α﹣β）﹣（α﹣2β）] =cos（2α﹣β）cos（α﹣2β）+sin（2α﹣β）sin（α﹣2β）
=（﹣）×+×=，
∵＜α+β＜，
∴α+β=，∴sin=．
8．（2011春?天河区校级期中）已知sinα=，sin（α+β）=，α与β均为锐⾓，求cos．（cos）
【解答】解：∵0＜α＜，∴cosα=．…（2分）
⼜∵0＜α＜，0＜β＜，
∴0＜α+β＜π．…（4分）
若0＜α+β＜，∵sin（α+β）＜sinα，∴α+β＜α不可能．
故＜α+β＜π．
∴cos（α+β）=﹣．…（6分）
∴cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα
=﹣??，…（10分）
∵0＜β＜，
∴0＜＜．
故cos．…（13分）
9．已知，求证：y=x2﹣4x+5．
【解答】证明：由x=2+tan得x﹣2=tan=，
故（x﹣2）
2===
=﹣1
⼜
故（x﹣2）2=y﹣1
整理得y=x2﹣4x+5
证毕
10．（2017秋?烟台期中）设△ABC的内⾓A，B，C的对应边分别为a，b，c，若
（1）求a：b：c；
（2）若△ABC外接圆的半径为14，求△ABC的⾯积．
【解答】解：（1）由m，n共线，得，，
所以：2b=a+c
设a=b﹣d，c=b+d，由已知，，即
，
∴，
从⽽，
∴a：b：c=7：5：3．
（2）由正弦定理，得：，
由（1）设即，
所以：
所以：，
所以：△ABC的⾯积为．
11．（2016秋?黄陵县校级⽉考）已知向量
与为共线向量，且α∈[﹣π，0]．
（Ⅰ）求sinα+cosα的值
（Ⅱ）求的值．
【解答】解：（Ⅰ）∵与为共线向量，
∴（cosα﹣）?1﹣（﹣1）?sinα=0，
∴sinα+cosα=．
（Ⅱ）∵1+sin2α=（sinα+cosα）2=，
∴sin2α=﹣，
∴（sinα﹣cosα）2=（sinα+cosα）2﹣4sinαcosα=﹣2×（﹣）=．⼜∵α∈[﹣π，0]，sinα?cosα＜0，
∴α∈[﹣，0]，
∴sinα﹣cosα＜0，
∴sinα﹣cosα=﹣．
∴=．
12．（2016春?长治校级期中）已知函数f（x）=sin（3x+）．若α是第⼆象限的
⾓，f（）=cos（α+）cos2α，求cosα﹣sinα的值．
∴f（）=sin（α+），
⼜f（）=cos（α+）cos2α=cos（α+）sin（2α+），
∴cos（α+）×2cos（α+）sin（α+）=sin（α+），
依题意知sin（α+）=0或=；①
∵α是第⼆象限的⾓，
∴cosα＜0，sinα＞0，
∴cosα﹣sinα=cos（α+）＜0，②
由①②得：cos（α+）=﹣或﹣1，
∴cosα﹣sinα=×（﹣）=﹣或﹣．
13．（2015秋?临河区校级期末）已知，．（1）求cos2α的值；（2）求的值．
【解答】解：（1）∵，．
cos2α=2cos2α﹣1=﹣1=﹣．
（2）∵，．
∴sinα==．
∴
=sinα+cosα==
．。