高三数学 任意角的三角函数、图像及性质

P x

y

A

O

M T

任意角的三角函数、图像及性质综合复习

1、角的分类

1) 任意角：正角______________________负角______________________零角______________________； 2) 与α终边相同的角___________________________

象限角（四个象限）

3) 按角的终边所在的位置

轴线角

4) 已知α是第几象限角，确定

()*

n n

α

∈N 所在象限的方法：先把各象限均分n 等份，再从x 轴的正半轴的上方起，

依次将各区域标上一、二、三、四，则α原来是第几象限对应的标号即为n α

终边所落在的区域．

2、角的度量

1) 角的度量有角度制和弧度制两种，角度制就是以________为度量单位，弧度制就是以________为度量单位。 2) 圆心角α的弧度数：∣α∣=

r

l

其中l 代表弧长, r 代表圆的半径. 3) 当弧长和半径相等时，该弧长所对的圆心角的度数就是1弧度。 4) 弧度制与角度制的换算：2360π=，1180

π

=

，180157.3π⎛⎫

=≈

⎪⎝⎭

． 度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 弧度

5) 若扇形的圆心角为

()

αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则

l r α

=，2C r l =+，

2

11

22S lr r α==．

3、任意角的三角函数

角的概念推广以后，以角的顶点为坐标原点，角的始边为x 轴的正半轴，建立直角坐标系，在角的终边上任取一点(,)P x y （不同于坐标原点），设OP r =（220r x y =

+>）

，则α的三个三角函数值定义为： sin ,cos ,tan y x y

r r x

ααα=

==（x ≠0）． 从定义中不难得出六个三角函数的定义域：正弦函数、余弦函数的定义域为________________；正切函数的定义域为_____________________________． 4、三角函数在各象限的符号

由三角函数的定义不难得出三个三角函数值的符号，可以简记为：一正（第一象限内全为正值），二正弦（第二象限内只有正弦值为正），三切（第三象限只有正切值为正），四余弦

（第四象限内只有余弦值为正）．另外，熟记0、

6π、4π、3π、2

π

的三角函数值，对快速、准确地运算很有好处. 5、三角函数线：sin α=MP ，cos α=OM ，tan α=AT ．

6、同角三角函数的基本关系：

()221sin cos 1αα+=()2222sin 1cos ,cos 1sin αααα=-=-； ()

sin 2tan cos α

αα

=sin sin tan cos ,cos tan αααααα⎛

⎫== ⎪

⎝

⎭ 7、三角函数的诱导公式：

()()1sin 2sin k παα+=， ()cos 2cos k παα+=， ()()t a n 2t a n k k παα+=∈Z ．

()()2sin sin παα+=-, ()cos cos παα+=-, ()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-, ()cos cos αα-=， ()tan tan αα-=-．

()()4sin sin παα-=， ()

c o s c o s παα-=-， ()t a n t a n παα

-=-． ()5sin cos 2παα⎛⎫

-= ⎪

⎝⎭

， c o s s i n 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭, tan cot 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭

．

()6sin cos 2π

αα⎛⎫+=

⎪⎝⎭, cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， t a n c o t 2παα⎛⎫

+=- ⎪⎝⎭．

口诀：奇变偶不变，符号看象限。

8、三角函数的图像

Ⅰ.函数sin y x =的图象上所有点向左（右）平移

ϕ个单位长度，得到函数()sin y x ϕ=+的图象；再将函数

()sin y x ϕ=+的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的

1

ω

倍（纵坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数

()sin y x ωϕ=A +的图象．

Ⅱ.函数sin y x =的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1

ω

倍（纵坐标不变），得到函数sin y x ω=的图象；

再将函数sin y x ω=的图象上所有点向左（右）平移

ϕ

ω

个单位长度，得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数

()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的

图象． Ⅲ.函数

的性质：

①振幅：A ；②周期：

；③频率：

；④相位：x ωϕ+；⑤初相：

ϕ．

函数(

)s i n y x ωϕ=A ++B ，当1x x =时，取得最小值为min y ；当2x x =时，取得最大值为max y ，则