大学课程《微积分》PPT课件：微积分6章5节

例12 求函数u xyz 在附加条件 1/ x 1/ y 1/ z 1/ a(x 0, y 0, z 0, a 0)
(1)
fx (x0, y0) 0, fy (x0, y0) 0.
(6.1)
与一元函数的情形类似，对于多元函数，凡是能使一阶偏导数同时为零的 点称为函数的驻点.
定理2 (充分条件) 设函数 z f (x, y) 在点 (x0, y0) 的某邻域内有直到二阶的 连续偏导数，又 fx (x0, y0 ) 0, f y (x0, y0 ) 0. 令 fxx (x0, y0 ) A, fxy (x0, y0 ) B, f yy (x0, y0 ) C.
取 x 4 ，则 y 37.5 4 300 450 ，即是2005年得估计销售额。
四、数学建模举例 例题选讲：
二元函数极值的概念 例1（讲义例1） 函数 z 2x2 3y2 在点(0, 0)处有极小值. 从几何上看，
z 2x2 3y2 表示一开口向上的椭圆抛物面，点 (0,0,0) 是它的顶点.（图7-6-1）.
例2（讲义例2）函数 z x2 y2 在点(0,0)处有极大值. 从几何上看，
z x2 y2 表示一开口向下的半圆锥面，点 (0,0,0) 是它的顶点.（图7-6-2）.
例3（讲义例3）函数 z y2 x2 在点(0,0)处无极值. 从几何上看， 它表示双曲抛物面（马鞍面）（图7-6-3）
在 D 内只有一个驻点，则可以肯定该驻点处的函数值就是函数 f (x, y)
在 D 上的最大值（最小值）.
三、条件极值 拉格朗日乘数法 前面所讨论的极值问题，对于函数的自变量一般只要求落在定义域内，并 无其它限制条件，这类极值我们称为无条件极值. 但在实际问题中，常会遇 到对函数的自变量还有附加条件的的极值问题. 对自变量有附加条件的极值称 为条件极值.
算出 A 与 B2 AC 在四个驻点处的值（实际上只需确定符号）：
在 (1, 0) 点，B2 AC 72 0 ，且 A 12 0 ，所以为极小点；
在 (3, 2) 点，B2 AC 72 0 ，且 A 12 0 ，所以为极大点；
在点 (1, 2), (3, 0) ，B2 AC 0 ，不是极值点。
解 根据必要条件，先解方程组
f x (x, y) 3x2 6x 9 0
f
y
(x,
y)
3y 2
6y
0
求得四个驻点（1，0），（1，2），（-3，0），（-3，2），然后求出函数的四个
二阶偏导数
f xx (x, y) 6x 6, f xy (x, y) 0, f yy (x, y) 6y 6
例4（讲义例4）求函数 f (x, y) x3 y3 3x2 3y2 9x 的极值. 例5 证明函数 z (1 ey )cosx yey 有无穷多个极大值而无一极小值.
二元函数的最大值与最小值 例6（讲义例5）求函数 f (x, y) x2 2xy 2y
在矩形域 D {(x, y) | 0 x 3,0 y 2}
根据定理1与定理2，如果函数 f (x, y) 具有二阶连续偏导数，则求 z f (x, y) 的极值的一般步骤为：
第一步 解方程组 fx(x, y) 0, fy(x, y) 0, 求出 f (x, y) 的所有驻点； 第二步 求出函数 f (x, y) 的二阶偏导数，依次确定各驻点处A、 B、 C的值，并根据
大值与最小值比较，谁最大，谁就是最大值，谁最小，谁就是最小值。
例3 某工厂要用铁板做成一个体积为 2m3 的有盖长方体水箱，问当长、
宽、高各取多少尺寸时，可以使用料最省？
2 解 设水箱的长为 x，宽为 y，则高为 xy ，此水箱所用材料的面积 A 为
A
2 xy
2 x
2 y
(x 0, y 0)
解方程组
(1) 当 AC B2 0 时，函数 f (x, y) 在 (x0, y0) 处有极值， 且当 A 0 时有极小值 f (x0, y0) ； A 0 时有极大值 f (x0, y0) ；
(2) 当 AC B2 0 时，函数
在 f (x, y)
(x0, y0)
处没有极值;
(3) 当 AC B2 0 时，函数 在 f (x, y) (x0, y0) 处可能有极值，也可能没有极值.
的最大值为2，最小值为1。
例5 求表面积为12m2的无盖长方形水箱的最大容积。
解 设水箱的长为 x 米，宽为 y 米，高为 z 米，我们要求容积
V xyz ，在方程 (x, y, z) 2xz 2yz xy 12 0 约束下的最大值。
先作出拉格朗日函数
L xyz (2xz 2yz xy 12)
AC B2 的符号判定驻点是否为极值点. 最后求出函数 f (x, y) 在极值点处的极值.
二、二元函数的最大值与最小值 求函数 f (x, y) 的最大值和最小值的一般步骤为: （1）求函数 f (x, y) 在 D 内所有驻点处的函数值;
（2）求 f (x, y) 在 D 的边界上的最大值和最小值; （3）将前两步得到的所有函数值进行比较，其中最大者即为最大 值, 最小者即为最小值. 在通常遇到的实际问题中，如果根据问题的性质，可以判断出函数 f (x, y) 的最大值（最小值）一定在 D 的内部取得，而函数 f (x, y)
然后求出 L 的驻点，即求解方程组
yz (2z y) 0 xz (2z x) 0 xy (2x 2 y) 0
2xz 2 yz xy 12 0
将前三个方程的两边依次乘以 x, y 和 z ，并约去 xyz 便可得
x(2z y) y(2z x) z(2x 2y)
因 不能为0（想想为什么？），故有 x(2z y) y(2z x) z(2x 2y)
由左边等式 x(2z y) y(2z x) 得 xz yz ，因 z 取正值，所以
x y 。同样，右边的等式 y(2z x) z(2x 2y) 得 y 2z
将 x y 2z代入最后一个方程即约束方程，就得到 z 2 1 。按题意，z
不取负值，于是求得 x 2, y 2, z 1（ 的值不必求出），点（2，2，1）
所以
( x, y )
(0,0)
(1,1)
A
0
12
B2 AC
16
128
(-1,-1) -12
128
因此 f (1,1) 1, f (1,1) 1 都是极大值，而 f (x, y)
在点（0，0） 没有极值。
与一元函数一样，也可求二元函数的最大值和最小值，其求法是：将函 数
z f (x, y) 在有界闭区域 D内的所以极值点找出，与函数在边界上的最
f (x, y) f (x0, y0),
则称函数在 (x0, y0) 有极小值; 极大值、极小值统称为极值. 使函数取得极值的点称为极值点.
定理1 (必要条件) 设函数 z f (x, y) 在点 (x0, y0) 具有偏导数, 且在点 (x0, y0)
处有极值, 则它在该点的偏导数必然为零，即
求出极值为：f (1,0) 5 是极小值， f (3,2) 31 是极大值。
例2 求函数 f (x, y) x4 y4 4xy 1 的极值。
f x (x, y) 4x3 4 y 0
解 解方程组
f
y
(x,
y)
4 y3
4x
0
求得三个驻点（0，0），（1，1），（-1，-1），又
f xx (x, y) 12x2 , f xy (x, y) 4, f yy (x, y) 12y2
是唯一的可疑条件极值点，因为根据问题性质知所求的最大容积一定存在， 所以最大容积在长、宽各为2米，高为1米时取到，其值为4m3
例6 某商品1998～2004年的销售额如下表：
年份 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 销售额 200 225 250 290 340 375 420
试确定2005年的销售额。 解：将各年编号如下：
年份 编号
1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 －3 －2 －1 0 1 2 3
经计算，
7
7
7来自百度文库
xi2 28, xi yi 1050, yi 2100
i 1
i 1
i 1
由公式得 k 37.5, b 300
求得经验公式为：y 37.5x 300
拉格朗日乘数法 设二元函数 f (x, y) 和 (x, y) 在区域 D 内有一阶连续偏导数，则求 z f (x, y) 在 D 内满足条件 (x, y) 0 的极值问题，可以转化为求拉格朗日函数
L(x, y,) f (x, y) (x, y) （其中 为某一常数）的无条件极值问题.
于是，求函数 z f (x, y) 在条件(x, y) 0 的极值的拉格朗日乘数法的基本步骤为：
上的最大值和最小值.
例7 求二元函数 z f (x, y) x2 y(4 x y) 在直线 , x y 6 x 轴和 y 轴所围成的闭区域 D 上的最大值与最小值.
例8 求函数 f (x, y) 3x2 3y2 x2 在区域 D : x2 y2 16 上的最小值.
例9 求 x y z x2 y2 1
注：拉格朗日乘数法只给出函数取极值的必要条件, 因此按照这种方法求 出来的点是否为极值点, 还需要加以讨论. 不过在实际问题中, 往往可以根据 问题本身的性质来判定所求的点是不是极值点.
拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形:
例1 求函数 f (x, y) x3 y3 3x2 3y2 9x 的极值。
第五节 二元函数的极值与最值
内容提要： 一、二元函数极值的概念
定义1 设函数 z f (x, y) 在点 (x0, y0) 的某一邻域内有定义, 对于该邻域内异于 (x0, y0)
的任意一点 (x, y) , 如果
f (x, y) f (x0, y0),
则称函数在 (x0, y0) 有极大值；如果
例4 求函数 f (x, y) x2 2y2 在方程 x2 y2 1 约束下的最值。
解 作拉格朗日函数 L x2 2y2 (x2 y2 1)
求解方程组
Lx 2x 2x 0,
Ly 4y 2y 0,
L
x2
y2
1 0.
由第一个方程得 x 0 或 1 。当 x 0 时，从第三个方程即约束方
程，可得 y 1 ；当 1 时，从第二个方程得 y 0 ，再从约束方程得 x 1 于是求得四个可疑条件极值点
（0，1），（0，-1），（1，0），（-1，0）
算出 f (0,1) f (0,1) 2, f (1,0) f (1,0) 1
由于连续函数 x2 2 y 2 在有界闭集 (x, y) x2 y 2 1 上必有最值，故所求
的最大值和最小值.
例10（讲义例6）某厂要用铁板做成一个体积为 2m3的有盖长方体水箱. 问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使用料最省.
例11（讲义例7）设 q1 为商品A的需求量, q2 为商品B 的需求量, 其需求函数分别
q1 16 2 p1 4 p2, q2 20 4 p1 10p2, 总成本函数为 C 3q1 2q，2 其中 p1, p2为商品 A 和 B 的价格, 试问价格 p1, p2 取何值时可使利润最大?
Ax
2 y
2 x2
0
Ay
2 x
2 y2
0
求得唯一驻点 x 3 2 ，y 3 2 。可以判定极值点（ 3 2 ，3 2） 就是最
值点，故 x 3 2 ，y 3 2 ，A 取得最小值，也就是当水箱的长、宽、高 同为 3 2 米时，水箱所用的材料最省。
在一般应用题中，唯一的极值点就是最值点。
(1) 构造拉格朗日函数 L(x, y,) f (x, y) (x, y) 其中 为某一常数;
(2) 由方程组
LLxy
f x (x, y) x (x, y) 0, f y (x, y) y (x, y) 0,
L (x, y) 0
解出 x, y,
, 其中x, y就是所求条件极值的可能的极值点.